1. De Platón a Newton

A escola pitagórica explicou a estrutura do universo en termos matemáticos
O gran lume central, orixe de todo, relacionábase co Un, orixe dos números
Ao seu redor xirarían a Terra, a Lúa, o Sol e os planetas
O periodo de revolución da Terra en torno ao lume central era de 24 horas, a quen lle ofrecía sempre a súa cara oculta
Os períodos da Lúa e o Sol eran un mes e un ano respectivamente
O universo concluiría nunha esfera celeste de estrelas fixas, e máis aló atopábase o Olimpo
O número de corpos que formaban o universo era de 10 (obsesión polos números)
Como só observaban nove, supoñían que o décimo estaba situado entre a Terra e o gran lume, ao que chamaron Antiterra
Pitágoras naceu en Samos no ano 569 a.C.

O MODELO DE ARISTÓTELES (s.IV aC)

Aristóteles adoptou o modelo de eudoxo engadindo algunhas esferas.

O universo estaba constituído por dúas rexións esféricas, separadas e concéntricas
A Terra que ocupaba o centro do universo, era a rexión dos elementos, lume, aire, auga e terra
Máis aló da esfera lunar atopábase a rexión etérea dos ceos, cuxo único elemento era a incorruptible quinta esencia
Os movementos de todos os astros situados en esferas concéntricas coa Terra eran perfectos.
O universo concluía coa esfera das estrelas fixas .

O primeiro en propor un Universo formado por eferas concétricas foi Eudoxo de Cnido (discípulo de Sócrates)

2. Tycho Brahe e as leis de Kepler

Tycho Brahe foi un excelente astrónomo, coas súas observacións elaborou unha táboas astronómicas moi exactas. O seu axudante: Joannes Kepler coa axuda destas táboas enunciou as tres leis que rexiría o movemento dos planetas ao redor do sol

1ª Lei

2ª Lei

3ª Lei

Newton a Lei de Gravitación Universal

Newton unificou e ampliou as leis de Kepler baixo unha única lei: a chamada lei de Gravitación Universal:

\vec{F} = -G \frac{Mm}{r^2} \vec{u_r}

\vec{F} = -G \frac{Mm}{r^2} \vec{u_r}

Conservación do momento angular e cálculo

Por integración

e substitución de variables

Usando conceptos como o de forza centrípeta...

1ª Lei (ampliada), ecuación dunha cónica

2ª Lei (áreas)

3ª Lei

r= \frac{l}{1+ecos\theta}

r= \frac{l}{1+ecos\theta}

\frac{dA}{dt}= \frac{L}{2m}=ctte

\frac{dA}{dt}= \frac{L}{2m}=ctte

\frac{r^3}{T^2}= \frac{GM}{4{\pi}^2}=ctte

\frac{r^3}{T^2}= \frac{GM}{4{\pi}^2}=ctte

Principio de superposición

A intensidade do campo nun punto P, creado por un conxunto de masas puntuales, obtense calculando a intensidade de campo creada por cada unha das partículas e sumando os resultados parciais.

\vec g_T=\Sigma \vec g_i

\vec g_T=\Sigma \vec g_i

\vec F_T=\Sigma \vec F_i

\vec F_T=\Sigma \vec F_i

Tamén, loxicamente se pode aplicar ao cálculo dunha forza:

Actividades

Dúas masas diferentes están separadas 1 m. É igual o valor da forza que cada unha realiza sobre a outra? E o valor do campo que cada unha crea na posición da outra?
En que punto da liña que une dúas masas, unha tripla que a outra, se anula o campo gravitatorio total?
Obtén o vector forza que corresponde a unha masa de 25 kg situada nun punto onde o campo vale
Determina o campo total que crean na orixe tres masas de 100 kg situadas nas posicións A (5, 0), B (0, 2) e C (–1, –4), expresadas en metros.

\vec g = 5.4 \vec j \: m\cdot s^{-2}

\vec g = 5.4 \vec j \: m\cdot s^{-2}

CAMPOS DE FORZAS CONSERVATIVOS

Campos de forzas conservativos son aqueles nos que o traballo realizado pola forza depende só dos puntos inicial e final, e non do camiño seguido

W_{A,C1}^B = \int_A^B \vec F \vec {dr} = W_{A,C2 }^B

W_{A,C1}^B = \int_A^B \vec F \vec {dr} = W_{A,C2 }^B

W_{ciclo}= \oint \vec F \vec {dr} = 0

W_{ciclo}= \oint \vec F \vec {dr} = 0

W_A^B = - \Delta E_p

W_A^B = - \Delta E_p

ENERXÍA POTENCIAL

Unha característica dos campos conservativos é que pode definirse unha magnitude denominada enerxía potencial.

Os cambios producidos na enerxía potencial, indican o traballo realizado polas forzas do campo.

Teorema da enerxía potencial: Nun campo conservativo o traballo realizado polas forzas do campo é igual á variación da enerxía potencial cambiada de signo.

W_A^B = - \Delta E_p

W_A^B = - \Delta E_p

O potencial gravitatorio

Por ser o campo gravitatorio conservativo, pódese definir unha magnitude que depende únicamente do corpo m1 que crea o campo e non do m2 que se coloca como proba no punto P2

Esta magnitude denominase potencial V e obtense así se queremos determinar o potencial que m1 xera no punto P2, a partir da enerxía potencial de interacción entre m1 e m2:

V=\displaystyle\lim_{m_2 \rightarrow 0} \frac{Ep_{1,2}}{m_2}=-G \frac {m_1}{r}

V=\displaystyle\lim_{m_2 \rightarrow 0} \frac{Ep_{1,2}}{m_2}=-G \frac {m_1}{r}

A súa unidade no SI será, loxicamente o J/kg

Variación do potencial gravitatorio terrestre

Como era de esperar, a variación do potencial terrestre coa altura é semellante á variación da enerxía potencial dunha masa situada no campo gravitatorio terrestre.

V=-G \frac {M_{Terra}}{r}=-G \frac {M_{Terra}}{R_T+h}

V=-G \frac {M_{Terra}}{r}=-G \frac {M_{Terra}}{R_T+h}

Relación campo-potencial

As liñas de forza son perpendiculares en todos os puntos ás superficies equipotenciais:

Xa que:

-dV = \vec g \bullet \vec{dr}

-dV = \vec g \bullet \vec{dr}

Se nos movemos nunha superficie equipotencial:

0 = \vec g \bullet \vec{dr}

0 = \vec g \bullet \vec{dr}

Que implica que g e dr son perpendiculares.

Actividades

17. Determina a velocidade de escape da superficie solar cos seguintes datos: MSol = 2.0·1030 kg; RSol = 695000 km.

Sol: 619,6 km/s

18. Acha a diferenza de enerxía potencial que se produce cando unha masa de 5 kg se levanta 10 m. Efectúa o cálculo coa fórmula exacta e coa aproximada, Ep = m g0 h. É apreciable a diferenza?

19. Razoa si é correcta a proposición seguinte: « Para dous planetas de igual masa, a velocidade de escape é maior no que ten a densidade máis baixa ».

20. Obtén a enerxía mecánica dun corpo de 800 kg de masa que se move a 4.5 km/s nun punto onde o potencial gravitatorio vale

-5 \cdot10^6 J/kg

-5 \cdot10^6 J/kg

2,0 \cdot10^{30}kg

2,0 \cdot10^{30}kg

Actividades

21. Determina o traballo de escape dun satélite de 1500 kg de masa que segue unha órbita circular en torno á Terra a unha altura igual ao raio medio terrestre.

22. A enerxía cinética dun satélite en órbita circular en torno a Marte é 8,2 · 1010 J. Obtén as súas enerxías potencial gravitatoria e mecánica total.

23. Razoa si é correcta a proposición seguinte: «En órbita elíptica, o momento lineal do satélite é maior no apoxeo que no perixeo».

24. É posible que un satélite de 1000 kg xire en órbita circular terrestre a unha altura de 500 km cunha velocidade de 8 km/s? E si cambiamos a masa do satélite?

25. Calcula o momento angular dun satélite de 2200 kg de masa que xira en órbita circular en torno a Venus cunha frecuencia de 4 voltas por día, si a masa de Venus é MV = 4.87 · 1024 kg.

8,2\cdot10^{10} J.

8,2\cdot10^{10} J.

4,87\cdot10^{24} kg.

4,87\cdot10^{24} kg.

Actividades

26. Como é o traballo exterior non gravitatorio que debemos realizar sobre un satélite para que pase a unha órbita de menor tamaño? É preciso acelerar ou frear ao satélite?

27. Explica por que é favorable instalar cerca do ecuador as bases de lanzamento espacial. En que dirección deberían lanzarse os foguetes?

28. Calcula a enerxía extra que debemos aportar a un satélite de 2400 kg para que pase dunha órbita circular terrestre a 400 km de altura a outra a 1000 km de altura.

29. Determina o traballo necesario para poñer un satélite de 850 kg en órbita circular lunar de radio dobre que o da Lúa.

Datos: ML = 7,35 · 10 kg; RL = 1738 km.

10^{22}

10^{22}

Actividades

26. Como é o traballo exterior non gravitatorio que debemos realizar sobre un satélite para que pase a unha órbita de menor tamaño? É preciso acelerar ou frear ao satélite?

27. Explica por que é favorable instalar cerca do ecuador as bases de lanzamento espacial. En que dirección deberían lanzarse os foguetes?

28. Calcula a enerxía extra que debemos aportar a un satélite de 2400 kg para que pase dunha órbita circular terrestre a 400 km de altura a outra a 1000 km de altura.

29. Determina o traballo necesario para poñer un satélite de 850 kg en órbita circular lunar de radio dobre que o da Lúa.

Datos: ML = 7,35 · 10 kg; RL = 1738 km.

10^{22}

10^{22}

Actividades

30. Explica de forma gráfica por que non pode haber satélites xeoestacionarios sobre o ceo de España.

31. Calcula o radio orbital dun satélite cuxo período sexa a metade do período de rotación da Terra.

32. Determina os parámetros orbitais dun satélite selenoestacionario cos seguintes datos da Lúa: ML = 7.35 · 10 kg; TL = 27 días, 7 horas e 43.2 minutos.

33. Poden ter órbita polar os satélites xeosíncronos? E os xeoestacionarios?

10^{22}

10^{22}

CAMPO GRAVITATORIO