樹

有一個長度為 \(N\) 的環狀序列，你想要把他們分成最少份，讓每份總和都 \(\leq K\)

倍增的其他用途

一個想法是枚舉所有位置當起點開始跳，跳回來就結束了，但這樣是 \(O(N^2)\)

倍增的其他用途

假設 \(i\) 是某塊的起點

那一定會想要拿越多越好

倍增的其他用途

假設 \(i\) 是某塊的起點

那一定會想要拿越多越好

對於每個位置 \(i\)，我們知道如果他當起點時，下一塊起點會是哪裡

倍增的其他用途

假設 \(i\) 是某塊的起點

那一定會想要拿越多越好

對於每個位置 \(i\)，我們知道如果他當起點時，下一塊、下兩塊、下四塊 ... 的起點會是哪裡

倍增的其他用途

假設 \(i\) 是某塊的起點

那一定會想要拿越多越好

對於每個位置 \(i\)，我們知道如果他當起點時，下一塊、下兩塊、下四塊 ... 的起點會是哪裡

利用倍增加速！

枚舉每個起點，分別倍增，複雜度 \(O(NlogN)\)

CSES

Subordinates	Tree Matching
Tree Diameter	Tree Distances I
Tree Distances II	Company Queries I
Company Queries II	Distance Queries
Counting Paths	Subtree Queries
Path Queries	Path Queries II
Distinct Colors	Finding a Centroid
Fixed-Length Paths I	Fixed-Length Paths II
Prüfer Code	Tree Traversals
Tree Isomorphism I	Tree Isomorphism II

CSES

Subordinates	Tree Matching
Tree Diameter	Tree Distances I
Tree Distances II	Company Queries I
Company Queries II	Distance Queries
Counting Paths	Subtree Queries
Path Queries	Path Queries II
Distinct Colors	Finding a Centroid
Fixed-Length Paths I	Fixed-Length Paths II
Prüfer Code	Tree Traversals
Tree Isomorphism I	Tree Isomorphism II

複雜度更直觀的證明：對於兩點 \((a,b)\)，只會在他們的 LCA 合併到，所以總共會有 \(O(N^2)\) 次合併

對深度的啟發式合併

CSES 2081

Benq 應該比我會講課

CSES

Subordinates	Tree Matching
Tree Diameter	Tree Distances I
Tree Distances II	Company Queries I
Company Queries II	Distance Queries
Counting Paths	Subtree Queries
Path Queries	Path Queries II
Distinct Colors	Finding a Centroid
Fixed-Length Paths I	Fixed-Length Paths II
Prüfer Code	Tree Traversals
Tree Isomorphism I	Tree Isomorphism II

CSES

Subordinates	Tree Matching
Tree Diameter	Tree Distances I
Tree Distances II	Company Queries I
Company Queries II	Distance Queries
Counting Paths	Subtree Queries
Path Queries	Path Queries II
Distinct Colors	Finding a Centroid
Fixed-Length Paths I	Fixed-Length Paths II
Prüfer Code	Tree Traversals
Tree Isomorphism I	Tree Isomorphism II

重心的其他用處

給一棵 \(N\) 個點的樹，請在上面找 \(\lfloor\frac{N}{2}\rfloor\) 個點對，讓所有點對的距離和最大

重心的其他用處

回想一下前面常用的式子

\(dist(u,v)=dep_u+dep_v-2\cdot dep_{lca(u,v)}\)

重心的其他用處

回想一下前面常用的式子

\(dist(u,v)=dep_u+dep_v-2\cdot dep_{lca(u,v)}\)

如果定根在某個點，那前兩項會是固定的，所以我們想要最小化 \(dep_{lca(u,v)}\)

有沒有辦法讓所有 \(lca(u,v)\) 都在根上？

重心的其他用處

回想一下前面常用的式子

\(dist(u,v)=dep_u+dep_v-2\cdot dep_{lca(u,v)}\)

如果定根在某個點，那前兩項會是固定的，所以我們想要最小化 \(dep_{lca(u,v)}\)

有沒有辦法讓所有 \(lca(u,v)\) 都在根上？

重心定義：沒有一個子樹大小超過 \(\lfloor\frac{N}{2}\rfloor\)

所以如果定根在重心，一定可以讓 lca 都在根上 => 算前兩項和就好

CSES

Subordinates	Tree Matching
Tree Diameter	Tree Distances I
Tree Distances II	Company Queries I
Company Queries II	Distance Queries
Counting Paths	Subtree Queries
Path Queries	Path Queries II
Distinct Colors	Finding a Centroid
Fixed-Length Paths I	Fixed-Length Paths II
Prüfer Code	Tree Traversals
Tree Isomorphism I	Tree Isomorphism II

類比

線段樹：存分治的結果

重心樹：存重心分治的結果

樹的重心是重心樹的根，第一層分治的重心會是根的子節點，以此類推

重心樹

性質

重心分治時，我們處理到 \(v\) 時，他會影響到的節點們就會是在重心樹上的子樹
重心樹上 \(v\) 的祖先，就是當重心時影響到 \(v\) 的點
重心樹的深度是 \(O(logn)\)
- 修改時可以暴力修改！

例題

給一棵 \(N\) 個點的樹，請支援 \(Q\) 筆操作：

1. 把 \(x\) 塗成黑色

2. 詢問 \(x\) 到最近的黑點距離

例題

\(x\) 到黑點的路徑長怎樣？

應該會是 \(x\) -> 某個重心 -> 黑點

例題

\(x\) 到黑點的路徑長怎樣？

應該會是 \(x\) -> 某個重心 -> 黑點

這個重心會是 \(x\) 跟黑點在重心樹上的 LCA

例題