講師介紹

賴昭勳 aka 8e7

高一 TOI 1!，高二 TOI 2!
北市賽一等獎 / 全國賽佳作 ;-;
APIO 銀牌
CF: 8e7, Atcoder: justinlai
很弱
不會數學
正在慢慢變油
為了初探演算法所以當演算法初探講師

王褕立 aka FHVirus

高二 TOI 1!
北市賽二等獎 / 全國賽三等獎
CF: fhvirus
很強
TIOJ Top Topcoder
會FFT跟Flow
超油，喜歡看冷門番
魔方社社長，3x3 PB 8秒多

張均豪 aka Jass

高一、高二 TOI 1!
北市賽一等獎 / 全國賽三等獎
CF: jass921026
很強(科班電神)
很油
osu! std 30k 大佬

所以校隊要做什麼?

比賽時程 (上)

校內複賽	10/5	選校隊 11(?)+3人
北市賽	11/15前	前二等獎進全國 (11人)
全國賽	12月	前二等進選訓 (10人)

比賽時程 (下)

TOI 入營考	3月初	選20個進一階 (+女保)
一階	約 3/15~3/28	模考前12名進二階
二階	4月	選4名國手
IOI 2022	7月 (?) 在印尼	台灣加油w

其他比賽

YTP	10/9	好吃前十多組晉級專題階段(賺爛了賺爛了)
ISSC	10/16	一校最多兩隊* 台中比賽，題目品質極不穩但有錢拿
HP Codewars	11月	有一堆獎品可以拿線上賽的話就很無聊QQ
NPSC	12月	初賽取25隊/一校最多三隊，好題，賺

三人團體賽

啊所以打競程可以幹嘛

除了拚升學上資工之外...

我也不知道，很酷就對了 (x)

希望大家能把寫程式當作自己的興趣

漸漸地探索解題的有趣之處!

當然，如果你覺得自己不適合的話也沒有關係!

要怎麼練習?

學習

2016 建中校培講義 (初學者1~7章就夠了)

演算法筆記 (解釋清楚，實作有點糟)

CP-Algorithms (很好懂，英文)

USACO Guide (進階)

2021 建中校培講義(?)

另外，可以參加每週二晚上的資訊讀書會!

寫題

使用 Online Judge

TIOJ 建中資訊社的 Judge

ZeroJudge 台灣最多人用的OJ

Codeforces 最大的 OJ/線上競賽平台

Atcoder 次大的 OJ/線上競賽平台

CSES 經典題大全

CSAcademy 解題技巧大全

比賽

除了台灣的實體比賽外，還有許多線上競賽可以打

Codeforces 通常在 22:35~00:35

Atcoder 周末 20:00~22:00

Google Codejam - 年度

Facebook Hacker Cup - 年度，深夜場，怪賽制

剛開始的時候，可以從上課或是講義內容先找主題，理解概念之後再寫例題。

基本的東西學的差不多之後，可以參加沒有範圍線上比賽，或是戳任意主題的題目，訓練自己靈活運用演算法的能力。

競程裡面的演算法?

演算法: 解決問題的方法

問題: 可以被客觀定義，描述的問題。

方法: 可以被客觀描述的流程與步驟。大部分演算法應該對同一種類的問題都適用。

例: 給定兩個正整數 $a, b$ ，輸出 $a, b$ 的最大公因數

一個好的演算法應該能夠對於任意範圍內的 $a, b$ 輸出正確答案。

在競程裡面

問題和答案通常以純文字形式輸入，或是用數字，字串等格式溝通。

Online Judge 判斷回答正確的方法為，使用一些測試資料 (測資) 來檢測程式的輸出是否符合條件。

正確解答必須在規定的時間限制 (TL) 和記憶體限制 (ML) 執行出正確答案。

複雜度分析

估算執行時間的方法

哪個程式跑比較快?

const int maxn = 100005;
int a[maxn];
for (int i = 0;i < n;i++) cin >> a[i];
int ans = 0;
for (int i = 0;i < n;i++) {
    for (int j = 0;j < n;j++) {
        ans = max(ans, a[i] - a[j]);
    }
}
cout << ans << endl;

const int maxn = 100005;
int a[maxn];
for (int i = 0;i < n;i++) cin >> a[i];
int ma = 0, mi = 0;
for (int i = 0;i < n;i++) {
    ma = max(ma, a[i]);
    mi = min(mi, a[i]);
}
cout << ma - mi << endl;

問題:

給定一個整數序列 $a$

求出相差最大的兩項之差

$max_{1 \leq i, j \leq n} |a_i - a_j|$

Why?

假設迴圈內每個指令都花一樣時間執行...

n (序列長度)	程式 1 (兩層 for)	程式 2 (一層 for)
3	9	6
1000	1000000	2000
100000	10000000000	200000

當 $n$ 的值很大的時候，第二個程式的時間跟 $n$ 差不多，第一個程式卻慢了很多...

時間複雜度: 計算次數隨問題大小增長的方式

第一個程式執行 $n^2$ 次操作，第二個程式執行了 $2n$ 次操作。

我們分別用 $O(n^2)$ 和 $O(n)$ 來表示兩個程式的時間複雜度

時間複雜度: 嚴謹定義

定義一個問題在大小 $n$ 時的執行次數為 $f(n)$

一個演算法的時間複雜度為 $f(n) \in O(g(n))$

代表存在兩個正整數 $M, n_0$ 使得

$\forall n \geq n_0, f(n) \leq Mg(n)$

通常我們在乎的是符合上述條件中，成長速度最慢的函數 $g(n)$

空間複雜度也是一樣的道理

考慮的是一個問題使用的記憶體空間

時間複雜度的性質和運算

成長速度: $指數 > 多項式 > 底數 > 常數$

忽略 $g(n)$ 的常數項: $O(5x^2) \rightarrow O(x^2)$

多個函數相加時，取成長速度最快的一項:

$O(g_1) + O(g_2) = O(max(g_1, g_2))$

$O(g_1) * O(g_2) = O(g_1g_2)$

練習時間!

以下程式的時間複雜度是...?

int n;
cin >> n;
bool isprime = 1;
for (int i = 2;i*i <= n;i++) {
    if (n % i == 0) isprime = 0;
}
cout << isprime << endl;

O(\sqrt n)

O(\sqrt n)

以下程式的時間複雜度是...?

int n;
cin >> n;
int a[n], pref[n];
for (int i = 0;i < n;i++) {
    cin >> a[i];
    pref[i] = a[i];
    if (i > 0) pref[i] += pref[i-1];
}
int ans = 0;
for (int i = 0;i < n;i++) {
    for (int j = 0;j < i;j++) {
        ans = max(ans, pref[i] - pref[j]);
    }
}
cout << ans << endl;

O(n^2)

O(n^2)

以下程式的時間複雜度是...?

O(\log n)

O(\log n)

int n;
cin >> n;

int cnt = 0;
while (n > 0) {
    cnt++;
    n /= 2;
}
cout << cnt << endl;

以下程式的時間複雜度是...?

int n, k;
cin >> n >> k;
int a[n], pref[n];
for (int i = 0;i < n;i++) {
    cin >> a[i];
    pref[i] = a[i];
    if (i > 0) pref[i] += pref[i-1];
}
int ans = 0, ind = 0;
for (int i = 0;i < n;i++) {
    while (ind <= i && pref[i] - pref[ind] + a[ind] > k) {
        ind++;
    }
    ans += i - ind + 1;
}
cout << ans << endl;

O(n)

O(n)

計算時間複雜度往往不是數幾個迴圈那麼顯然

需要依靠其他的性質才能正確算出!

時間複雜度與執行時間

我這個寫法到底夠不夠快?

$n$ 的大小

$10$

$20$ ~ $24$

$100$ ~ $500$

$1000$ ~ $5000$

$10000$ ~ $10^5$

$10^5$ ~ $10^6$

$\geq 10^6$

對應的複雜度

$O(n!)$

$O(2^n), O(n*2^n)$

$O(n^3logn), O(n^3)$

$O(n^2logn), O(n^2)$

$O(n\sqrt n)$

$O(nlogn)$

$O(n)$

電腦一秒可以跑 $3*10^8$ 個基本運算 (+, -, *, =)等。

左邊僅為參考用w

*假設時限 1 秒

二分搜尋法

來玩個遊戲

現在我心裡想一個 $1$ ~ $10000$ 的數字，你每次可以猜一個數字，而我會告訴你猜的數字是 $\geq$ 還是 $<$ 心裡想的數字。能在幾次之內猜到呢？

資訊社員: 怎麼有點似曾相識...

縮小答案的範圍

-> 詢問的數字

回答為 $\geq$

回答為 $<$

注意到兩條黑色的線段不相交!

如果我們詢問的數字在答案區間的中間的話

那就可以把答案範圍平分成兩塊!

複雜度?

當答案區間只有一個數字時，我們就知道答案了，因此問題相當於最多要切多少次才能得到長度 1 的區間。

大約是 $O(\log n)$ 次，其中 $n$ 是一開始的區間長度。

再看一題

給你 $n$ 個整數的序列 $a$ ，請輸出第 $k$ 小的數字

(不用 sort)

$1 \leq k \leq n \leq 10^6, 1 \leq a_i \leq 10^3$

解法

跟猜數字一樣，先猜一個答案 $x$ ，而我們想知道這個答案是 $\geq$ 或 $<$ 實際答案。

我們可以遍歷整個序列，數有幾個數字 $\leq x$

假設有 $\geq k$ 個數字，那 $x$ 就大於等於實際答案，否則 $x$ 就小於實際答案，藉此縮小範圍。

複雜度 $O(n\log C)$ ，其中 $C$ 是答案範圍

單調性

剛剛的兩個題目能這樣做的原因，是一個叫單調性的性質。

前面問題可以看成:

在一個範圍內，尋找最小符合條件的數字

而單調性指的是: 存在一個數字 $x$

使所有小於 $x$ 的數字都不符合條件，

不小於 $x$ 的數字都符合條件。

實作方式

int low = 0, up = 10001;
while (low < up - 1) {
    int mid = (low + up) / 2;
    if (condition(mid)) {
        up = mid;
    } else {
        low = mid;
    }
}
cout << up << "\n";

左開右開式: $low$ 必為 $0$ ， $up$ 必為 $1$

例題 - 田忌賽馬

例題 - 隕石

例題 - TOI 2021 初選pB

例題 - 魚FISH

遞迴

函式的概念

數學裡的函式，一般會用 $f(x) = y$ 表示

其中 $f$ 稱為函數/函式

$x$ 是輸入值

$y$ 是輸出值

ex. $f(x) = 71x + 22, f(a, b) = 3a^3 - b^2$

在C++, 函式除了可以回傳值，還可以在裡面改變其他變數，把一段程式碼包成一個「動作」

遞迴?

當一個函式的定義用到它自己的時候

f(x) = \left\{ \begin{array}{ c l } 2*f(x-1) & \quad \textrm{if } x \geq 1 \\ 1 & \quad \textrm{otherwise} \end{array} \right.

f(x) = \left\{ \begin{array}{ c l } 2*f(x-1) & \quad \textrm{if } x \geq 1 \\ 1 & \quad \textrm{otherwise} \end{array} \right.

上述函式輸入一個非負整數 $x$ ，輸出 $2^x$

遞迴的寫法

邊界條件/初始值
遞迴式

遞迴的想法

把問題拆成大問題跟小問題
每個問題都有固定的做法
終止條件

例: 輾轉相除法

gcd(a, b) = \left\{ \begin{array}{ c l } b & \quad \textrm{if } a = 0 \\ gcd(b \% a, a) & \quad \textrm{otherwise} \end{array} \right.

gcd(a, b) = \left\{ \begin{array}{ c l } b & \quad \textrm{if } a = 0 \\ gcd(b \% a, a) & \quad \textrm{otherwise} \end{array} \right.

邊界條件/初始值
遞迴式

例: 河內塔

把左邊的每個環移到中間，一次只能搬一個環，而且上面的環一定要比下面小。

例: 八皇后問題

有一個 $8*8$ 的棋盤，問有多少個方式放置八個皇后，使得任兩個皇后不互相攻擊。

一個皇后可以向她上下左右，以及斜向共八個方向任意距離直線攻擊。

實作技巧

位元運算

電腦裡面的數字都是用二進位表示，因此也有跟二進位相關的運算。

AND	&
OR	\|
NOT	~
XOR	^
左移	<<
右移	>>

暴力搜尋，枚舉

「我絕不使用暴力解決問題」- 開學宣誓詞

子集合?
排列?
組合?

可以使用遞迴減少實作難度!

雙指標

另一種單調性!

考慮這個問題: 給定一個正整數序列與整數 $k$ ，輸出有多少的序列的子區間內數字總和不超過 $k$ 。

$n \leq 10^6$

觀察性質

一個子區間由他的左界和右界決定。

假設我們枚舉右界 $r$ ，對每個右界考慮最左邊的 $f(r) = l$ 使得 $[l, r]$ 總和小於 $k$ ，

那麼就有 $r - l + 1$ 的右界為 $r$ 的區間符合條件。

那可以發現，隨著右界 $r$ 變 $r+1$ ，對應的左界 $f(r)$ 也會非嚴格遞減。因此我們要檢查的時候就可以直接從 $f(r)$ 開始判斷!

int a[maxn];
for (int i = 0;i < n;i++) cin >> a[i];
int sum = 0, lef = 0;
ll ans = 0;
for (int i = 0;i < n;i++) {
    sum += a[i];
    while (lef <= i && sum > k) {
        sum -= a[lef];
        lef++;
    }
    ans += i - lef + 1;
}
cout << ans;

演算法初探

講師介紹

賴昭勳 aka 8e7

王褕立 aka FHVirus

張均豪 aka Jass

所以校隊要做什麼?

比賽時程 (上)

比賽時程 (下)

其他比賽

三人團體賽

啊所以打競程可以幹嘛

我也不知道，很酷就對了 (x)

希望大家能把寫程式當作自己的興趣

漸漸地探索解題的有趣之處!

要怎麼練習?

學習

2016 建中校培講義 (初學者1~7章就夠了)

演算法筆記 (解釋清楚，實作有點糟)

CP-Algorithms (很好懂，英文)

USACO Guide (進階)

寫題

比賽

剛開始的時候，可以從上課或是講義內容先找主題，理解概念之後再寫例題。

基本的東西學的差不多之後，可以參加沒有範圍線上比賽，或是戳任意主題的題目，訓練自己靈活運用演算法的能力。

競程裡面的演算法?

演算法: 解決問題的方法

問題: 可以被客觀定義，描述的問題。

方法: 可以被客觀描述的流程與步驟。大部分演算法應該對同一種類的問題都適用。

在競程裡面

複雜度分析

哪個程式跑比較快?

假設迴圈內每個指令都花一樣時間執行...

時間複雜度: 計算次數隨問題大小增長的方式

時間複雜度: 嚴謹定義

時間複雜度的性質和運算

練習時間!

以下程式的時間複雜度是...?

以下程式的時間複雜度是...?

以下程式的時間複雜度是...?

以下程式的時間複雜度是...?

計算時間複雜度往往不是數幾個迴圈那麼顯然

需要依靠其他的性質才能正確算出!

時間複雜度與執行時間

二分搜尋法

來玩個遊戲

現在我心裡想一個 111~100001000010000的數字，你每次可以猜一個數字，而我會告訴你猜的數字是≥\geq≥還是<<<心裡想的數字。能在幾次之內猜到呢？

縮小答案的範圍

複雜度?

再看一題

解法

單調性

實作方式

例題 - 田忌賽馬

例題 - 隕石

例題 - TOI 2021 初選pB

例題 - 魚FISH

遞迴

函式的概念

數學裡的函式，一般會用 f(x)=yf(x) = yf(x)=y 表示

遞迴?

當一個函式的定義用到它自己的時候

遞迴的寫法

​邊界條件/初始值

遞迴式

遞迴的想法

把問題拆成大問題跟小問題

例: 輾轉相除法

​邊界條件/初始值

遞迴式

例: 河內塔

例: 八皇后問題

實作技巧

位元運算

暴力搜尋，枚舉

雙指標

觀察性質

CF 1547E

CF 1508A

STL

Algorithm

現在我心裡想一個 $1$ ~ $10000$ 的數字，你每次可以猜一個數字，而我會告訴你猜的數字是 $\geq$ 還是 $<$ 心裡想的數字。能在幾次之內猜到呢？

數學裡的函式，一般會用 $f(x) = y$ 表示

邊界條件/初始值

邊界條件/初始值