區間詢問，區間修改

之前介紹了懶標（lazy tag），說了這句話

懶標分成兩種：

不用下推操作的

$seg[cur]$ 代表當前節點經過子節點修改後的答案

需要下推操作的

該節點的懶標對 $seg[cur]$ 做事，遇到的時候再處理。

這份講義會討論第二種

用例題來解釋吧！

給你一個長度為 $n$ 的序列，維護以下操作：

1. 把區間 $[l, r]$ 的數字全部改成 $x$

2. 詢問 $[l, r]$ 的總和

$n, q \leq 2 * 10^5$

之前的做法是不是不太可行了？

假設這兩個地方都有標記...

5

8

標記的先後會互相影響！

把懶標下推（push）

5

5, 5, 5, 5, 5...

用懶標上的東西更新當前節點
更新左右子樹上的懶標
清空當前節點上的 tag

上拉資訊（pull）

X

4

$seg[cur]$ 紀錄的是「左右子節點更新完答案之後的結果」

合併時考慮左右節點與他們的懶標

2, 1, 4, 7

4, 4, 4, 4

相加

重新看看modify在幹嘛

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define maxn 100005
using namespace std;
int seg[4 * maxn], lazy[4 * maxn];
void modify(....) {
	if (r <= l || ql >= r || qr <= l) return;
    
	if (ql <= l && qr >= r) {
		PUT_TAG;
		return;
	}
   
	int mid = (l + r) / 2;
	modify(LEFT_CHILD);
	modify(RIGHT_CHILD);
    
	PULL seg[cur];
}

應該在哪裡加上push操作？

PUSH(cur);

PUSH(LEFT);

PUSH(RIGHT);

重新看看modify在幹嘛

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define maxn 100005
using namespace std;
int seg[4 * maxn], lazy[4 * maxn];
void modify(....) {
	if (r <= l || ql >= r || qr <= l) return;
    
	if (ql <= l && qr >= r) {
		PUT_TAG;
		return;
	}
   
	int mid = (l + r) / 2;
	modify(LEFT_CHILD);
	modify(RIGHT_CHILD);
    
	PULL seg[cur];
}

應該在哪裡加上push操作？

PUSH(cur);

PUSH(LEFT);

PUSH(RIGHT);

重新看一下query

int query(....) {
    if (r <= l || ql >= r || qr <= l) return 0;
    
    
    
    if (ql <= l && qr >= r) {
        return seg[cur];
    }
    
    
    int mid = (l + r) / 2;
    return COMBINE(query(LEFT) + query(RIGHT));
}

push(cur);

應該在哪裡加上push操作？

重新看一下query

int query(....) {
    if (r <= l || ql >= r || qr <= l) return 0;
    
    
    
    if (ql <= l && qr >= r) {
        return seg[cur];
    }
    
    
    int mid = (l + r) / 2;
    return COMBINE(query(LEFT) + query(RIGHT));
}

push(cur);

應該在哪裡加上push操作？

回頭看一下複雜度

整體執行次數和原本的做法一樣！每次push, pull 只有常數次

修改，詢問皆為 $O(logn)$

push 的實作細節

注意：如果當前節點是葉節點的話，不要把懶標下推，要不然會有各種怪事發生

void push(int cur, int l, int r) { //[l, r)
    seg[cur] = (r - l) * tag[cur];
    if (r - l > 1) {
        tag[cur * 2] = tag[cur];
        tag[cur * 2 + 1] = tag[cur];
    } 
    tag[cur] = 0;
}

還有更複雜的

剛剛的問題，再加上區間加值操作！

給你一個長度為 $n$ 的序列，維護以下操作：

1. 把區間 $[l, r]$ 的數字全部改成 $x$

2. 把區間 $[l, r]$ 的數字加上 $x$

3. 詢問 $[l, r]$ 的總和

這也太難寫...

紀錄兩種不同的懶標，同時在push的時候處理兩個操作就好了啊!

但是在push裡面要怎麼寫...

修改操作的優先序

如果在同一個區間，我之前有加值的標記，現在新增一個改值操作，那改值操作會把加值覆蓋掉

因此，實作的時候要保證：如果一個節點同時有加值和改值標記，那一定代表是先改值後加值。

寫push 的時候：

先處理改值，並在下推標記時把左右節點的加值tag清空
正常處理加值操作

困難練習題..IOI 2014 - Wall

這邊的東西在之後的題目可能會用到

給你一個正整數序列 $A$ ，支援兩種操作

1. 把區間 $[l, r]$ 的數字 $a_i$ 全部改成 $min(a_i, x)$

2. 把區間 $[l, r]$ 的數字 $a_i$ 全部改成 $max(a_i, x)$

最後請輸出整個序列

$n \leq 2 \times 10^6, q \leq 5 \times 10^5$

線段樹+特殊的合併操作

線段樹不是只有加加減減最大最小這麼死板的..

所有有某種結合律的函數都可以套線段樹！

區間最大連續和

給你一個序列，支援兩種操作：

1. 單點修改某個元素的值

2. 詢問區間 $[l, r]$ 的最大連續和

用分治的角度看區間連續和

現在有兩個相鄰的區間，你需要知道這些區間的什麼資訊才能找到最大連續和？

有三種可能：

答案在左半
答案在右半
答案橫跨左右邊

不能只存一個數字

對於每個區間，我們需要知道：

最大連續和
最大前綴和
最大後綴和
（整個區間的和）

答案會是： $\max(left.all, right.all, left.suf + right.pref)$

勵鵜：TIOJ 1282

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1282

給你一個序列，支援兩種操作：

1. 把 $[l, r]$ 的值加上 $k$

2. 詢問區間 $[l, r]$ 的最大公因數

$n, q \leq 10^5$

勵鵜貳：USACO Optmilk

http://www.usaco.org/index.php?page=viewproblem2&cpid=365

給你一個序列，支援兩種操作：

1. 把 $a_i$ 加上 $k$

2. 詢問整個序列，選取任意多個互不相鄰元素的最大和

$n \leq 40000, \ q \leq 50000$

線段樹+二分搜

假設你想要做這樣的事...

給你一個序列，支援兩種操作：

1. 單點改值

2. 詢問總和 $\leq x$ 的最長前綴長度（aka對前綴取lower_bound）

$n, q \leq 5 \times 10^5, a_i \geq 0$

可以二分搜！

對位置（答案）二分搜

每次詢問一個位置，看那個位置的前綴和是否超過 $O(logn)$

總複雜度： $O(n + qlog^2n)$

可不可以更好？

利用線段樹的特質

如果左半的總和超過 $x$ ，答案就在左半，否則就在右半。

Query: 30

Sum: 13

Query: 17

Sum: 20

來看一題：TIOJ 1941

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1941

你要從(0, 0)走到(n-1, n-1)，只能往上或往右。每一橫排都有一個區間，走過那個區間就會得到一分（但同一個區間走兩次只有一分）。求最大得分。

$n \leq 8 \times 10^5$

Hint: 先想想 $O(n^2)$ 的DP解...

掃描線技巧

還記得矩形覆蓋面積的做法嗎？

大致想法：把資料的兩個維度畫在空間平面上。枚舉一個維度，並用線段樹解決掉另一個維度。

不管是原本的資料，修改，或是詢問都可以對應到空間上的點、線、或平面！

也就是說，往往是離線處理詢問

Twin Permutations

https://www.hackerearth.com/practice/data-structures/advanced-data-structures/fenwick-binary-indexed-trees/practice-problems/algorithm/mancunian-and-twin-permutations-d988930c/description/

給你一個兩個1~n的排列 $a, b$ ，有 $q$ 筆詢問。每次詢問 $a[l_1...r_1]$ 和 $b[l_2...r_2]$ 的組成元素是否相同

$n, q \leq 10^5$

序列操作問題

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/2174

最理想的身高差

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1905

IZHO Sortbooks

動態開點

當值域很大，然後無法壓縮的時候...

直接開整個範圍的線段樹會MLE

但我們需要用到所有的節點嗎？

動態開點的想法

每次修改時只會動到 $O(logn)$ 個節點，那我要修改節點的時候再新增就好了

動態開點的實作

改寫指標型線段樹。在遞迴下去之前特判該節點是不是Null。

畈勵：No Judge

給你一個序列，支援兩種操作：

1. 單點改值

2. 給你一個 $x$ ，詢問 $max(a_i \oplus x)$

$n, q \leq 2 \times 10^5, 0 \leq a_i \leq 10^9$

區間資結的應用

線段樹複習

區間詢問，區間修改

之前介紹了懶標（lazy tag），說了這句話

用例題來解釋吧！

給你一個長度為nnn的序列，維護以下操作：

1. 把區間[l,r][l, r][l,r]的數字全部改成xxx

2. 詢問[l,r][l, r][l,r]的總和

之前的做法是不是不太可行了？

把懶標下推（push）

上拉資訊（pull）

重新看看modify在幹嘛

重新看看modify在幹嘛

重新看一下query

重新看一下query

回頭看一下複雜度

整體執行次數和原本的做法一樣！每次push, pull 只有常數次

push 的實作細節

注意：如果當前節點是葉節點的話，不要把懶標下推，要不然會有各種怪事發生

還有更複雜的

剛剛的問題，再加上區間加值操作！

給你一個長度為nnn的序列，維護以下操作：

1. 把區間[l,r][l, r][l,r]的數字全部改成xxx

2. 把區間[l,r][l, r][l,r]的數字加上xxx

3. 詢問[l,r][l, r][l,r]的總和

這也太難寫...

紀錄兩種不同的懶標，同時在push的時候處理兩個操作就好了啊!

修改操作的優先序

困難練習題..IOI 2014 - Wall

這邊的東西在之後的題目可能會用到

線段樹+特殊的合併操作

線段樹不是只有加加減減最大最小這麼死板的..

所有有某種結合律的函數都可以套線段樹！

區間最大連續和

給你一個序列，支援兩種操作：

用分治的角度看區間連續和

現在有兩個相鄰的區間，你需要知道這些區間的什麼資訊才能找到最大連續和？

不能只存一個數字

勵鵜：TIOJ 1282

給你一個序列，支援兩種操作：

勵鵜貳：USACO Optmilk

給你一個序列，支援兩種操作：

線段樹+二分搜

假設你想要做這樣的事...

可以二分搜！

對位置（答案）二分搜

每次詢問一個位置，看那個位置的前綴和是否超過 O(logn)O(logn)O(logn)

利用線段樹的特質

如果左半的總和超過xxx，答案就在左半，否則就在右半。

來看一題：TIOJ 1941

你要從(0, 0)走到(n-1, n-1)，只能往上或往右。每一橫排都有一個區間，走過那個區間就會得到一分（但同一個區間走兩次只有一分）。求最大得分 。

Hint: 先想想O(n2)O(n^2)O(n2)的DP解...

掃描線技巧

還記得矩形覆蓋面積的做法嗎？

Twin Permutations

序列操作問題

最理想的身高差

IZHO Sortbooks

動態開點

當值域很大，然後無法壓縮的時候...

直接開整個範圍的線段樹會MLE

但我們需要用到所有的節點嗎？

動態開點的想法

每次修改時只會動到O(logn)O(logn)O(logn)個節點，那我要修改節點的時候再新增就好了

動態開點的實作

改寫指標型線段樹。在遞迴下去之前特判該節點是不是Null。

畈勵：No Judge

謝謝大家

給你一個長度為 $n$ 的序列，維護以下操作：

1. 把區間 $[l, r]$ 的數字全部改成 $x$

2. 詢問 $[l, r]$ 的總和

給你一個長度為 $n$ 的序列，維護以下操作：

1. 把區間 $[l, r]$ 的數字全部改成 $x$

2. 把區間 $[l, r]$ 的數字加上 $x$

3. 詢問 $[l, r]$ 的總和

每次詢問一個位置，看那個位置的前綴和是否超過 $O(logn)$

如果左半的總和超過 $x$ ，答案就在左半，否則就在右半。

你要從(0, 0)走到(n-1, n-1)，只能往上或往右。每一橫排都有一個區間，走過那個區間就會得到一分（但同一個區間走兩次只有一分）。求最大得分。

Hint: 先想想 $O(n^2)$ 的DP解...

每次修改時只會動到 $O(logn)$ 個節點，那我要修改節點的時候再新增就好了