前綴（和）

• 定義 $p_i$為前$i$個東西的和。即$$p_i = \sum_{j = 0}^{i} a_j$$
• 任何一個區間都可以用兩個區間相減表示（區間本身是前綴例外）$$[i, j] = p_j - p_{i - 1}$$

差分

• 定義$d_i$代表第$i$項和第$i - 1$項的差，即$$d_i = a_i - a_{i - 1}$$，且$d_0 = a_0$
• 差分後，可得$a_i = \sum_{j = 0}^i d_j$
• 差分跟前綴互為逆運算（差分的前綴或前綴的差分會得到原序列

那可以用在哪裡呢？

其實隨時都可以用

Good Subarrays

https://codeforces.com/problemset/problem/1398/C

給你一個長度$n$的序列，求出有多少對$i \leq j$，使得$a_i + ... + a_j = j - i + 1$。

$n \leq 10^5$

Non-zero Segments

https://codeforces.com/problemset/problem/1426/D

給你一個長度$n$的序列，求出最少需要插入幾個數字（任意數值）才能使序列中沒有區間和為$0$的子區間。

$n \leq 2*10^5, a_i \neq 0$

一個數列

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1227

給你一個長度$n$的序列，有$m$筆操作，每次選定一個區間，將奇數項（由該區間開始編號）加上$x$和將偶數項扣掉$x$，問最後序列的長相

$n, m \leq 10^6$

麻煩的問題

給你一個序列，支援兩種操作：

1. 改變一個元素的值

2. 求出某個區間的總和

好像沒有什麼好方法維護？

如果我們可以維護一些區間的答案

給你一個序列，支援兩種操作：

1. 改變一個元素的值

2. 求出某個區間的總和

好像沒有什麼好方法維護？（其實有啦w

把一個區間的和拆成好幾塊

假設我們要找$[2, 6]$的話...

線段樹—每個節點存區間的樹

• 線段樹是一顆二元樹，每個節點維護著某區間的答案。
• 兩個子節點維護的區間是原區間切一半之後的左右兩邊。
• 由於將長度為 $n$的區間一直切一半可以切$logn$次，故深度為$O(logn)$

實作方式

• 陣列型（最好寫、空間小）

• 指標型（算好寫、可以處理持久化和動態開點、空間肥）

• 偽指標型（只有 $Wiwihorz$會寫的毒瘤）

cur

2*cur

2*cur + 1

陣列型線段樹：

根節點編號$1$，對大小為$n$的序列需要$4 \times hbit(n)$個節點位置

單點修改操作

每次往下走一層，複雜度$O(logn)$

0.  如果該節點區間為空，直接 return 掉

1. 如果該節點紀錄的區間只有那個點，更新完該點答案後 return
2. 否則判斷要修改的點是在左邊還是右邊遞迴下去，最後更新原節點答案

區間查詢操作

0. 如果該節點區間為空或是不包含詢問區間，直接 return 掉

1. 如果查詢區間包含當前節點的整個區間，回傳該節點紀錄的答案
2. 否則回傳左右子節點的合併結果

每次查詢只會查到$logn$塊？

度

線段樹也可以拿來存

各種東西的答案

• ex. 最大值，最小值

• 最大區間連續和
• 矩陣
• ...

假設我要區間加值又區間求和呢？

總不能分成一堆單點加值來弄吧？

有沒有辦法懶一點

我懶

對每個節點多紀錄一個「懶惰標記 Lazy tag」，代表目前加到那裡的答案。
 

在修改時只動到修改的區間，查詢時順帶資訊

cur

2*cur

2*cur + 1

話說懶標其實有兩種

• 不用下推操作的

（$seg[cur]$代表當前節點經過子節點修改後的答案

• 需要下推操作的

該節點的懶標對$seg[cur]$做事，遇到的時候再處理。

這份講義會先討論第一種

設定懶標的流程（區間修改）

跟區間查詢的程式碼類似

0. 如果該節點區間為空或是不包含修改區間，直接 return 掉

1. 如果查詢區間包含當前節點的整個區間，在這個區間的懶標上做修改操作
2. 否則對左右子節點遞迴修改並且更新當前的答案

[1, 2)

[2, 3)

[3, 5)

操作：

把[1, 5)的每一項東西加上 3

稍微整理一下

• 剛剛的懶標$lazy[cur]$紀錄的是「這個區間的每個東西被加到多少」

• $seg[cur]$在更新時要記得把子節點的長度考慮進去

區間查詢現在要怎麼做呢

0. 如果該節點區間為空或是不包含修改區間，直接 return 掉

1. 如果查詢區間包含當前節點的整個區間，回傳該節點紀錄的值加上懶標
2. 否則對左右子節點遞迴查詢，並且加上當前節點懶標且合併答案

3

3

[3, 4)

[2, 3)

[3, 5)

6

3

6

12

操作：

查詢[2, 4)的

總和

矩形面積合併計算

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1224

給你一堆矩形，找出他們覆蓋範圍的總面積

$n \leq 10^5, 矩形範圍 \leq 10^6$

問題又來了！

給你一個序列，每次詢問一個區間，輸出區間內數字的最小值（無修改）

$n \leq 10^5, q \leq 2 * 10^6$

用線段樹做？$O((n + q)logn)$

介紹倍增表><

令 $sp[i][j]$ 為區間 $[j, j + 2^i - 1]的最小值$

倍增表建立的方法

1. 從小的$i$開始做，$i = 0$時，$sp[i][j] = a[j]$

2. 對於 $[j, j + 2^i - 1]$的最小值，可以將它拆成$$min([j, j + 2^{i - 1} - 1], [j + 2^{i - 1}, j + 2^i - 1])$$

3. 記得 $j$ 只能跑到 $n - 2^i$

那這樣怎麼求區間最小？

Sparse Table 最強的是在當支援的函式

$f$ 可以有$f(i, i) = f(i)$。

選定一個$x$，使得兩個區間聯集會是整個區間

複雜度

建表 $O(nlogn)$

查詢 $O(1)$!!!

裸的題目

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1603

毒瘤，不要輕易嘗試

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1995