先來點簡單的

前綴（和）

定義 $p_i$ 為前 $i$ 個東西的和。即 $p_i = \sum_{j = 0}^{i} a_j$
任何一個區間都可以用兩個區間相減表示（區間本身是前綴例外） $[i, j] = p_j - p_{i - 1}$

差分

定義 $d_i$ 代表第 $i$ 項和第 $i - 1$ 項的差，即 $d_i = a_i - a_{i - 1}$ ，且 $d_0 = a_0$
差分後，可得 $a_i = \sum_{j = 0}^i d_j$
差分跟前綴互為逆運算（差分的前綴或前綴的差分會得到原序列

那可以用在哪裡呢？

其實隨時都可以用

Good Subarrays

https://codeforces.com/problemset/problem/1398/C

給你一個長度 $n$ 的序列，求出有多少對 $i \leq j$ ，使得 $a_i + ... + a_j = j - i + 1$ 。

$n \leq 10^5$

Non-zero Segments

https://codeforces.com/problemset/problem/1426/D

給你一個長度 $n$ 的序列，求出最少需要插入幾個數字（任意數值）才能使序列中沒有區間和為 $0$ 的子區間。

$n \leq 2*10^5, a_i \neq 0$

一個數列

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1227

給你一個長度 $n$ 的序列，有 $m$ 筆操作，每次選定一個區間，將奇數項（由該區間開始編號）加上 $x$ 和將偶數項扣掉 $x$ ，問最後序列的長相

$n, m \leq 10^6$

基本線段樹

Segment Tree

麻煩的問題

給你一個序列，支援兩種操作：

改變一個元素的值
求出某個區間的總和

好像沒有什麼好方法維護？

如果我們可以維護一些區間的答案

給你一個序列，支援兩種操作：

改變一個元素的值
求出某個區間的總和

好像沒有什麼好方法維護？（其實有啦w

把一個區間的和拆成好幾塊

假設我們要找 $[2, 6]$ 的話...

線段樹—每個節點存區間的樹

線段樹是一顆二元樹，每個節點維護著某區間的答案。
兩個子節點維護的區間是原區間切一半之後的左右兩邊。
由於將長度為 $n$ 的區間一直切一半可以切 $logn$ 次，故深度為 $O(logn)$

實作方式

陣列型（最好寫、空間小）
指標型（算好寫、可以處理持久化和動態開點、空間肥）
偽指標型（只有 $Wiwihorz$ 會寫的毒瘤）

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define maxn 100005
using namespace std;
int seg[4 * maxn];
int main() {


}

cur

2*cur

2*cur + 1

陣列型線段樹：

根節點編號 $1$ ，對大小為 $n$ 的序列需要 $4 \times hbit(n)$ 個節點位置

單點修改操作

每次往下走一層，複雜度 $O(logn)$

0. 如果該節點區間為空，直接 return 掉

如果該節點紀錄的區間只有那個點，更新完該點答案後 return
否則判斷要修改的點是在左邊還是右邊遞迴下去，最後更新原節點答案

int seg[4 * maxn];
void modify(int cur, int l, int r, int ind, int val) {
	if (r <= l) return;
	if (r - l == 1 && l == ind) {
		seg[cur] += val;
		return;
	}
	int mid = (l + r) / 2;
	if (ind < mid) modify(cur * 2, l, mid, ind, val);
	else modify(cur * 2 + 1, mid, r, ind, val);
	seg[cur] = seg[cur * 2] + seg[cur * 2 + 1];
}

區間查詢操作

0. 如果該節點區間為空或是不包含詢問區間，直接 return 掉

如果查詢區間包含當前節點的整個區間，回傳該節點紀錄的答案
否則回傳左右子節點的合併結果

int query(int cur, int l, int r, int ql, int qr) {
	if (r <= l || ql >= r || qr <= l) return 0;
	if (ql <= l && qr >= r) {
		return seg[cur];
	}
	int mid = (l + r) / 2;
	return query(cur * 2, l, mid, ql, qr) + \
    query(cur * 2 + 1, mid, r, ql, qr);
}

每次查詢只會查到 $logn$ 塊？

度

線段樹也可以拿來存

各種東西的答案

ex. 最大值，最小值
最大區間連續和
矩陣
...

基本進階線段樹

Basic Lazy Tag on Segment Tree

假設我要區間加值又區間求和呢？

總不能分成一堆單點加值來弄吧？

有沒有辦法懶一點

我懶

對每個節點多紀錄一個「懶惰標記 Lazy tag」，代表目前加到那裡的答案。

在修改時只動到修改的區間，查詢時順帶資訊

cur

2*cur

2*cur + 1

話說懶標其實有兩種

不用下推操作的

（ $seg[cur]$ 代表當前節點經過子節點修改後的答案

需要下推操作的

該節點的懶標對 $seg[cur]$ 做事，遇到的時候再處理。

這份講義會先討論第一種

設定懶標的流程（區間修改）

跟區間查詢的程式碼類似

0. 如果該節點區間為空或是不包含修改區間，直接 return 掉

如果查詢區間包含當前節點的整個區間，在這個區間的懶標上做修改操作
否則對左右子節點遞迴修改並且更新當前的答案

3

[1, 2)

[2, 3)

[3, 5)

6

3

6

12

操作：

把[1, 5)的每一項東西加上 3

稍微整理一下

剛剛的懶標 $lazy[cur]$ 紀錄的是「這個區間的每個東西被加到多少」
$seg[cur]$ 在更新時要記得把子節點的長度考慮進去

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define maxn 100005
using namespace std;
int seg[4 * maxn], lazy[4 * maxn];
void modify(int cur, int l, int r, int ql, int qr, int val) {
	if (r <= l || ql >= r || qr <= l) return;
	if (ql <= l && qr >= r) {
		lazy[cur] += val;
		return;
	}
	int mid = (l + r) / 2;
	modify(cur * 2, l, mid, ql, qr, val);
	modify(cur * 2 + 1, mid, r, ql, qr, val);
	seg[cur] = seg[cur * 2] + (mid - l) * lazy[cur * 2] + \
			seg[cur * 2 + 1] + (r - mid) * lazy[cur * 2 + 1];
}

區間查詢現在要怎麼做呢

0. 如果該節點區間為空或是不包含修改區間，直接 return 掉

如果查詢區間包含當前節點的整個區間，回傳該節點紀錄的值加上懶標
否則對左右子節點遞迴查詢，並且加上當前節點懶標且合併答案

0 + 3

3

[3, 4)

[2, 3)

[3, 5)

6

3

6

12

操作：

查詢[2, 4)的

總和

+3

int query(int cur, int l, int r, int ql, int qr) {
	if (r <= l || ql >= r || qr <= l) return 0;
	if (ql <= l && qr >= r) {
		return seg[cur] + (r - l) * lazy[cur];
	}
	int mid = (l + r) / 2;
	return query(cur * 2, l, mid, ql, qr) + query(cur * 2 + 1, mid, r, ql, qr) \ 
			+ (min(qr, r) - max(ql, l)) * lazy[cur];
}

矩形面積合併計算

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1224

給你一堆矩形，找出他們覆蓋範圍的總面積

$n \leq 10^5, 矩形範圍 \leq 10^6$

稀疏表

Sparse Table

問題又來了！

給你一個序列，每次詢問一個區間，輸出區間內數字的最小值（無修改）

$n \leq 10^5, q \leq 2 * 10^6$

用線段樹做？ $O((n + q)logn)$

介紹倍增表><

令 $sp[i][j]$ 為區間 $[j, j + 2^i - 1]的最小值$

2	3	4	2	3	6	1	3

2	3	2	2	3	1	1	x

2	2	2	1	1	x	x	x

1	x	x	x	x	x	x	x

i = 0

i = 0

i = 1

i = 1

i = 2

i = 2

i = 3

i = 3

倍增表建立的方法

從小的 $i$ 開始做， $i = 0$ 時， $sp[i][j] = a[j]$
對於 $[j, j + 2^i - 1]$ 的最小值，可以將它拆成 $min([j, j + 2^{i - 1} - 1], [j + 2^{i - 1}, j + 2^i - 1])$
記得 $j$ 只能跑到 $n - 2^i$

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define maxn 100005
using namespace std;
int sp[18][maxn], a[maxn];
int n;
int main() {
	for (int i = 0;i < 18;i++) {
		for (int j = 0;j < n - (1<<i) + 1;j++) {
			if (i == 0) sp[i][j] = a[j];
			else sp[i][j] = min(sp[i - 1][j], \ 
					sp[i - 1][j + (1<<(i - 1))]);
		}
	}
}

那這樣怎麼求區間最小？

Sparse Table 最強的是在當支援的函式

$f$ 可以有 $f(i, i) = f(i)$ 。

1	2	4	2	5	3	7	2

i

i

j

j

j - 2^x + 1

j - 2^x + 1

選定一個 $x$ ，使得兩個區間聯集會是整個區間

資結囉

先來點簡單的

前綴（和）

差分

那可以用在哪裡呢？

Good Subarrays

Non-zero Segments

一個數列

基本線段樹

麻煩的問題

給你一個序列，支援兩種操作：

改變一個元素的值

求出某個區間的總和

如果我們可以維護一些區間的答案

給你一個序列，支援兩種操作：

改變一個元素的值

求出某個區間的總和

把一個區間的和拆成好幾塊

線段樹—每個節點存區間的樹

實作方式

cur

2*cur

2*cur + 1

陣列型線段樹：

單點修改操作

區間查詢操作

每次查詢只會查到lognlognlogn塊？

線段樹也可以拿來存

各種東西的答案

ex. 最大值，最小值

基本進階線段樹

假設我要區間加值又區間求和呢？

有沒有辦法懶一點

cur

2*cur

2*cur + 1

話說懶標其實有兩種

設定懶標的流程（區間修改）

稍微整理一下

區間查詢現在要怎麼做呢

矩形面積合併計算

給你一堆矩形，找出他們覆蓋範圍的總面積

稀疏表

問題又來了！

給你一個序列，每次詢問一個區間，輸出區間內數字的最小值（無修改）

介紹倍增表><

令 sp[i][j]sp[i][j]sp[i][j] 為區間 [j,j+2i−1]的最小值[j, j + 2^i - 1]的最小值[j,j+2i−1]的最小值

倍增表建立的方法

那這樣怎麼求區間最小？

複雜度

建表 O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)

查詢 O(1)O(1)O(1)!!!

裸的題目

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1603

毒瘤，不要輕易嘗試

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1995

資結囉 (資讀)

More from justinlai2003

每次查詢只會查到 $logn$ 塊？

令 $sp[i][j]$ 為區間 $[j, j + 2^i - 1]的最小值$

建表 $O(nlogn)$

查詢 $O(1)$ !!!