Sergio Rubio-Pizzorno y Gisela Montiel Espinosa
miércoles 30 de noviembre, 2016
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(...) se ha indicado cómo se debe usar el transportador para medir ángulos y la regla graduada para medir longitudes. En muchos casos se puede obtener la misma exactitud, y quizá mayor, utilizando solamente un compás y una regla no graduada.
Jurgensen et al. (1982, p. 359).
¿Por qué las construcciones con regla (no graduada) y compás poseen ese estatus de exactitud y precisión, superior al dado por herramientas basadas en la medición (transportador y regla graduada)?
Los Elementos de Euclides
Uso de principios no demostrados (Platón)
Definir los objetos geométricos a partir de sus componentes esenciales (Aristóteles)
Componentes esenciales de la Geometría
Definiciones
Peticiones
(1) Punto es, cuya parte es ninguna.
(1) Tirar una línea recta desde cualquier punto hasta cualquier punto.
Punto
Recta
Circunferencia
(2) Línea es longitud que no se puede ensanchar.
(15) Círculo es una figura llana contenida de una línea, que se llama circunferencia, hasta a la cual todas las líneas que salieren de un punto que esté dentro, cayendo en la circunferencia del mismo círculo son entre sí iguales.
(2) Una línea recta terminada extenderla continua y derechamente.
(3) Sobre cualquier centro y distancia describir una circunferencia.
(Zamorano, 1576).
Definiciones
Peticiones
Herramientas teóricas
Componentes esenciales de la Geometría
Características fundamentales con los cuales se constituyen todos los elementos de la Geometría.
Forma de operacionalizar los componentes esenciales de la Geometría.
Geometría
Aspectos teóricos
Aplicación concreta
Herramientas teóricas:
Herramientas concretas: encarnan las herramientas teóricas.
Existencia teórica
Construcción concreta
¿Qué sentido tiene llamarlas construcciones con regla y compás, si para Euclides eran las únicas herramientas disponibles para hacer construcciones geométricas?
La regla no graduada y el compás colapsable se presentan como herramientas concretas que encarnan la esencia de las herramientas teóricas propuestas en el Libro 1.
Lo importante es utilizar instrumentos concretas que encarnen las herramientas teóricas declaradas por Euclides, además de seguir un procedimiento de construcción con base en los aspectos teóricos de los Elementos (definiciones, comunes sentencias, peticiones y proposiciones).
Por lo tanto, una construcción euclidiana corresponde al objeto que se obtiene producto de seguir este procedimiento, usando instrumentos con las características declaradas.
Teóricamente, una construcción es un dibujo imaginario en el cual los puntos y las rectas requeridas se determinan sólo por medio de dos instrumentos idealizados, un compás y una regla no graduada. En la práctica, una figura construida es una representación hecha sobre papel usando solamente un compás y una regla no graduada.
Jurgensen et al. (1982, p. 359).
La descripción de una construcción euclidiana se refiere a la estrecha relación que debe existir entre el proceso de construcción con los aspectos teóricos de la geometría euclidiana, no a los medios de construcción, como la regla y el compás.
Esto permite explorar nuevas formas de desarrollar las construcciones euclidianas a través de distintos medios, siempre y cuando éstos sean representantes concretos de las herramientas teóricas:
Una figura [construcción] mantiene todas las propiedades de acuerdo a las cuales fue construida y todas las consecuencias que conlleva la Geometría Euclidiana en el proceso de construcción.
Leung (2015, p. 467).
Es decir, la Geometría Dinámica es un ambiente que encarna las herramientas teóricas. Por lo tanto sus construcciones son construcciones euclidianas dinámicas o simplemente construcciones dinámicas.
Construcción de un trapecio rectángulo (Rubio-Pizzorno, 2016).
Jurgensen, R. C., Donnelly, A. J., y Dolciani, M. P. (1982). Geometría moderna: estructura y método. México D. F.: Publicaciones Cultural.
Leung, A. (2015). Discernment and Reasoning in Dynamic Geometry Environments. En S. J. Cho (Ed.), Selected Regular Lectures from the 12th International Congress on Mathematical Education (pp. 451–469). Cham: Springer International Publishing. doi: 10.1007/978-3-319-17187-6_26
Rubio-Pizzorno, S. (2016). Construcción de un trapecio rectángulo [Hoja Dinámica de GeoGebra]. doi: 10.13140/RG.2.2.18246.68164
Zamorano, R. (1576). Los seis Libros primeros de la Geometría de Euclides.
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