向量、矩陣

Lecturer: 立葉

建北電資運算思維小社課 Lesson 5

Index

  • 基礎定義

  • 空間概念(帶過)

  • 斜坐標系

  • 向量內積

  • 柯西不等式(好東西)

平面向量(vECTOR)

話說上兩次的運算思維小社課,我們提到了特殊三角比...

STORY TIME!

STORY TIME!

而在下課之後,我們可愛的酥育根跟章程+說:「你怎麼沒有教37-53-90的特殊三角比啊,這樣他們會像我一樣在物理課耍智障欸」

STORY TIME!

陳諒妍表示,這個東西只是估計值硬要講而已;章程甲也表示,這只會出現在物理,啊我又不教物理。

STORY TIME!

「啊我又不教物理?」

這個論述要破滅ㄌ

向量與我們的物理學息息相關ㄋ

雖然這堂課重心不會放在那 故事是白講ㄌ

What is 向量?

這是一個點。

當然,它本身並沒有所謂大小;有形狀只是為了讓你能看的到。

這是一條直線,它會無限延伸。

當然,它本身並沒有所謂寬度,有也只是為了讓你能看的到。

這是一條射線。

它會以一點作為起點,並往另一邊無限延伸。

這是一條線段。

它有兩個端點,但是沒有方向性。

最後就是我們這堂課要交的:向量!

它是一個有起點和終點,具有方向性的線段。

向量的基本性質!

  • 向量由其 大小方向 決定,不在意起點與終點。
  • 向量的圖示:在起點和終點上面畫一個箭頭來表示,如:\(\overrightarrow{AB}\)。為了方便表示,也可以一個字母如 \(\overrightarrow{a}\) 來表示。
  • 向量的量值:以\(|\overrightarrow{AB}|\)來表示。
  • 特殊的向量:
    • 反向量:若一向量與另一向量的量值相同而方向相反,則稱其互為反向量。
    • 零向量:量值為零的向量,記為 \(\overrightarrow{0}\) 。其可視作任意方向。
  • 在生活(aka 物理)上的應用:包括位移、速度、加速度、力等等,都是向量!

平面座標系上的向量

  • 一般來說,我們會令一平面上的向量 \(\overrightarrow{a}\) 的起點為\((0, 0)\)
  • 在這樣的情況時,令它的終點為\((x, y)\)
  • 則我們可以將其表示為 \(\overrightarrow{a} = (x, y)\) 了呢!
  • 當然,如果原點不是起點,那麼該向量為 (終點座標 - 起點座標)
  • 從這種表示方式也可以很輕易地發現,一個向量的量值是\(\sqrt{x^2+y^2}\) 。
  • 以左圖這個向量為例
  • \(\overrightarrow{u} = (1, 3)\)
  • \(|\overrightarrow{u}| = \sqrt{10}\)

向量的加減運算與係數積

  • 設兩個向量 \(\overrightarrow{a} = (x_1, y_1), \overrightarrow{b} = (x_2, y_2)\) ,則:
    • \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (x_1 + x_2, y_1+ y_2)\)
    • \(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (x_1 - x_2, y_1- y_2)\)
    • \(r\overrightarrow{a} = (ra_1, ra_2)\),其中\(r\)為實數
    • 向量與向量的「乘法」?後面會提到!

向量加減的幾何意義

  • 設兩個向量 \(\overrightarrow{a} = (1, 3), \overrightarrow{b} = (2, 1)\) 。我們來把它具象化一下:
  • 而我們由上頁對於向量的加減定義可得知:
    • \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (3, 4)\)
    • \(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (-1, 4)\)

向量加減的幾何意義

  • 仔細觀察它們的圖形,你可以發現:
  • 兩個向量的加法就是物理課所謂「三角形平移法」或「四角形對角線法」的實現!(對名字我亂掰的
  • 至於向量的減法,對於初學者可能較不直觀,但其實真的很直觀
  • 設\(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\),我們稍微將這個式子平移一下,得到\(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{v}\)
  • 所以這樣就變直觀ㄌ!

小小的例題

  • 一個質點以速率 30 m/s的速度碰撞牆壁,並在 0.2 s 內以相同速率反射出去,如圖所示。請求出這顆球碰撞牆壁時所受到的加速度量值?

\(30\)

\(30\)

黃色線段 = \(\sqrt{30^2+30^2-2\times30\times30\times\cos120\degree} \\ = 30\sqrt{3}\)

ans: \(150\sqrt{3} m/s^2\)

向量間的關係

  • 平行向量:
    • 設兩個向量\(\overrightarrow{a} = (x_1, y_1), \overrightarrow{b} = (x_2, y_2)\)
    • 則\(\overrightarrow{a} // \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} = r\overrightarrow{b} \)
  • 單位向量(長度為1的向量):
    • \(\overrightarrow{a} = \pm |\overrightarrow{a}|\overrightarrow{e}\)
    • \(\overrightarrow{e} = \pm\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}\)

向量的線性組合特性

  • 在一平面座標上,設兩個向量\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\),若此兩向量不平行,則任一向量\(\overrightarrow{c}\)都可以 \(r\overrightarrow{a} + s\overrightarrow{b} \) 表示!
  • 例如:
    • 將向量\(\overrightarrow{c} = (-7, -1)\)表示成兩不平行向量\(\overrightarrow{a} = (1, -2)\)與\(\overrightarrow{b} = (-3, 1)\)的線性組合。

ans: \(\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\)

我們可以設 \(\overrightarrow{c} = r\overrightarrow{a} + s\overrightarrow{b}\)

接下來列二元一次聯立方程式,得到

\begin{aligned} \begin{cases} r-3s = -7 \\ -2r+s = -1 \\ \end{cases} \end{aligned}

解方程式,得到 r=2, s=3

向量的線性組合

  • 接下來,我們一樣把上一頁的東西具象化:
  • 我們把它們分別改成 \(2\overrightarrow{a}\) 和 \(3\overrightarrow{b}\) ,並把\(3\overrightarrow{b}\) 稍微平移一下,就可以發現我們已經成功用這兩個向量表示\(\overrightarrow{c}\)了呢!
  • 其實這頁目前沒什麼要講的,只是要告訴你它很漂亮
  • 順便埋個伏筆

向量與斜座標系統

  • 事實上,我們可以使用兩個不平行的向量來創立一個新的斜座標系統!
  • 令 \(\overrightarrow{a} = (1, 0),\overrightarrow{b} = (0, 1)\)
  • 那麼這時候 \(\overrightarrow{c} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b}\) 的座標就是 \((x, y)\) 
  • 也可以從這個角度去發現 \(x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b}\) 可以表示出平面上任一向量
  • 不知道也不太會怎麼樣,但知道了會很有用

畫出來就像這樣!

小小的例題

  • 以下是一個正六邊形ABCDEF,請以 \(\overline{AB} = \overrightarrow{a}\) 和 \(\overline{BC} = \overrightarrow{b}\) 表示 \(\overline{AE}\) 和 \(\overline{EC}\)。

A

B

C

D

E 

F 

O

ans:

\(\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}\)

\(\overrightarrow{EC} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\)

多維空間ㄉ向量

  • 我原本想塞一點空間概念,但我沒時間
  • 對於一個 n 維的向量 \(\overrightarrow{v}\),我們可以寫作 \(\overrightarrow{v} = R^n\)
  • 然後對於這個向量 \(\overrightarrow{v}\),它的座標是 \((a_1, a_2, \dotsb, a_n)\),

量值是 \(\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {a_i}^2}\)

向量內積

  • 也就是「點積」!
  • 向量內積是一個純量
  • 定義為 \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2\)
  • 對於超過三維的向量,我們只能以\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \displaystyle\Sigma_{i=1}^{n} a_ib_i\)表示
  • 在物理課中學到的功,就是力和位移的內積!
  • 內積也是 \(\overrightarrow{a}\) 投影到 \(\overrightarrow{b}\) 的量值乘以 \(|\overrightarrow{b}|\)!
  • 將 \(\overrightarrow{a}\) 投影到 \(\overrightarrow{b}\),則:
    • 其投影的向量量值為 \(\left(\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} }{|\overrightarrow{b}|}\right)\)
    • 其投影的向量本人為 \(\left(\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} }{|\overrightarrow{b}|^2}\right)\overrightarrow{b}\)

小小的例題

  • 已知三角形 ABC 的三邊長為 \(\overline{AB} = 7, \overline{BC}=5, \overline{CA} = 8\),求
    • \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)
    • \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}\)

ans: 44; -5

忘記餘弦定理的點我(雖然那邊的簡報我做的很懶蛋)

柯西不等式

  • 向量形式:
    • \(|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \geq |\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)
  • 實數形式:
    • \(({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2)^2\)
    • 其中等式成立於\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\)
  • 也能推廣到多維!
    • \((\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_iy_i)^2\ \leq (\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {x_i}^2)(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {y_i}^2)\)
    • 等式成立於\(\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = \dotsb =  \frac{x_n}{y_n}\)

用柯西不等式來證明相關係數 \(r\) 的範圍!?

  • 忘記相關係數的點我
  • 我們知道 \(-1 \leq r \leq 1\)
  • 我們的證明方式可以土法煉鋼,把所有東西展開(有時間我在之前的簡報會放證明)
  • 而這邊可以用柯西不等式!
(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_iy_i)^2\ \leq (\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {x_i}^2)(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {y_i}^2) \\ \frac{(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_iy_i)^2}{(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {x_i}^2)(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {y_i}^2) } \leq 1 \\ -1 \leq \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_iy_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {x_i}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {y_i}} = \frac{S_{XY}}{\sqrt{S_{XX}}\sqrt{S_{YY}}} \leq 1 \\

小小的例題

  • 設兩向量 \(\overrightarrow{a} = (x, y)\) 與 \(\overrightarrow{b} = (p, q)\),若 \(|\overrightarrow{a}| = 2, |\overrightarrow{b}| = 6\),求 \(px + qy\) 的最大值。
  • 設 \(P(x, y) 為直線 \(L: 3x + 5y - 4 = 0\) 上的任一點,求 \(3x^2 + 5y^2\) 之最小值及此時數對 \((x, y)\)。

ans: 12

ans: 2;\((\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\)

  • 求 \(y = \sqrt{2x-1} + \sqrt{5-3x}\) 的最大值及此的 \(x\) 值。

ans: \(\sqrt{\frac{35}{6}}\);\(x = \frac{29}{30}\)

向量的應用:重心公式

  • 想必各位應該都還記得重心是什麼吧:)
  • 我們從向量的角度去探討重心
  • 三角形 ABC,我們設 \(A(a_1, a_2), B(b_1, b_2), C(c_1, c_2)\),並設其重心為點G。
G(\frac{a_1+b_1+c_1}{3}, \frac{a_2+b_2+c_2}{3}) \\ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC} \\ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \\

1) 

2) 

3) 

向量的應用:兩向量所張的平行四邊形的面積

  • 從之前學到的正弦定理,我們知道
  • 三角形 ABC 的面積為 \(\frac{1}{2} bc\sin\theta\)
  • 從另一個角度來看,我們可以把其中兩個邊長設為 \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\)
  • 那麼,由這兩個向量所張出的平行四邊形面積就是 \(bc \sin \theta\)!
  • 那麼就會有以下的式子:

\(|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin\theta\)

= \(|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sqrt{1-\cos^2\theta}\)

= \(\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2\cos^2\theta}\)

= \(\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2}\)

  • 二階與三階行列式

  • 二 / 三元一次方程式克拉瑪公式

  • 向量外積

  • 平行四面形 / 平行六面體

行列式

二階行列式

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix} = ad - bc
  • 一些雜七雜八性質:
    • 行列互換,值不變
    • 兩行 / 兩列互換,值變號
    • 任一行 / 列,可提出公因數
    • 任一行 / 列乘以 \(r\) 並加到另一行 / 列,其值不變
    • 可以拆項
\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 + rb_1 & b_1 \\ a_2 + rb_2 & b_2 \\ \end{vmatrix}
\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 + ra_2 & b_1 + rb_2 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix}
\begin{vmatrix} a_1 & b_1 + c_1 \\ a_2 & b_2 + c_2 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \\ \end{vmatrix}

小小的例題

\begin{vmatrix} 2021 & 110 \\ 2022 & 111 \\ \end{vmatrix}
  • 請算出以下行列式的值:
\begin{vmatrix} \sqrt{5}+\sqrt{11}+\sqrt{17} & \sqrt{11} \\ \sqrt{5}+\sqrt{11}-\sqrt{17} & \sqrt{5}+\sqrt{17} \\ \end{vmatrix}

1)

2)

\begin{vmatrix} 2021 & 110 \\ 2022 & 111 \\ \end{vmatrix} = 1911
\begin{vmatrix} \sqrt{5}+\sqrt{11}+\sqrt{17} & \sqrt{11} \\ \sqrt{5}+\sqrt{11}-\sqrt{17} & \sqrt{5}+\sqrt{17} \\ \end{vmatrix} = -23
\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix} = 2015

,求

\begin{vmatrix} 2a & 2b \\ 2c & 2d \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} c & 2c + 3d \\ a & 2a + 3b \\ \end{vmatrix}

ans: 2015

行列式的應用:平行四邊形的面積

  • 設向量 \(\overrightarrow{a} = (a_1, a_2), \overrightarrow{b} = (b_1, b_2)\),則由 \(\overrightarrow{a}\) 和 \(\overrightarrow{b}\) 所張成的平行四邊形面積為:
|\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix}|

對ㄚ我就懶得排版

\begin{aligned} \begin{matrix} & = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2} \\ & = \sqrt{({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2)-(a_1a_2+b_1b_2)^2} \\ & = \sqrt{({a_1}^2{a_2}^2+{a_1}^2{b_2}^2+{a_2}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2)-({a_1}^2{a_2}^2+2a_1a_2b_1b_2+{b_1}^2{b_2}^2)} \\ & = \sqrt{{a_1}^2{b_2}^2-{a_2}^2{b_1}^2-2a_1a_2b_1b_2} \\ & = \sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2} \\ & = |\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} | \\ \end{matrix} \end{aligned}

要看ㄉ自己看

二元一次聯立方程式克拉瑪公式

  • 我們在此定義三個東西:
\begin{aligned} \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \\ \end{cases} \end{aligned}
\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2\\ \end{vmatrix}
\Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2\\ \end{vmatrix}
\Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2\\ \end{vmatrix}
  • 使用 \(\Delta\) 來判斷x, y的解情況!
  • \(\Delta \neq 0\),則x, y有唯一解
  • \(\Delta = 0\),則再分成兩種情況:
    •  \(\Delta_x, \Delta_y = 0\),則x, y有無限多組解
    • \(\Delta_x, \Delta_y\)有任一不為0,則x, y無解
  • 若 \(\Delta \neq 0\),則:
    • \(x = \frac{\Delta_x}{\Delta}\)
    • \(y = \frac{\Delta_y}{\Delta}\)

三階行列式

\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \end{vmatrix} \\ = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3 \\ - a_3b_2c_1 - b_3c_2a_1 - c_3a_2b_1
\begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & a_3 & b_3 \\ \end{matrix}

三階行列式的性質

  • 基本上都跟二階行列式一樣
  • 三階行列式降階成為二階:依據某一行 / 列!
\begin{vmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \\ \end{vmatrix}
\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix}
\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} = -4\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \\ \end{vmatrix}
\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} = -4\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \\ \end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \\ \end{vmatrix}
\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} = -4\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \\ \end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \\ \end{vmatrix} -6\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \\ \end{vmatrix}

變號的時候要依據這張表格

用處?

計算形如

\begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 1001 & 107 & 789 \\ \end{vmatrix}

的三階行列式會方便很多

三元一次聯立方程式克拉瑪公式

  • 我們在此定義四個東西:
\begin{aligned} \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z= d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \\ \end{cases} \end{aligned}
\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_3 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \end{vmatrix}
  • 使用 \(\Delta\) 來判斷x, y, z的解情況!
  • \(\Delta \neq 0\),則x, y, z有唯一解
  • \(\Delta = 0\),則再分成兩種情況:
    •  \(\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z = 0\),則x, y, z 可能無解,也可能無限多組解
    • \(\Delta_x, \Delta_y\, \Delta_z\)有任一不為0,則x, y, z 無解
  • 若 \(\Delta \neq 0\),則:
    • \(x = \frac{\Delta_x}{\Delta}\)
    • \(y = \frac{\Delta_y}{\Delta}\)
    • \(z = \frac{\Delta_z}{\Delta}\)
\Delta_x = \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_3 \\ d_3 & b_3 & c_3 \\ \end{vmatrix}
\Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_3 \\ a_3 & d_3 & c_3 \\ \end{vmatrix}
\Delta_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_3 \\ a_3 & b_3 & d_3 \\ \end{vmatrix}

結論:使用克拉瑪公式解聯立方程式不一定比較方便。

但它判斷解數的情況比較快速

向量外積

  • 是一個向量,只有在空間中才有辦法定義!
  • 寫法為 \(\times\)
  • 為 \(\overrightarrow{a}\) 和 \(\overrightarrow{b}\) 的公垂向量,姑且設它為 \(\overrightarrow{n} = (x, y, z)\)
  • 根據內積,我們可以得到下面這個聯立方程式:
\begin{aligned} \begin{cases} x_1x + y_1y + z_1z = 0 \\ x_2x + y_2y + z_2z = 0 \\ \end{cases} \end{aligned}
  • 然後根據上面二元一次方程式的克拉瑪公式,整理可得到:
\begin{aligned} \begin{cases} x_1x + y_1y = -z_1z \\ x_2x + y_2y = -z_2z \\ \end{cases} \end{aligned}
x:y:z =\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix} :\begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \\ \end{vmatrix} :\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}
\overrightarrow{n} =k(\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \\ \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix})
  • 向量外積定義為 \(k=1\) 時的 \(\overrightarrow{n}\)
  • 方向性:右手法則
  • 物理課學到的力矩,就是一種外積!

空間中兩向量所張成的面積

  • 在前面,我們有提到兩向量所張成的平行四邊形面積
  • 而在空間中,我們可以把這個式子化成
  • 然後你就會發現 :flushed:
\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2} \\ =\sqrt{(\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix})^2 + (\begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \\ \end{vmatrix})^2 + (\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix})^2 }
\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2}
\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2} \\ =\sqrt{(\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix})^2 + (\begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \\ \end{vmatrix})^2 + (\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix})^2 } \\ = |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|

\(\overrightarrow{a}\)

\(\overrightarrow{b}\)

\(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\)

空間中三向量所張成的平行六面體體積

  • 延續上頁,所以我們的平行四邊形面積其實可以一個向量 \(\overrightarrow{t} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) 表示
  • 這時候,體積 = 底面積 \(\times\) 高
  • 我們的高可以 \(|\overrightarrow{c}| \cos\theta\) 表示

\(\overrightarrow{a}\)

\(\overrightarrow{b}\)

\(\overrightarrow{c}\)

|(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c}| \\ = |(\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \\ \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}) \cdot (x_3, y_3, z_3)|\\ = |\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \\ \end{vmatrix}|
  • 體積 =\(||\overrightarrow{t}||\overrightarrow{c}|\cos\theta| = |\overrightarrow{t} \cdot \overrightarrow{c}| = |(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c}|\)
  • 然後把所有的行列式都帶進來,你可以得到:
  • What is 線性代數?

  • 矩陣的基本定義與運算

  • 各種矩陣

矩陣

線性代數

  • 用個前面放的二元一次聯立方程式
\begin{aligned} \begin{cases} x-3y = -7 \\ -2x+y = -2 \end{cases} \end{aligned}
  • 它有兩種幾何意義:

列的圖像

行的圖像

線性代數

\begin{aligned} \begin{cases} x-3y = -7 \\ -2x+y = -2 \end{cases} \end{aligned}

行的圖像

x\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix} +y\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -7 \\ 2 \\ \end{bmatrix}

線性組合

矩陣

  • 把一群數字 / 文字排成矩形陣列
  • 表示法:
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dotsb & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dotsb & a_{2n} \\ \dotsb & \dotsb & & \dotsb \\ a_{m1} & a_{m2} & \dotsb & a_{mn} \\ \end{bmatrix}

或簡記為

A = [a_{ij}]_{m \times n}

其中在第 \(i\) 列和第 \(j\) 行的元素為 \(a_{ij}\)

  • 同階矩陣:列數、行數皆相同的兩個矩陣
  • 矩陣相等:列數、行數相同,且所含元素也相同

各種矩陣

  • 方陣:列數、行數相同
  • 列矩陣: \(m=1\) / 行矩陣:\(n=1\)
  • 轉置矩陣:將 A 行列互換,記為 \(A^T\)
  • 對稱方陣:\(A = A^T\)
  • 反對稱方陣:\(A = -A^T\)
  • 三角矩陣:上三角、下三角、對角
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix}

2 x 2 方陣

3 x 3 方陣

v = \begin{bmatrix} 11 \\ 21 \\ 31 \\ \end{bmatrix}

列矩陣 / 行矩陣可以視為列向量 / 行向量

如右圖所示

它是三維向量

也是 3 x 1 的矩陣

\(R^n = R^{n\times1}\)

v = \begin{bmatrix} 11 & 12 & 13\\ 21 & 22 & 23\\ 31 & 32 & 33\\ \end{bmatrix}

可以把矩陣視為向量的組合體!

列向量 \(\overrightarrow{A_1}\)

列向量 \(\overrightarrow{A_2}\)

列向量 \(\overrightarrow{A_3}\)

v = \begin{bmatrix} \overrightarrow{A_1}\\ \overrightarrow{A_2}\\ \overrightarrow{A_3}\\ \end{bmatrix}

可以寫成這樣!

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{bmatrix}
A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 7 \\ 5 & 7 & 8 \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 & 2 & 5 \\ -2 & 0 & 7 \\ -5 & -7 & 0 \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \\ \end{bmatrix}

上三角矩陣

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix}

下三角矩陣

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{bmatrix}

對角矩陣

矩陣加法

  • 當兩個矩陣的行數、列數相同時,加法才具有意義!
    • 做法:將每個相同位置的元素加起來
    • 減法當然就是反過來囉
  • 係數積:rA 的每個元素都是 A 裡面每個元素的 r 倍
\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 4 & 7 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 7 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 10 \\ 11 & 5 \\ \end{bmatrix}
3\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 4 & -7 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 15 \\ 12 & -21 \\ \end{bmatrix}

小小的例題

A = [a_{ij}]_{2\times2},a_{ij} = i+j\\ B = [b_{ij}]_{2\times2},b_{ij} = i-j\\ C = [c_{ij}]_{2\times2},c_{ij} = i\times j\\ A + B - C = ? \\

ans: 

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}

矩陣乘法

  • 對於 A x B,其中A為 \(m \times p\),B為 \(q \times n\),則我們定義
    • 當 \(p = q\),也就是 A 的列數恰為 B 的行數, A x B 才有意義
    • 有意義時,A x B 為 \(m \times n\) 的矩陣!
    • 作法如下:
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2 \\ 5 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 & 3 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 23 & 7 \\ 34 & 16 \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2 \\ 5 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 7 & 3 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix}

\(c_{11} = 1\times7 + 2\times(-1) = 5 \)

\(c_{12} = 1\times3 + 2\times1 = 5\)

對於 \(C = A \times B\),

\(c_{ij} = (A的第i列) \cdot (B的第j行) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}\)

矩陣乘法

  • 有兩個矩陣 A, B 如下,則
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{bmatrix}
B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ \end{bmatrix}
  • \(A \times B \in R^{2 \times 2}\)
  • \(B \times A \in R^{3 \times 3}\)
  • 看到這邊相信各位已經體悟到,矩陣乘法沒有交換律

方程的矩陣形式

  • 有了矩陣乘法,我們就可以把以下的方程組寫成矩陣了:
\begin{aligned} \begin{cases} 1x + 2y + 3z = 6 \\ 2x + 5y + 2z = 4 \\ 6x - 3y + 1z = 2 \\ \end{cases} \end{aligned}
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 6 & -3 & 1\\ \end{bmatrix}
x= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}
  • 將這 9 個係數提出來變成矩陣,成為我們的係數矩陣 A
  • 然後 x, y, z 三個未知數也形成了行向量 x
  • 三行的解則形成了行向量 b
  • 根據矩陣乘法的定義,我們可以很簡潔的將上面的方程組寫成:
b = \begin{bmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \\ \end{bmatrix}
Ax = b

單位矩陣

  • 我們來介紹一個矩陣:
I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}
  • 對於此矩陣\(I\),\(AI = A, IB = B\) 恆成立
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}

單位矩陣

  • 單位矩陣就是形如下面的方陣:
I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dotsb & 0 \\ 0 & 1 & \dotsb & 0 \\ \dotsb & \dotsb & \ddots & \dotsb \\ 0 & 0 & \dotsb & 1 \\ \end{bmatrix}
  • 其中,我們可以 \(I_n\) 來表示 \(I\) 是 \(n\)的方陣
I_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ \end{bmatrix} , I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} , I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} , \dotsb

逆矩陣

  • 對於實數,我們稱 \(a\) 和 \(\frac{1}{a}\) 互為倒數,其中 \(a \cdot \frac{1}{a} = 1\)
  • 對於矩陣,如果我們有一個矩陣 B,可以使 \(AB = I\),其中 \(I\) 為單位矩陣,那麼 B 稱為 A 的逆矩陣,記為 \(A^{-1}\)
  • 從上面的定義可以發現,只有方陣才有逆矩陣
A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 7 \\ \end{bmatrix}
B = \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ 5 & -2 \\ \end{bmatrix}
  • 經過運算,你可以發現 \(AB = I\) 且 \(BA = I\)
  • 事實上,若一方陣 \(A\) 的逆矩陣為 \(B\),則 \(B\) 的逆矩陣也會是 \(A\)
  • \((A^{-1})^{-1} = A\)

逆矩陣

  • 一些逆矩陣的特性與存在的條件:
    • 一個矩陣若有逆矩陣,則它是唯一的。
    • 若 \(A\) 可逆,則 \(Ax = b\) 的唯一解是 \(x = A^{-1}b\)
      • 若有一非零向量使 \(Ax = 0\),則 \(A\) 不可逆
    • 對於一個 2 x 2 的矩陣,它的逆矩陣存在條件與計算:
  • 對於實數,如果 \(a = 0\),那麼它沒有倒數
  • 那矩陣呢?除了是方陣以外還有什麼限制?
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix}

如果 \(ad - bc \neq 0\),則此逆矩陣存在

逆矩陣

  • 對於一個對角矩陣,如果它對角線上的元素皆不為零,則它有逆矩陣。
A = \begin{bmatrix} d_1 & & \\ & \dotsb & \\ & & d_n \end{bmatrix} , d_1, d_2, \dotsb, d_n \neq 0\\,則 A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{d_1} & & \\ & \dotsb & \\ & & \frac{1}{d_n} \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} \\ \end{bmatrix}

小小的例題

\begin{bmatrix} a & a^2 \\ b^2 & b \\ \end{bmatrix}
  • 設 \(a \in \{-1, 1, 2, 3\} 且 \(b \in \{0, -1, 1, 2}\),試問

矩陣

無反方陣的機率?

ans: \(\frac{3}{8}\)

好欸沒ㄌ 感謝聆聽

  • 如果各位對線性代數超級有興趣,推薦高二多元選修選這門課(但你可能要祈禱不要像我一樣選到第六志願的法語)
  • 超級感謝多元選修就是選線性代數的格瑞格秋。就算他需要複習,還是願意每週都借我線性代數學資讓我參考。我好愛他,可以跟他原地結婚ㄇㄚ
  • python 有一個 module 叫做 numpy,是一個可以操作向量與矩陣運算的模組,有興趣可以自己玩玩看!下學期的 python 課會有一堂課是在教這個,期待一下啦
  • 有沒有發現用這個模板廢話會變超級多
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