最基礎的定義...?

$\sin \theta = \frac{a}{c}$

$\cot \theta = \frac{b}{a}$

$\csc \theta = \frac{c}{a}$

$\sec \theta = \frac{c}{b}$

$\tan \theta = \frac{a}{b}$

$\cos \theta = \frac{b}{c}$

特殊三角比

倒數關係

$\sin \theta\csc \theta = 1$

$\tan \theta \cot \theta = 1$

$\cos \theta\sec \theta = 1$

商數關係

$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$

$\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta$

$\frac{\sec \theta}{\csc \theta} = \tan \theta$

$\frac{\csc \theta}{\sec \theta} = \cot \theta$

三角恆等式

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$

$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$

超級六角形

小小的例題

$8$

求這個三角形中$\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$

$10$

再回到剛剛的三角形

$\sin \theta = \frac{a}{c}$

$\cos \theta = \frac{b}{c}$

由此可推知

$a = c\sin \theta$

$b = c\cos \theta$

投影定理

A: $a\cos\alpha + b\cos\beta$

請以$a, b, \alpha, \beta$表示$c$。

三角函數的幾何意義

此圓為單位圓。請試著找出可以分別代表$\sin \theta, \cos\theta, \tan\theta,\\ \cot\theta, \sec\theta, \csc\theta$

的線段。

$C$

$B$

$D$

$A$

$F$

$G$

$O$

小小的例題

請以$a, \theta$表示$d$。

始邊終邊廣義角

廣義角：$\theta \in \real$

以逆時針為正向

$\overrightarrow{OA}$：始邊

$\overrightarrow{OB}$：終邊

$\tan\theta$ 在 $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \text{Z}$

時沒有意義

標準位置角

始邊在$x$軸正向上！

角度轉換

原函數不變

正餘互換

$(180\degree \pm \theta), (360\degree \pm \theta)$

$\theta$

$(90\degree \pm \theta), (270\degree \pm \theta)$

$\theta$

角度轉換

請求出以下的三角函數值？

$\sin 150\degree$

$\cos 135\degree$

$\tan 225\degree$

$\sin -60\degree$

$\cos 180\degree$

$\tan -300\degree$

$\sin 1050\degree$

$\cos 0\degree$

$\tan 450\degree$

正弦定理

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$

三角形面積

$= \frac{1}{2} \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \sin A$

$= \frac{1}{2} \overline{BC} \cdot \overline{BA} \cdot \sin B$

$= \frac{1}{2} \overline{AC} \cdot \overline{BC} \cdot \sin C$

面積

海龍公式

設 $a, b, c$為三角形的三邊長

$s = \frac{a+b+c}{2}$

則此三角形面積為

$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

餘弦定理

$c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\text{C}$

弧度量

合腳攻勢和角公式

由上一頁的證明，我們可以推出以下幾個式子：

$\cos(a+b) = \cos a\cos b-\sin a\sin b$

$\cos(a-b) = \cos a\cos b+\sin a\sin b$

$\sin(a+b) = \sin a\cos b+\cos a\sin b$

$\sin(a-b) = \sin a\cos b-\cos a\sin b$

$\tan(a+b) = \frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$

$\tan(a-b) = \frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$

倍角公式

由上一頁的證明，我們可以推出以下幾個式子：

$\cos 2\theta = \cos^2 \theta- \sin^2 \theta\\ = cos^2 - (1 - \cos^2 \theta) \\ = 2\cos^2 \theta - 1 \\ = 1 - 2\sin^2 \theta$

$\sin 2\theta = \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta \\ = 2\sin\theta\cos\theta$

倍角公式

$\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$

$2\tan\theta, \dotsb, 1-\tan^2\theta, 1+\tan^2\theta$

$\sin 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$

$tan 2\theta = \frac{1-\tan^2\theta}{1-\tan^2\theta}$

$\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$

半角公式

$\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$

$\tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$

三角函數的圖形

三角函數的圖形

三角函數的圖形

三角函數的圖形

三角函數圖形的疊合

今天我們知道

$-1\leq \sin\theta \leq 1$

$-1 \leq \cos\theta \leq 1$

今天我們知道

$-1\leq \sin\theta \leq 1$

$-1 \leq \cos\theta \leq 1$