先來講講基本定義和一些雜七雜八！

最基礎的定義...?

\(\sin \theta = \frac{a}{c}\)

\(\cot \theta = \frac{b}{a}\)

\(\csc \theta = \frac{c}{a}\)

\(\sec \theta = \frac{c}{b}\)

\(\tan \theta = \frac{a}{b}\)

\(\cos \theta = \frac{b}{c}\)

特殊三角比

倒數關係

\(\sin \theta\csc \theta = 1\)

\(\tan \theta \cot \theta = 1\)

\(\cos \theta\sec \theta = 1\)

商數關係

\(\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta\)

\(\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta\)

\(\frac{\sec \theta}{\csc \theta} = \tan \theta\)

\(\frac{\csc \theta}{\sec \theta} = \cot \theta\)

三角恆等式

\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)

\(\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta\)

\(1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta\)

超級六角形

小小的例題

\(8\)

求這個三角形中\(\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta\)

\(10\)

再回到剛剛的三角形

\(\sin \theta = \frac{a}{c}\)

\(\cos \theta = \frac{b}{c}\)

由此可推知

\(a = c\sin \theta\)

\(b = c\cos \theta\)

投影定理

A: \(a\cos\alpha + b\cos\beta \)

請以\(a, b, \alpha, \beta\)表示\(c\)。

三角函數的幾何意義

此圓為單位圓。請試著找出可以分別代表\(\sin \theta, \cos\theta, \tan\theta,\\ \cot\theta, \sec\theta, \csc\theta\)

的線段。

\(C\)

\(B\)

\(D\)

\(A\)

\(F\)

\(G\)

\(O\)

小小的例題

請以\(a, \theta\)表示\(d\)。

始邊終邊廣義角

廣義角：\(\theta \in \real \)

以逆時針為正向

\(\overrightarrow{OA}\)：始邊

\(\overrightarrow{OB}\)：終邊

\(\tan\theta\) 在 \(\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \text{Z}\)

時沒有意義

標準位置角

始邊在\(x\)軸正向上！

角度轉換

原函數不變

正餘互換

\((180\degree \pm \theta), (360\degree \pm \theta)\)

\(\theta\)

\((90\degree \pm \theta), (270\degree \pm \theta)\)

\(\theta\)

角度轉換

請求出以下的三角函數值？

\(\sin 150\degree\)

\(\cos 135\degree\)

\(\tan 225\degree\)

\(\sin -60\degree\)

\(\cos 180\degree\)

\(\tan -300\degree\)

\(\sin 1050\degree\)

\(\cos 0\degree\)

\(\tan 450\degree\)

正弦定理 && 餘弦定理

正弦定理

\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R\)

三角形面積

\( = \frac{1}{2} \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \sin A \)

\( = \frac{1}{2} \overline{BC} \cdot \overline{BA} \cdot \sin B \)

\( = \frac{1}{2} \overline{AC} \cdot \overline{BC} \cdot \sin C \)

面積

海龍公式

設 \(a, b, c\)為三角形的三邊長

\(s = \frac{a+b+c}{2}\)

則此三角形面積為

\(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

餘弦定理

\( c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\text{C}\)

弧度量

弧度量

三角函數的一堆公式。

吐了

ㄛ還有疊合啦哈哈

合腳攻勢和角公式

由上一頁的證明，我們可以推出以下幾個式子：

\(\cos(a+b) = \cos a\cos b-\sin a\sin b\)

\(\cos(a-b) = \cos a\cos b+\sin a\sin b\)

\(\sin(a+b) = \sin a\cos b+\cos a\sin b\)

\(\sin(a-b) = \sin a\cos b-\cos a\sin b\)

\(\tan(a+b) = \frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\)

\(\tan(a-b) = \frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}\)

倍角公式

由上一頁的證明，我們可以推出以下幾個式子：

\(\cos 2\theta = \cos^2 \theta- \sin^2 \theta\\ = cos^2 - (1 - \cos^2 \theta) \\ = 2\cos^2 \theta - 1 \\ = 1 - 2\sin^2 \theta\)

\(\sin 2\theta = \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta \\ = 2\sin\theta\cos\theta\)

倍角公式

\(\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\)

\(2\tan\theta, \dotsb, 1-\tan^2\theta, 1+\tan^2\theta\)

\(\sin 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}\)

\(tan 2\theta = \frac{1-\tan^2\theta}{1-\tan^2\theta}\)

\(\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}\)

半角公式

\(\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}\)

\(\tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\)

三角函數的圖形

三角函數的圖形

三角函數的圖形

三角函數的圖形

三角函數的圖形

三角函數圖形的疊合

今天我們知道

\(-1\leq \sin\theta \leq 1\)

\(-1 \leq \cos\theta \leq 1\)

今天我們知道

\(-1\leq \sin\theta \leq 1\)

\(-1 \leq \cos\theta \leq 1\)