算術平均數

加權平均數

幾何平均數

非常小小的例題     

以下是運算思維講師之一 rainple0130 這次段考的各科成績。請聰明的你來幫幫他算出他這次段考的加權平均分數ㄅ :partying_face:

一塊地毯在印度原產地賣給當地集貨商時是成本的$6$倍，集貨商賣給外銷商是其成本的$4$倍，外銷商賣給美國的進口商是其成本的$3$倍，而進口商賣給當地的大賣店是成本的$3$倍，大賣店賣給零售商則是其成本的$2$倍。試問平均每一經手者賣出價錢是其成本的幾倍？

[ 北一學資第二冊第二章數據分析 P.32 B部分第一題 ]

（若有必要，請使用計算機。）

不要問我怎麼拿到的w

非常小小的例題     

眾數 & 全距

眾數：一組數據中出現最多次的東東

全距：一組數據中最大與最小數之差

中位數

將一組$n$個數據由小排到大後，

(1)若$n$是奇數：令$k = \frac{n+1}{2}$，則中位數為$x_k$

(2)若$n$是偶數：令$k = \frac{n}{2}$，則中位數為$\frac{x_k+x_{k+1}}{2}$

百分位數

將一組$n$個數據由小排到大後，定義第$k$百分位數$P_k$為：

(1)若$n\times\frac{k}{100}$為整數：

令$m = n\times\frac{k}{100}$，則$P_m = \frac{x_m+x_{m+1}}{2}$

(2)若$n\times\frac{k}{100}$是非整數：

類推適用w (好我不知道我在說什麼

令$m = (n\times\frac{k}{100}$無條件進入到整數位)，則$P_m=\frac{x_m+x_{m+1}}{2}$

四分位數

第一四分位數為$Q_1 = P_{25}$

第二四分位數為$Q_2 = P_{50}$

第三四分位數為$Q_3 = P_{75}$

呈上頁，第$k$百分位數為$P_k$

很小的練習

一組數據$22, 25, 29, 29, 25, 26, a, b, c$，已知眾數是$29$，中位數是$28$，算術平均數是$27$，且$a > b > c$)，求$a$。

很小的練習

在九年級的籃球比賽中，925 班進行班級的自主練習。導師將全班同學人數平分成甲、乙兩組。因為乙組的身高太矮，所以將原本甲組$5$為平均身高為$165$公分的同學調到乙組，再將乙組$5$位平均身高為$153$公分的同學調到甲組，結果乙組後來的平均身高增加$3$公分。試求全班人數？

變異數$\sigma^2$

標準差$\sigma$

剛剛的變異數取正平方根而已la

母體標準差$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i-\mu_x)^2}  = \sqrt{\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \mu_x^2}$

樣本標準差$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i-\mu_x)^2}$

非常小小的例題 :thonk:

酥育根很在意他的體態，習慣在起床後站上電子體重機五次，重複地量測體重。以下是他在某個早上的測量數據：

根據上面的數據，試求出酥育根體重的標準差？

數據的線性變換

•  $\sigma_y = |a|\sigma_x$

標準化分數($z$分數)

設一組$n$個數據$x_1, x_2, x_3,...,x_n$的算術平均數為$\mu_x$，標準差為$\sigma_x$，則規定

標準化分數($z$分數)的性質

(1)$z_1', z_2', z_3',...,z_n'$的算術平均數為0

這些性質會證明ㄇ(?

(2)$z_1', z_2', z_3',...,z_n'$的標準差為1

(3)$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i'^2 = n$

某次段考後，多數同學成績偏低，因此決定將每人的原始成績取平方根再乘以$10$作為正式紀錄。今$100$位同學，發現調整後的平均為$55$分，標準差為$20$分，求這$100$位同學未調整前的平均數。

小小練習

設$f(x) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i - x)^2$，

則其在 $x = \mu_x$，也就是$x$是所有$x_i$的算術平均數時有最小值。

快速穿插小觀念 :thonk:

$f(x) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i - x)^2 \\ = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} ({x_i}^2 - 2{x_i}{x} + x^2) \\ = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} {x_i}^2 - 2x \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i + \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x^2 \\$

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x^2 - 2x\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i \\ = nx^2 - 2xn\mu_{x_i} \\ = n(x^2 - 2x\mu_{x_i} + {\mu_{x_i}}^2) \\ = n(x - \mu_{x_i})^2$

所以 $x = \mu_{x_i}$，也就是算術平均數時有最小值！

有$10$名學生的數學考科及分數分別為$x_1$，$x_2$，$x_3$，...，$x_{10}$，其算術平均數為$8$分，標準差為$2$分。若令$f(x)=(x_1-x)^2+(x_2-x)^2+...+(x_{10}-x)^2$，請選出正確的選項。

(1) $f(8)=20$

(2) $f(8)=40$

(3) ${x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_{10}}^2=680$

(4) $f(7)<f(8)$

(5) $f(8)<f(9)$

小小練習

假設有$n$個數據成等差數列，且其公差為$\sqrt{\frac{2}{3}}$，若此資料的變異數為$231$，求$n$之值。

p.s. 為方便計算，可討論$n$為奇數的情況即可。

挑戰題 (嗎

可是他被歸類在 A 部分 :thonk:

相關係數

設一組$n$個數據 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3),...,(x_n,y_n)$

將這些數據標準化為$(x_1', y_1'),(x_2', y_2'), (x_3', y_3'),..., (x_n', y_n')$，則

定義相關係數$r = \frac{\Sigma_{i=1}^{n} x_i'y_i'}{n}$

我ㄉ數據沒有標準化怎麼辦

我ㄉ數據沒有標準化怎麼辦

相關係數$r$的意義

$r = -1$：

完全負相關

$r = 1$：

完全正相關

相關係數$r$的意義

$-1 < r < 0$：

負相關

$0 < r < 1$：

正相關

相關係數$r$的意義

$r = 0$：零相關

成立於當所有點所形成的圖形呈線對稱

相關係數$r$的性質

• $-1\leq r \leq 1$

• 令$X$與$Y$的相關係數為$r_{(X,Y)}$，則$r_{(X,Y)} = r_{(Y,X)}$

• 設$X' = aX+b, Y' = cX+d$，則：

當$ac>0$時，$r_{(X',Y')} = r_{(X,Y)}$

當$ac<0$時，$r_{(X',Y')} = -r_{(X,Y)}$ 

五位同學在某次定期考中，國文與英文的成績分別如下：

小練習

求這五位同學兩科成績的相關係數。

令$X$代表每個高中生平均每天研讀數學的時間(以小時計)，則$W = 7(24-X)$代表每個高中生平均每週花在研讀數學以外的時間。令$Y$代表每個高中生數學學科能力測驗的成績。設$X, Y$之相關係數為$0.83$，求$w, Y$之相關係數。

小練習

what is 回歸直線

生出一組數據，把它變成散佈圖，

然後我們試圖找到一條距離這些點最近的理想直線

就是鼎鼎大名的回歸直線ㄌ🤤

正式的定義，還有我們具體要怎麼求出的部分ㄋ(?

尋找回歸直線 --- 最小平方法

尋找回歸直線 --- 最小平方法

人們的解決方法：改成求這些距離的平方和，就輕鬆解決啦~

於是我們現在要求的是：

$\Sigma_{i=1}^{n} (y_i - (ax+b))^2$的最小值

怎麼做呢? 土法煉鋼

尋找回歸直線 --- 最小平方法

我們直接來個實例

設$5$個二維數據為：

利用最小平方法，求$Y$對$X$的最適直線方程式。

ans: $y=\frac{7}{10}x + 1$

尋找回歸直線 --- 最小平方法

怎麼做呢？

設回歸直線為$y=a+bx$

則所求$D = \Sigma_{i=1}^{5} (y_i - a - bx_i)^2)$

$= (0-a+2b)^2 + (0-a+b)^2 + ... +(3-a-2b)^2$

$= 5a^2 + 10b^2 -10a - 14b +11$

$= 5(a-1)^2 + 10(b-\frac{7}{10})^2 + \frac{11}{10}$

由此可知，當$a = 1, b = \frac{7}{10}$時，所求$D$有最小值$\frac{11}{10}$

所以我們的回歸直線就是$y = \frac{7}{10}x + 1$

尋找回歸直線 --- 相關係數(?

很多數據怎麼辦?

我們的相關係數$r$派上用場ㄌ！

一組標準化數據的回歸直線為：$y' = rx'$

也就是說...

(1)標準化數據的回歸直線必通過$(0,0)$

(2)標準化數據的回歸直線斜率為$r$

尋找回歸直線 --- 相關係數(?

一組標準化數據的回歸直線為：$y' = rx'$

以$x' = \frac{x_i - \mu_x}{\sigma_x}, y' = \frac{y_i - \mu_y}{\sigma_y}$代入

可以發現$y - \mu_y = m(x - \mu_x)$

而回歸直線必通過$(\mu_x, \mu_y)$

其中，斜率$m = r \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x}  = \frac{S_{XY}}{S_{XX}}$

你還醒著ㄇw

已知$X$與$Y$的二維數據$(x_i, y_i), i = 1, 2, ..., 5$，如下表所示

小練習

標準化得$X'$與$Y'$的二維數據$(x_i, y_i)$，其中$x_i' = \frac{x_i-\mu_x}{\sigma_x}$，$y_i' = \frac{y_i-\mu_y}{\sigma_y}$，$i = 1, 2, ..., 5$，求：

(1) $X'$與$Y'$的相關係數。

(2) $Y'$對$X'$的最適直線方程式

設二組數據$x_1, x_2, ..., x_{10}$與$y_1, y_2, ..., y_{10}$，$x_1+x_2+...+x_10=140$，$y_1+y_2+..+y_10=1300$，${x_1}^2+{x_2}^+...+{x_{10}}^2 = 2528$，${y_1}^2+{y_2}^2+...+{y_{10}}^2 = 184730$，$x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_{10}y_{10} = 21040$，利用最適直線，預測若$x$之值為$25$，$y$之值。

挑戰題 (吧