Slembimargliður og núllstöðvar þeirra

Benedikt Steinar Magnússon <bsm@hi.is>

Háskóli Íslands

Stærðfræði á Íslandi 2017

Bifröst, 28. okt. 

Rætur margliða

Rætur annars stigs margliðu: \(az^2+bz + c = 0\)

 

z_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \qquad z_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
z1=b+b24ac2az2=bb24ac2az_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \qquad z_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
z_k = - \frac 1{3a} \left( b+C + \frac{b^2-3ac}C \right), \quad k=0,1,2
zk=13a(b+C+b23acC),k=0,1,2z_k = - \frac 1{3a} \left( b+C + \frac{b^2-3ac}C \right), \quad k=0,1,2

Rætur þriðja stigs margliðu: \( az^3+bz^2+cz +d = 0\)

þar sem

C = \sqrt[3]{ \frac{ 2b^3-9abc+27a^2 d \pm \sqrt{ (2b^3-9abc+27a^2 d)^2-4(b^2-3ac)^3}}{2}}
C=2b39abc+27a2d±(2b39abc+27a2d)24(b23ac)323C = \sqrt[3]{ \frac{ 2b^3-9abc+27a^2 d \pm \sqrt{ (2b^3-9abc+27a^2 d)^2-4(b^2-3ac)^3}}{2}}

Einnig til formúla fyrir fjórða stigs margliður

... en fyrir margliður af stigi \(n\geq 5\)?

Abel-Ruffini setningin:

Ekki er til almenn lausnarformúla fyrir allar jöfnur af stigi \( n\geq 0\).

En hvar eru ræturnar? 

Undirstöðusetning algebrunnar:

Margliða af stigi \(n\) hefur \(n\) rætur (taldar með margfeldni).

Hvar eru ræturnar þegar \( n\) verður stórt?

Prófum nokkrar margliður

P_n(z) = \sum_{k=0}^n a_n z^n
Pn(z)=k=0nanznP_n(z) = \sum_{k=0}^n a_n z^n

Þar sem \(a_n\) eru einsdreifðar óháðar normlegar tvinntölur með væntigildi 0 og dreifni 1. 

Skilgreinum

\(n=1,...,200\)

Niðurstaða

Þegar \( n \to +\infty\) þá stefna núllstöðvar \(P_n\) á að safnast fyrir jafndreift á einingarhringnum.

Þurfum að útskýra hvað þetta þýðir nákvæmlega.

Fyrir margliðu \(P_n\) af stigi \(n\) skilgreinum við líkindamál

þar sem \(z_k\) eru rætur \(P_n\) og \(\partial_{z_k}\) er punktmassi í \(z_k\).

Niðurstaðan er að 

M_{P_n} := \frac 1n\sum_{k=1}^n \delta_{z_k}
MPn:=1nk=1nδzkM_{P_n} := \frac 1n\sum_{k=1}^n \delta_{z_k}
M_{P_n} \to \frac 1{2\pi} d\sigma, \quad \text{þegar } n\to +\infty
MPn12πdσ,þegar n+M_{P_n} \to \frac 1{2\pi} d\sigma, \quad \text{þegar } n\to +\infty

þar sem \( d\sigma \) er bogmálið á einingarhringunum.

Skoðum málin

þýðir í rauninni að fyrir sérhvert samfellt fall \(f\) þá gildir að  

Reyndir tvinnfallafræðingar þekkja þessi mál því

 

og 

 

þar sem

 

er Laplace virkinn. 

\frac 1n\sum_{k=1}^n f(z_k) \to \frac 1{2\pi} \int_{|z|=1} f\, d\sigma
1nk=1nf(zk)12πz=1fdσ\frac 1n\sum_{k=1}^n f(z_k) \to \frac 1{2\pi} \int_{|z|=1} f\, d\sigma
M_{P_n} \to \frac 1{2\pi} d\sigma, \quad \text{þegar } n\to +\infty
MPn12πdσ,þegar n+M_{P_n} \to \frac 1{2\pi} d\sigma, \quad \text{þegar } n\to +\infty
\frac {1}{2\pi} d\sigma = \Delta \max \{\log|z|, 0\}
12πdσ=Δmax{logz,0}\frac {1}{2\pi} d\sigma = \Delta \max \{\log|z|, 0\}
M_{P_n} = \Delta \frac 1n\log|P_n|
MPn=Δ1nlogPn M_{P_n} = \Delta \frac 1n\log|P_n|
\Delta = \frac {\partial^2}{\partial^2 x} + \frac {\partial^2}{\partial^2 y}
Δ=22x+22y\Delta = \frac {\partial^2}{\partial^2 x} + \frac {\partial^2}{\partial^2 y}

Útúrdúr

Fallið \( \max\{0, \log|z| \} \) er yfirleitt táknað \( \log^+|z| \) og er vel þekkt í tvinnfallagreiningu.

V_{U}(z) := \sup\{ \frac 1{deg(P)} \log|P(z)| ; P \text{ margliða }, \|P\|_U \leq 1 \}
VU(z):=sup{1deg(P)logP(z);P margliða ,PU1}V_{U}(z) := \sup\{ \frac 1{deg(P)} \log|P(z)| ; P \text{ margliða }, \|P\|_U \leq 1 \}

Skilgreining: Fyrir \( U \subset \mathbb C \) þá skilgreinum við útgildisfallið fyrir \( U \) með

Ef \( U= \{ |z| < 1 \} \) þá er 

\[ V_U(z) = \log^+|z| \]

Skoðum \( \max\{\log|z|,0\} \)

Tökum eftir að 

Við skrifuðum margliðurnar á forminu 

\[ P_n(z) = \sum_{k=0}^n a_k z^k \]

\max\{ 0, \log|z| \} = \lim_{n \to +\infty} \frac 1{2n} \log \sum_{k=0}^n |z^k|^2
max{0,logz}=limn+12nlogk=0nzk2\max\{ 0, \log|z| \} = \lim_{n \to +\infty} \frac 1{2n} \log \sum_{k=0}^n |z^k|^2

Er kannski galdurinn fólginn í \( z^k \)?

Það er, ákvarðar formið á margliðunum það að við fáum út einingarhringinn?

Afhverju einingarhringinn

Föllinn \( z^k \) mynda grunn fyrir rúm allra margliða. 

þar sem \( \lambda \) er flatarheildið yfir einingarskífuna.

\langle f,g \rangle = \int f\overline g d\lambda
f,g=fgdλ\langle f,g \rangle = \int f\overline g d\lambda

Þetta er auk þess þverstæður grunnur með tilliti til staðalsins

Lokaniðurstaða

Setning: Gerum ráð fyrir að \( U \subset \mathbb C \) sé opið, samanhangandi og einfaldlega samanhangandi. Látum \( \rho_k \) vera grunn fyrir rúm margliða sem er þverstaðlaður með tilliti til flatarheildisins yfir \( U \). 

Þá er

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac 1{2n}\log \sum_{k=0}^n \rho_k(z)\overline{\rho_k(z)} = V_U(z) \] í jöfnum mæli á þjöppuðum  mengjum í \( C \).

Auk þess, ef \[ P_n = \sum_{k=0}^n a_k \rho_k(z) \] er runa af slembimargliðum þá gildir næstum örugglega að 

\[ \frac 1n \log|P_n(z)| \to V_U(z) \]

Lokaniðurstaða

auk þess þá gildir að 

\[ \Delta \frac 1n \log|P_n(z)| \to \Delta V_U(z) \]

Málið \( \Delta V_U \) kallast jafnvægismálið fyrir \( U \) og ákvarðast ótvírætt af því að það lágmarkar orkuna 

\[ -\int \int \log|z-w| d\nu(z) d\nu(w) \]

Slembimargliður og núllstöðvar þeirra

By benediktmagnusson

Slembimargliður og núllstöðvar þeirra

  • 19
Loading comments...

More from benediktmagnusson