三平方の定理でわかる

特殊相対性理論

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時速100kmで走る自動車から、ピッチングマシンで後方に向かって100km/hでボールを投げると、ほぼその場に落ちます。トリビアの泉でもやってましたね。
逆に前方にボールを投げると、地面で止まっている人からみればおよそ200km/hで飛びます。


では、光速で進む宇宙ロケットの中で、前方に鏡を置いて懐中電灯で照らした場合、光の速さは元の光速の2倍で進んでいくのでしょうか?そんな事はありません。我々がいるこの宇宙では光速は一定で、運動している座標では時間が遅れるため、ロケットの外で静止してる人から見てもロケットの中の人からみてもどちらも光速は同じ速度になる、というのが特殊相対性理論です。

電車の中から見た場合

A

B

この四角を動いている電車とします。点Aにライトを置き、点Bに鏡を置きます。ここでライトをつけると光の速さで鏡に到達します。光速度=c、時間をtとすると「距離=速さ×時間」なのでABの距離はctと表せます。

ct

電車の外から見た場合

A

B

電車の外から見ると、ライトに光が戻ってくるまでに点Aは移動しています。

A’

B’

ct’

A

A’

A

B

A’’

A’

A

B’’

B’

B

ct’

ct

vt’

電車の内外での差異

A’

A

B’

B

ct’

ct

vt’

この部分に注目します。光速度=c, 電車の速度v, A->Bへ光が到達するのにかかった時間をtとします。光速度は不変ですから、電車の中から見ても外から見ても同じcです。

 

しかし電車の外から見てる人には、AB'のように見えます。この距離は明らかにABより長いですね。光速度は不変なので、電車の時間が遅く進んでるように見えます。

ct

三平方の定理より算出

外から見て電車の中の光が鏡に到達する時間をt'と置くと、三平方の定理より次の式が見いだせます。

(ct')^2 = (ct)^2+(vt')^2

t’についてまとめると

t’^2(c^2‐v^2)=c^2t^2 

両辺をc^2で割ると

t’^2 \frac{c^2‐v^2}{c^2}=t^2 

この式を展開して

t'= \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}t

まとめ

つまり、電車の中の時間は電車の外の時間に対して下記の係数

\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

をかけた分だけ遅れる事がわかりました。vが小さい場合はこの式はほぼ1になるので無視できます。vが光速に近づくと分母が0に収束していくため、この係数は無限大に向かって大きくなり、それだけ時間が遅れることになります。

 

この係数をローレンツ因子といいます。

特殊相対性理論は、アインシュタインが1905年に発表していなくても数十年以内に誰かが発表していただろう、と言われています。その根拠となるのが「光速度不変の原理」です。これは「マクスウェルの電磁波における波動方程式(1864,マクスウェル)」において光速度が不変となることが元になっています。

 

アインシュタインが天才である事は疑いようのない事実ですし、これを重力まで発展させた一般相対性理論はかなり難しいのですが、特殊相対性理論は中学生程度の数学ができれば十分に理解できるほど簡単です。

おわりに

三平方の定理でわかる特殊相対性理論

By hakaicode

三平方の定理でわかる特殊相対性理論

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