存在型を学ぼう

@lyrical_logical

rpscala 164 回

∃

Existential Quantifier

存在量化子

発端

https://twitter.com/xuwei_k/status/681522376132055040

を含む一連のツイート

• Kenji Yoshida (twitter id: xuwei_k)
  • ​scalaz comitter
  • よくキャッチアップだけして解説任せるマン​
    • アンテナ性能は非常に優秀
  • 任されてみました
• purescript
  • Haskell like な altjs
• Exists
  • ​purescript で存在量化子を表現するデータ型

• 存在量化子
  • ​述語論理とかで使う量化子
  • 記号としては ∃
  • ある○○について～
    • ​ある○○の存在を仮定して～
  • 双対として全称量化子がある
    • ​こっちの方が popular

• 全称量化子
  • ​述語論理にとかで使う量化子
    • ​popular な方
  • 記号としては ∀
  • 任意の○○について～

プログラミングとの関係は？

• Curry-Howard Isomorphism​
  • カリー・ハワード同型
  • カリー・ハワード対応とも
    • ​Curry-Howard Correspondence

Proofs as Programs

プログラムとしての証明

Propositions as Types

型としての命題

• Curry-Howard Isomorphism​
  • カリー・ハワード同型
  • カリー・ハワード対応とも
    • ​Curry-Howard Correspondence
  • ​Proofs = Programs
    • ​証明もプログラムも似たようなもの
  • Propositions = Types
    • ​命題も型も似たようなもの

• Proofs = Programs
  • ​証明もプログラムも似たようなもの
• Propositions = Types
  • 命題も型も似たようなもの
• ​証明するには何らかの論理が必要
  • ​プログラミング言語のようなもの
• 述語論理では量化子が使われる
  • ​対応する言語機能（や表現）があるはず

• 全称量化子
  • ​任意の○○について～
• ​プログラムでは…？
  • ​Generics 等が相当

trait Forall[A] { ... }
// 任意の A について ...

• 存在量化子
  • ​ある○○について～
• ​プログラムでは…？
  • ​Existential Types が相当（名前通り）
    • ​SLS 3.2.10 参照
    • SLS = Scala Language Specification

import scala.language.existentials
class Ex(a: A forSome { type A })
// ある A について ...
// ある A の存在を仮定して ...

言語機能にある

これでおしまい？

• forSome
  • ​Java の Wildcards 相当
    • ​singleton types があるのでちょっとだけ強い
  • 実は大した表現力はない

// これらはできる
T forSome { type T }
T forSome { type T <: Upper }
T forSome { type T >: Lower }
T forSome { type T >: Lower <: Upper }
// こういうのはだめ
T forSome { type T : ContextBound }

• つまり…
  • ​以下はできる
    • ​ある型を継承した型について～
    • ある型を親クラスに持つ型について～​
  • 以下は *** できない ***
    • ある性質を持つ型について～
      • ​「ある性質」は継承関係を除く
    • ​より practical には
      • ​ある Monoid な型について～​

存在量化としては

限定的でしかない！

• 一方 Haskell は？
  • ​できます​（GHC 拡張で）
  • 値コンストラクタに対する全称量化で表現​

data Nanika = forall a. Nanika a
-- Nanika :: forall a. a -> Nanika
-- 擬似コードですが、以下に相当
-- Nanika :: (exists a. a) -> Nanika

• 値コンストラクタに対する全称量化で表現​
  • ​Scala でもできるんじゃ？
    • ​GADTs あると、できてしまうんだなあ

sealed trait Foo
case class Bar[T](t: T) extends Foo

• しかし不便
  • ​元々のモチベーションである問題発生
    • ​パターンマッチ時に型がわからない

foo match {
  // t の型がわからず Any になる！ 
  case Bar(t) => ...
}

話を戻す

• purescript の Exists とは
  • exists a. f a を表現する
    • ある a についての f a を表現
    • ​exists a で導入される a には制限がない
      • ​なんの性質も持たない任意の型
    • ​型パラメタとしてでてきちゃう
      • ​が、見せるほどのものではないことがある
        • ​これを「隠す」ためのもの

• ​型パラメタとしてでてきちゃう
  • ​が、見せるほどのものではないことがある​
    • これを「隠す」ためのもの
  • 具体例
    • ​A を提供する Stream
    • Impl は実装の詳細
      • 別に​見せたくない

trait Stream[A, Impl] { ... }

• ​abstract type member​s​ を使う
  • 何の型なのかは分からない
    • ​目的に合致している

trait Stream[A] {
  type Impl
  ...
}

• ​abstract type member​s​ を使う
  • Upper bounds, Lower Bounds 使える​
  • Context Bounds も擬似的に表現可能
    • ​メンバとして要求

trait Stream[A] {
  type Impl <: Any >: Nothing
  def ev: Monoid[Impl]
  ...
}

• purescipt の Exists を Scala で
  • ​Rank2-polymorphism がなくてちょっとダサい
    • ​オブジェクトとメソッドで擬似的に表現

sealed trait Exists[F[_]] { type A }
object Exists {
  def apply[F[_], A](fa: F[A]): Exists[F] = ExistsImpl(fa)
  def run[F[_], R](runner: Rank2[F, R], ex: Exists[F]): R =
    ex match { case ExistsImpl(fa) => runner.apply(fa) }
  type Rank2[F[_], R] = { def apply[A](fa: F[A]): R }
  case class ExistsImpl[F[_], T](fa: F[T]) extends Exists[F] {
    type A = T
  }
}

• Exists を使った例
  • ​StreamF から Stream を構築できるぞい

type StreamF[A, S] = S => (S, A)
type Stream[A] = Exists[({ type App[S] = StreamF[A, S] })#App]

• まとめ
  • ​存在型＝述語論理における存在量化子​
  • ​Scala には言語機能として予め備わっている
    • ​表現力があまり高くない
      • ​他の言語機能を使って実現しよう
  • ​​abstract type members
    • 存在型を表現可能
    • ​existential types より表現力豊か
      • ​Monoid であることを要求したり…

forSome とか

誰も使わないよね

おわり