Esimerkki

Ratkaise Kuun ratanopeus Maapallon ympäri.

Kuun ja Maan painopisteiden keskietäisyys on

392 508 km ja Maan massa on                     

5,9737 \cdot 10^{24} \text{ kg}.
5,9737⋅1024 kg.5,9737 \cdot 10^{24} \text{ kg}.

Ratkaisu

\overline{a}_n
a‾n\overline{a}_n
\overline{F}_G
F‾G\overline{F}_G
\overline{v}
v‾\overline{v}

Kirjataan lähtöarvot

M_{maa}=5,9737 \cdot 10^{24} \text{ kg}, \ r=392 \ 508 \ 000 \text{ m}
Mmaa=5,9737⋅1024 kg, r=392 508 000 mM_{maa}=5,9737 \cdot 10^{24} \text{ kg}, \ r=392 \ 508 \ 000 \text{ m}

Oletetaan, että Kuu on tasaisessa ympyräliikkeessä.

Newtonin 2. laki

\sum \overline{F}=m_{kuu}\overline{a}
∑F‾=mkuua‾\sum \overline{F}=m_{kuu}\overline{a}
\overline{F}_G\color{Black}{=m_{kuu}}\color{Goldenrod}{\overline{a}_n}
F‾G=mkuua‾n\overline{F}_G\color{Black}{=m_{kuu}}\color{Goldenrod}{\overline{a}_n}
\gamma \cdot \dfrac{m_{kuu}M_{maa}}{r^2}\color{Black}{=m_{kuu}}\dfrac{\color{CornflowerBlue}{v}^2}{r}
γ⋅mkuuMmaar2=mkuuv2r\gamma \cdot \dfrac{m_{kuu}M_{maa}}{r^2}\color{Black}{=m_{kuu}}\dfrac{\color{CornflowerBlue}{v}^2}{r}
a_n=\dfrac{v^2}{r}
an=v2ra_n=\dfrac{v^2}{r}

Gravitaatiolaki

\gamma \cdot \dfrac{M_{maa}}{r^2}\color{Black}{=}\dfrac{\color{CornflowerBlue}{v}^2}{r}
γ⋅Mmaar2=v2r\gamma \cdot \dfrac{M_{maa}}{r^2}\color{Black}{=}\dfrac{\color{CornflowerBlue}{v}^2}{r}
\overline{a}_n
a‾n\overline{a}_n
\overline{F}_G
F‾G\overline{F}_G
\overline{v}
v‾\overline{v}
\gamma \cdot \dfrac{M_{maa}}{r^2}\color{Black}{=}\dfrac{\color{CornflowerBlue}{v}^2}{r}
γ⋅Mmaar2=v2r\gamma \cdot \dfrac{M_{maa}}{r^2}\color{Black}{=}\dfrac{\color{CornflowerBlue}{v}^2}{r}
\cdot r
⋅r\cdot r
\gamma \cdot \dfrac{M_{maa}}{r}\color{Black}{=}{\color{CornflowerBlue}v}^2
γ⋅Mmaar=v2\gamma \cdot \dfrac{M_{maa}}{r}\color{Black}{=}{\color{CornflowerBlue}v}^2
\sqrt{}
\sqrt{}
{\color{CornflowerBlue}v}=\sqrt{\dfrac{\gamma M_{maa}}{r}}
v=γMmaar{\color{CornflowerBlue}v}=\sqrt{\dfrac{\gamma M_{maa}}{r}}
{\color{CornflowerBlue}v}=\sqrt{\dfrac{6,67384 \cdot 10^{-11}\frac{\text{m}^3}{\text{kg}\text{s}^2}\cdot 5,9737 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{392 \ 508 \ 000 \text{ m} }}
v=6,67384⋅10−11m3kgs2⋅5,9737⋅1024 kg392 508 000 m{\color{CornflowerBlue}v}=\sqrt{\dfrac{6,67384 \cdot 10^{-11}\frac{\text{m}^3}{\text{kg}\text{s}^2}\cdot 5,9737 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{392 \ 508 \ 000 \text{ m} }}
\approx 1007 \text{ m/s}
≈1007 m/s\approx 1007 \text{ m/s}

Vastaus:

Kuun ratanopeus Maapallon ympäri on noin 1007 m/s. 

FY5/8: Esimerkkejä gravitaatiosta

By Opetus.tv

FY5/8: Esimerkkejä gravitaatiosta

  • 1,125

More from Opetus.tv