Opetus.tv PRO
Opetus.tv
Upotetaan paine-anturi vedellä täytettyyn mittalasiin ja tutkitaan paineen riippuvuutta syvyydestä.
Hydrostaattinen paine
Taulukoidaan paine ja syvyys.
Esitetään mittaustulokset (h, p) -koordinaatistossa.
Hydrostaattinen paine
Paine (kPa)
Syvyys (cm)
Huomataan, että paine on suoraan verrannollinen syvyyteen.
p ~ h
Hydrostaattinen paine
Tarkastellaan suoran ympyrälieriön muotoista nestepatsasta.
V=\color{Green}A\color{Black}h
m = \rho V
Nestepatsaan tilavuus
Nestepatsaan massa
m = \rho \color{Green}A\color{Black} h
||V=A h
Nestepatsaan paino
\color{Salmon}{G}\color{Black}=mg
||m=\rho A h
\color{Salmon}G\color{Black}=\rho\color{Green} A \color{Black}h\color{Black}g
\overline{G}
\color{Green}A
h
Hydrostaattinen paine
Nestepatsaan pohjaan kohdistuva paine
p=\dfrac{\rho\color{Green} A \color{Black}hg}{\color{Green}A}
p=\dfrac{\color{Salmon}G}{\color{Green}A}
||G=\rho A hg
p=\rho hg
\overline{G}
\color{Green}A
h
Hydrostaattinen paine
Hydrostaattinen paine on väliaineeseen kohdistuvan painon aiheuttama paine.
p_{hydro}=\rho g h
\rho
h
on aineen tiheys
on syvyys
g
on putoamiskiihtyvyys
h
p_0
p_{kok}=p_0+p_{hydro}
=p_0 + \rho g h
\rho
p_0
Esimerkki
Kyhmylyhtykrotti elää meressä 4000 metrin syvyydellä. Laske kyhmylyhtykrottiin kohdistuvan paineen suuruus.
Ratkaisu
Kirjataan lähtöarvot
h
p_0
p_{kok}
h=4000 \text{ m}, \ g=9,81 \text{ m/s}^2, \ p_0=101 \ 325 \text{ Pa}, \ \rho=1030 \text{ kg/m}^3
Lasketaan kalaan kohdistuva kokonaispaine, joka on hydrostaattisen paineen ja ilmanpaineen summa.
p_{kok}=\color{CornflowerBlue}{p_0}\color{Black}{+}\color{CornflowerBlue}p_{hydro}
=\color{CornflowerBlue}{p_0}\color{Black}+\color{CornflowerBlue}\rho gh
=101 \ 325 \text{ Pa}
\approx 41 \text{ MPa}
+ 1030 \text{ kg/m}^3 \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot 4000 \text{ m}
Ratkaisu GeoGebralla
Yksikkösijoitus menee "nätisti", kun sijoittaa
p_0 = 101325*kg*m/s^2/m^2
eli pascalin määritelmän SI-järjestelmässä.
Esimerkki
Sukellusvene on 350 metrin syvyydessä. Sukellusveneen sisällä vallitsee normaali ilmanpaine. Kuinka suuri ja minkä suuntainen voima pitäisi vähintään kohdistaa sukellusveneen pelastautumisluukkuun, jotta luukku saadaan auki? Luukun koko on 0,75 neliömetriä?
Ratkaisu
Kirjataan lähtöarvot
h=350 \text{ m}, \ \rho=1030 \text{ kg/m}^3, \ g=9,81 \text{ m/s}^2,
\ p_0 = 101 \ 325 \text{ Pa}, \ A=0,75 \text{ m}^2
h
p_0
p_{u}
p_s
\Delta p=\color{CornflowerBlue}{p_u}-\color{CornflowerBlue}{p_s}
\Delta p=(\color{CornflowerBlue}{p_0}+\rho g h)-\color{CornflowerBlue}{p_0}
\Delta p=\rho g h
Lasketaan sukellusveneen ulko- ja sisäpuolen välinen paine-ero.
h
\overline{F}_k
Lasketaan paine-eron luukkuun aiheuttaman voiman suuruus.
\Delta p = \dfrac{\color{Salmon}{F_k}}{\color{Grey}A}
eli
\color{Salmon}{F_k}\color{Black}=\Delta p \cdot \color{Grey}A
Ratkaisu
||\Delta p = \rho g h
\color{Salmon}{F_k}\color{Black}=\rho g h \cdot \color{Grey}A
\color{Salmon}{F_k}\color{Black}=1030 \text{ kg/m}^3 \cdot 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot 350 \text{ m} \cdot 0,75 \text{ m}^2
\color{Salmon}{F_k}\color{Black}=\Delta p \cdot \color{Grey}A
\color{Salmon}{F_k} \color{Black}\approx 2,7 \text{ MN}
h
\overline{F}_k
Ulkoapäin kohdistuu 2,7 MN suuruinen voima.
Sisältä on kohdistettava vähintään yhtä suuri voima, jotta luukku saadaan avattua työntämällä.
Vastaus:
Voiman suuruus on vähintään 2,7 MN ja sen suunta on sisältä ulospäin.
\overline{F}
FY2/8: Hydrostaattinen paine (LOPS2016)
By Opetus.tv
