自己紹介

京都大学工学部工業化学科 2回生
本名：岡島和希
AtCoder：水色
C++で書いてます、Pythonは読むだけなら…
昨日ゲームAIを触ったらすごい楽しくてさっきまでやってた
みなさん、もっとわいわいしませんか？

KMC-ID : zeke

slack(内部チャット)

皆さんの自己紹介もお願いします。

名前(部員の方はKMC-ID)
所属(大学など)
使える言語や使う予定の言語
プログラミング経験や競プロの経験(もちろんなくても大丈夫！)
趣味・特技・意気込みなど
何か言いたいこと（あれば）

あくまで一例ですが、下を参考に

今日の内容

累積和
いもす法
しゃくとり法
コンテスト！

今日の内容に入る前に

前提知識

配列書けますか？

計算量について分かっているとよい

区間問題

区間
- 数学と同じ
- 区間に含まれる要素
  - ある配列に関して、インデックス(添字)が指定された区間内である要素の集合
区間に関する問題
- ある配列が与えられ、複数の区間に対してなんらかの数値を求める問題
  - 区間に含まれる要素の和　など

区間

区間に関する問題で使える手法
- 累積和
- いもす法
- しゃくとり法
- セグメント木
- Binary Indexed Tree (BIT)
- 平方分割
- ...

区間問題

累積和

累積和とは
- 連続する区間の和を高速で求める手法
- 先頭から各要素までの和(=累積和)を利用する
- 実は和以外にも使えるらしい
  - (逆演算が存在すれば)

累積和

使える状況　　　　　　　　　　　　　　　　
- 区間和を大量に求めたい時　　　　　
- etc...

例題

長さの数列 { } が与えられる。

それに対し個のクエリが与えられる。

各クエリでは2整数が与えられるので、

区間の和を求めよ。

制約

問題文

実行時間制限: 2 sec / メモリ制限: 1024 MB

1\leqq N \leqq 10^5

1\leqq Q \leqq 10^5

N

{a_n}

Q

i,j

(1\leqq i \leqq j \leqq N)

a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+\dots+a_{j}

毎回言われた通り i から j までの要素を足していく
- i = 1 , j = N の時、N 回足さなければいけない
- つまりクエリごとに最悪　　　かかる
- これが Q 回繰り返されると
- よって計算量は最悪

間に合わない！！

解法１：愚直解

O(N)

O(QN)

10^{10}

準備として先頭から各要素までの部分和(=累積和)を求めておく
その部分和の配列を{ }とし、もとの配列を{ }とする
S[i] := 半開区間 [0, i) における部分和
つまり

解法２：累積和

S_i=\sum_{k=0}^{i-1} a_k

{S_n}

{a_n}

累積和

		1	2	3	4	5	6	7	8
配列		2	0	-2	-4	2	4	10	-5
累積和

解法２：累積和

{S_0}

{a_0}

{S_1}

{S_2}

{0}

{\vdots}

{S_i}

{\vdots}

{S_{N}}

{a_0}+{a_1}

{a_0}+{a_1}+\dots+{a_{i-1}}

{a_0}+{a_1}+\dots+\dots+{a_{N-1}}

(={S_1}+{a_1})

(={S_0}+{a_0})

(={S_{i-1}}+{a_{i-1}})

(={S_{N-1}}+{a_{N-1}})

解法２：累積和

S[0]=0;
for(int i=1;i<=N;i++){
    S[i]=S[i-1]+a[i-1];
}

{ }は以下のように求めることができる

計算量は

{S_n}

O(N)

解法２：累積和

この{ }を使って、閉区間[ i , j ]の要素の和を求めたい
からまでの和なので、　　　　　とすれば求められる
計算量は

{a_i}

{a_j}

{S_n}

{S_{j+1}}-{S_{i}}

O(1)

解法２：累積和

なぜなら

{S_i}

{S_{j+1}}

{a_0}+{a_1}+\dots+{a_{i-1}}

{a_0}+{a_1}+\dots+{a_{i-1}}+{a_{i}}+\dots+{a_{j}}

ー

{a_{i}}+\dots+{a_{j}}

{S_{j+1}}-{S_{i}}

解法２：累積和

まず累積和を求めるのに
一つのクエリを処理するのに
それを Q 回行うので、クエリの処理全体で
よって、全体の計算量は
すなわち　程度
これなら十分間に合う！

O(N)

O(1)

O(Q)

O(N+Q)

10^5

二次元累積和

さっきは一次元領域だった
- 区間の和を高速に求めた
二次元領域でも累積和が使える
- 長方形領域内の和を高速に求める
考え方はさっきとほとんど同じ

二次元累積和

累積和の準備

全ての行(横方向)に対して累積和を取る

Step 2で求めた累積和を用いて、さらに全ての列(縦方向)に対して累積和を取る

出来上がった二次元累積和を用い、長方形領域内の和を求める

二次元累積和

Step 1

Step 2

Step 3

Step 4

使い方

Step 1　累積和の準備

もとの二次元配列よりも縦横それぞれ1つだけ大きい配列を作っておく
最初の行・最初の列を 0 で埋める
- 半開区間を表現するため

いめーじ

Step 1　累積和の準備

{a}	0	1	2	3	4	5
0	5	0	-3	0	7	2
1	2	8	-1	3	0	-3
2	4	8	-3	8	8	5
3	1	1	7	-3	6	1
4	-2	5	6	-3	0	-2
5	-4	3	2	0	-1	2

これが元の配列a だとすると...

Step 1　累積和の準備

{a'}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

こうなります（この配列を説明上a'とする）

Step 2　全ての行に対して累積和を取る

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

Step 2　全ての行に対して累積和を取る

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

Step 2　全ての行に対して累積和を取る

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

Step 2　全ての行に対して累積和を取る

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

Step 2　全ての行に対して累積和を取る

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

Step 2　全ての行に対して累積和を取る

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

Step 2　全ての行に対して累積和を取る

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	2	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

Step 2　全ての行に対して累積和を取る

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	2	9	11
2	2	10	9	12	12	9
3	4	12	9	17	25	30
4	1	2	9	6	12	13
5	-2	3	9	6	6	4
6	-4	-1	1	1	0	2

Step 3　全ての列に対して累積和を取る

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	2	9	11
2	2	10	9	12	12	9
3	4	12	9	17	25	30
4	1	2	9	6	12	13
5	-2	3	9	6	6	4
6	-4	-1	1	1	0	2

Step 3　全ての列に対して累積和を取る

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	2	9	11
2	2	10	9	12	12	9
3	4	12	9	17	25	30
4	1	2	9	6	12	13
5	-2	3	9	6	6	4
6	-4	-1	1	1	0	2

Step 3　全ての列に対して累積和を取る

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	2	9	11
2	7	10	9	12	12	9
3	4	12	9	17	25	30
4	1	2	9	6	12	13
5	-2	3	9	6	6	4
6	-4	-1	1	1	0	2

Step 3　全ての列に対して累積和を取る

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	2	9	11
2	7	10	9	12	12	9
3	4	12	9	17	25	30
4	1	2	9	6	12	13
5	-2	3	9	6	6	4
6	-4	-1	1	1	0	2

Step 3　全ての列に対して累積和を取る

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	2	9	11
2	7	10	9	12	12	9
3	11	12	9	17	25	30
4	1	2	9	6	12	13
5	-2	3	9	6	6	4
6	-4	-1	1	1	0	2

Step 3　全ての列に対して累積和を取る

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	2	9	11
2	7	10	9	12	12	9
3	11	12	9	17	25	30
4	1	2	9	6	12	13
5	-2	3	9	6	6	4
6	-4	-1	1	1	0	2

Step 3　全ての列に対して累積和を取る

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	2	9	11
2	7	10	9	12	12	9
3	11	12	9	17	25	30
4	12	2	9	6	12	13
5	-2	3	9	6	6	4
6	-4	-1	1	1	0	2

Step 3　全ての列に対して累積和を取る

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	2	9	11
2	7	15	11	14	21	20
3	11	27	20	31	46	50
4	12	29	29	37	58	63
5	10	32	38	43	64	67
6	6	31	39	44	64	69

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	2	9	11
2	7	15	11	14	21	20
3	11	27	20	31	46	50
4	12	29	29	37	58	63
5	10	32	38	43	64	67
6	6	31	39	44	64	69

さて、出来上がった配列は何を表しているのか？

S_{ij}

例えばはからまでの和だった

S_{14}

a^{\prime}_{11}

a^{\prime}_{14}

{a'}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

はにからまでの和を足したものだった

S_{24}

a^{\prime}_{21}

a^{\prime}_{24}

S_{14}

+S_{14}

{a'}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

つまりはからまでを足したもの！

S_{24}

a^{\prime}_{11}

a^{\prime}_{24}

{a'}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

はにからまでの和を足したものだった

S_{34}

a^{\prime}_{31}

a^{\prime}_{34}

S_{24}

+S_{24}

{a'}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

つまりはからまでを足したもの！

S_{34}

a^{\prime}_{11}

a^{\prime}_{34}

{a'}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	2	9	11
2	7	15	11	14	21	20
3	11	27	20	31	46	50
4	12	29	29	37	58	63
5	10	32	38	43	64	67
6	6	31	39	44	64	69

さて、出来上がった配列は何を表しているのか？

S_{ij}

=> からまでの総和を表している

a_{ij}

a_{11}

Step 4　長方形領域内の和を求める

例えば、以下の領域の和を求めたい

{a'}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

Step 4　長方形領域内の和を求める

この領域の総和( )から...

現在の範囲

{a'}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{a}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

S_{53}

Step 4　長方形領域内の和を求める

この領域の総和( )を引き...

現在の範囲

{a'}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{a}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

S_{51}

Step 4　長方形領域内の和を求める

さらにこの領域の総和( )も引き...

現在の範囲

{a'}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{a}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

S_{13}

Step 4　長方形領域内の和を求める

2回引かれたこの領域の総和( )を足すと...

現在の範囲

{a'}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{a}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

S_{11}

Step 4　長方形領域内の和を求める

この領域の総和が求まる！

{a'}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

つまり、　　　　の総和を求めたかったら...

二次元累積和

a^{\prime}_{ij} \dots a^{\prime}_{iJ}\\ \\[-1.5mm]\vdots \hspace{1.5mm} \ddots \hspace{1.5mm} \vdots\\ \\[-1.5mm] a^{\prime}_{Ij} \dots a^{\prime}_{IJ}

S_{IJ}-S_{{I}{j-1}}-S_{{i-1}{J}}+S_{{i-1}{j-1}}

で求まる！ ( )

O(1)

計算量は... (縦 W, 横 H, クエリの数 Qとする)
- Step 1 で　
- Step 2 で
- Step 3 で
- Step 4 で
よって全体の計算量は

二次元累積和

O(W\times H)

O(H\times W)

O(1\times Q)

O(W\times H+Q)

いもす法

いもす法とは
- 累積和の応用
- 「最後に累積和をとれば求めたい数列になる」ようにすることで、区間に対する書き換えを　高速に実行できる

いもす法

使える状況
- 区間に対する書き換えを大量に行いたい時　　
- etc...

例題

あなたは店を経営している。訪れた人の客について入店時刻と出店時刻が与えられる。

同時刻に店にいた客の数の最大値はいくらか。

同時刻に入店や出店がある場合、まず出店から行われるとする。

制約

問題文

実行時間制限: 2 sec / メモリ制限: 1024 MB

1\leqq N \leqq 10^5

1\leqq T \leqq 10^5

0\leqq {s_i} < {e_i} \leqq T

N

s_i

e_i

長さ　　の配列　を用意する
　は時刻に店にいたお客さんの数とする
　が求まれば、同時刻に店にいた客の数の最大値が求まる
よって　を求めよう！

例題

T+1

C_t

t

C_t

方針

とが与えられるごとに、　　　　の範囲の　に 1 を足す
- 　を含まないのは出店が先に行われるから
最悪回の足し算を人分する必要があるので、計算量は
よって　　となるため間に合わない

解法１　愚直解

C_t

s_i

e_i

s_i\leqq t < e_i

e_i

O(TN)

T

N

{10}^{10}

新しい配列　を用意して、とが与えられるごとに、を +1してを -1 する
全て終わったら累積和をとり、出来た配列をとする
これなら　　　　でくらいなので大丈夫
詳しくはいもす法解説ページを参照

解法２　いもす法

s_i

e_i

P_{s_i}

P_{e_i}

O(N+T)

{10}^{5}

C_{t}

P_{t}

なぜこれで求まるのか
- 例えば　に +1すると、累積和を取った後の配列では　　　　全てに +1される
- 同様に　に -1すると、累積和を取った後の配列では　　　　全てに -1される
つまり　に +1、　に -1すると、累積和を取った後の配列では　　　　　に +1される
- 店にいた時刻の区間全てに +1されている

解法２　いもす法

P_{s_i}

P_{e_i}

C_{s_{i}}\cdots C_{T}

C_{e_{i}}\cdots C_{T}

P_{s_i}

P_{e_i}

C_{s_{i}}\cdots C_{e_{i}-1}

		1	2	3	4	5	6	7	8
クエリ
いもす
累積処理後

図解

しゃくとり法

しゃくとり法とは
- 連続する区間の和を高速で求める手法
- 区間の右端を伸ばしたり左端を縮めたりする
  - 尺取り虫に似ている
- 区間の幅を固定する方法と、伸ばせるだけ伸ばす方法がある

しゃくとり法

使える状況　　　　　　　　　　　　　　　　　
- 区間和を大量に求めたい時　　　　　
- etc...

例題１

長さの数列 { } が与えられる。

その数列の連続する個の整数の和の最大値を出力せよ。

-10^4\leqq a_i \leqq 10^4

制約

問題文

実行時間制限: 2 sec / メモリ制限: 1024 MB

1\leqq n \leqq 10^5

1\leqq k \leqq n

n

{a_n}

k

和をとる開始点を定める
そこから個の和を順に足して求める ( )
全体でとなる
これは最悪で、間に合わなさそう

解法１　愚直解

i

O(k)

O(nk)

k

10^{10}

前処理として累積和を求めておく ( )
和をとる開始点を定める
そこから個の和を累積和で求める ( )
全体でとなる
十分間に合う

解法２　累積和

i

O(n)

k

O(1)

O(n)

まず、からまでの和をとる ( )
次に区間を一つ先にずらし、からまでの和を求めよう
- 先の和からを引いてを足せばよい ( )
- 先頭を1つ伸ばして、末尾を一つ縮める
このようにして一つずつずらしていき、最大値を更新していく ( )
全体でとなる
わずかに累積和より高速

解法３　しゃくとり法

a_k

O(k)

a_0

O(n)

a_1

a_{k+1}

a_0

a_{k+1}

O(1)

2

5

-4

10

3

-5

例：n=6, k=3

現在の和： 8

和の最大値：11

この問題では累積和を使っても、しゃくとり法を使ってもどちらでも良い
先に思いついた方を使って大丈夫

解法３　しゃくとり法

例題２

長さの数列 { } が与えられる。

連続部分列で総和が以上になるもののうち、長さが最小となるものの長さを出力せよ。

1\leqq a_i \leqq 10^9

制約

問題文

実行時間制限: 2 sec / メモリ制限: 1024 MB

1\leqq n \leqq 10^5

1\leqq S \leqq 10^9

n

S

{a_n}

左端と右端を決める
- 決め方は通りくらい
決めたらからまでを愚直に足し算する
- 最悪長さになるので
全体でとなる
- なのでまず間に合わない

解法１　愚直解

r

O(n)

O(n^3)

l

10^{15}

n^2

a_l

a_r

n

解法１　愚直解

ここは改良できる

左端と右端を決める
- 決め方は通りくらい
決めたらからまでを愚直に足し算する
- 最悪長さになるので
全体でとなる
- なのでまず間に合わない

r

O(n)

O(n^3)

l

10^{15}

n^2

a_l

a_r

n

事前に累積和を計算しておく ( )
左端と右端を決める
- 決め方は通りくらいある
累積和で和を求める ( )
全体でとなる
- なので、まだ厳しい

解法２　累積和

r

O(n)

O(n^2)

l

10^{10}

n^2

O(1)

事前に累積和を計算しておく ( )
左端と右端を決める
- 決め方は通りくらいある
累積和で和を求める ( )
全体でとなる
- なので、まだ厳しい

解法２　累積和

r

O(n)

O(n^2)

l

10^{10}

n^2

O(1)

ここも改良できる

事前に累積和を計算しておく ( )
より和は 単調増加
- よって　を越える位置を二分探索できる！
左端を決める
- 決め方は通りある
を越える最小のを二分探索で見つける ( )
全体でとなる
- なので、これなら間に合う

解法３　累積和＋二分探索

S

O(n)

{a_i}>0

l

(5\log 10)\times 10^5

n

O(n\log n)

O(\log n)

S

r

本番でこの方法が思い付けたなら 大正解 です
二分探索って何？
- 来週やります！お楽しみに！

解法３　累積和＋二分探索

左端と右端を決める
- 決め方は通りくらい
決めたらからまでを愚直に足し算する
- 最悪長さになるので
全体でとなる
- なのでまず間に合わない

解法１　愚直解

r

O(n)

O(n^3)

l

10^{15}

n^2

a_l

a_r

n

左端と右端を決める
- 決め方は通りくらい
決めたらからまでを愚直に足し算する
- 最悪長さになるので
全体でとなる
- なのでまず間に合わない

解法１　愚直解

r

O(n)

O(n^3)

l

10^{15}

n^2

a_l

a_r

n

ここを改良しよう

解法４　愚直解（改良版）

左端を決める
- 決め方は通り
決めたらから 1 つずつ右に伸ばしていく
- 和がを越えたらストップ
- 愚直に足し算をすると最悪長さになるので
全体でとなる
- なのでまだ間に合わない

O(n^2)

O(n)

l

10^{10}

n

a_l

n

S

解法４　愚直解（改良版）

今度はここを改良しよう

左端を決める
- 決め方は通り
決めたらから 1 つずつ右に伸ばしていく
- 和がを越えたらストップ
- 愚直に足し算をすると最悪長さになるので
全体でとなる
- なのでまだ間に合わない

O(n^2)

O(n)

l

10^{10}

n

a_l

n

S

解法５　しゃくとり法

最初はのみ長さ 1 の区間で考える ( 左端l=0, 右端r=0 )
区間の和の大きさにより場合分け
- 現在の区間の和が未満 → 右を1つ伸ばして和を更新 ( r++ )
- 現在の区間の和が以上 → 左を1つ縮めて和を更新 ( l++ )
更新後、和が以上だったら現在の長さで長さの最小値を更新
これを繰り返して一番右を越えようとしたところで終了
全体でで解ける
- 　なので余裕

O(n)

S

10^{5}

a_0

S

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：4 < S

長さの最小値：ー

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：6

長さの最小値：ー

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：6 < S

長さの最小値：ー

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：11

長さの最小値：ー

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：11 S

長さの最小値：3

\geqq

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：7

長さの最小値：3

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：7 < S

長さの最小値：3

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：8

長さの最小値：3

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：8 < S

長さの最小値：3

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：15

長さの最小値：3

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：15 S

長さの最小値：3

\geqq

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：13

長さの最小値：3

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：13 S

長さの最小値：3

\geqq

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：8

長さの最小値：3

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：8 < S

長さの最小値：3

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：11

長さの最小値：3

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：11 S

長さの最小値：3

\geqq

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：10

長さの最小値：3

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：10 < S

長さの最小値：3

解法５　しゃくとり法

4

2

5

1

7

3

例：n=6, S=11

　現在の和：終了

長さの最小値：3

解法５　しゃくとり法

最初はのみ長さ 1 の区間で考える ( 左端l=0, 右端r=0 )
区間の和の大きさにより場合分け
- 現在の区間の和が未満 → 右を1つ伸ばして和を更新 ( r++ )
- 現在の区間の和が以上 → 左を1つ縮めて和を更新 ( l++ )
更新後、和が以上だったら現在の長さで長さの最小値を更新
これを繰り返して一番右を越えようとしたところで終了
全体でで解ける
- 　なので余裕

O(n)

S

10^{5}

a_0

S

解法５　しゃくとり法

なぜ　　　なのか？
- はじめは
- 最後は
- 一回の操作でかどちらかを1増やす
- つまり操作の回数は最大で　回
- 定数は無視するので

O(n)

l

r

l\leqq n-1, r=n-1

l=0, r=0

2n

O(n)

終わり！

解説して欲しいものありますか？

ごはん食べよう！！！

(おごりは資金が底を尽きたため終了しました)

コンテスト

https://vjudge.net/contest/369654#overview

パスワードは"y"です

{a'}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	2	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	2	9	11
2	2	10	9	12	12	9
3	4	12	9	17	25	30
4	1	2	9	6	12	13
5	-2	3	9	6	6	4
6	-4	-1	1	1	0	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	2	9	11
2	2	10	9	12	12	9
3	4	12	9	17	25	30
4	1	2	9	6	12	13
5	-2	3	9	6	6	4
6	-4	-1	1	1	0	2

{a'}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	2	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	2	9	11
2	2	10	9	12	12	9
3	4	12	9	17	25	30
4	1	2	9	6	12	13
5	-2	3	9	6	6	4
6	-4	-1	1	1	0	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	5	2	2	9	11
2	2	10	9	12	12	9
3	4	12	9	17	25	30
4	1	2	9	6	12	13
5	-2	3	9	6	6	4
6	-4	-1	1	1	0	2

競技プログラミング練習会

2020 Normal

自己紹介

自己紹介

皆さんの自己紹介もお願いします。

今日の内容

今日の内容

今日の内容に入る前に

前提知識

配列書けますか？

区間問題

区間

区間問題

累積和

累積和

例題

解法１：愚直解

解法２：累積和

累積和

解法２：累積和

解法２：累積和

解法２：累積和

解法２：累積和

解法２：累積和

二次元累積和

二次元累積和

二次元累積和

二次元累積和

二次元累積和

いもす法

いもす法

例題

例題

解法１ 愚直解

解法２ いもす法

解法２ いもす法

しゃくとり法

しゃくとり法

例題１

解法１ 愚直解

解法２ 累積和

解法３ しゃくとり法

解法３ しゃくとり法

解法３ しゃくとり法

解法３ しゃくとり法

解法３ しゃくとり法

解法３ しゃくとり法

解法３ しゃくとり法

解法３ しゃくとり法

解法３ しゃくとり法

解法３ しゃくとり法

解法３ しゃくとり法

解法３ しゃくとり法

解法３ しゃくとり法

例題２

解法１ 愚直解

解法１ 愚直解

解法２ 累積和

解法２ 累積和

解法３ 累積和＋二分探索

解法３ 累積和＋二分探索

解法１ 愚直解

解法１ 愚直解

解法４ 愚直解（改良版）

解法４ 愚直解（改良版）

解法５ しゃくとり法

解法５ しゃくとり法

解法５ しゃくとり法

解法５ しゃくとり法

解法５ しゃくとり法

解法５ しゃくとり法

解法５ しゃくとり法

解法５ しゃくとり法

解法５ しゃくとり法

解法５ しゃくとり法

解法５ しゃくとり法

解法５ しゃくとり法

解法５ しゃくとり法

解法５ しゃくとり法

解法５ しゃくとり法

解法１　愚直解

解法２　いもす法

解法２　いもす法

解法１　愚直解

解法２　累積和

解法３　しゃくとり法

解法３　しゃくとり法

解法３　しゃくとり法

解法３　しゃくとり法

解法３　しゃくとり法

解法３　しゃくとり法

解法３　しゃくとり法

解法３　しゃくとり法

解法３　しゃくとり法

解法３　しゃくとり法

解法３　しゃくとり法

解法３　しゃくとり法

解法３　しゃくとり法

解法１　愚直解

解法１　愚直解

解法２　累積和

解法２　累積和

解法３　累積和＋二分探索

解法３　累積和＋二分探索

解法１　愚直解

解法１　愚直解

解法４　愚直解（改良版）

解法４　愚直解（改良版）

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

解法５　しゃくとり法

{a'}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
3	4	8	-3	8	8	5
4	1	1	7	-3	6	1
5	-2	5	6	-3	0	-2
6	-4	3	2	0	-1	2

{S}	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	5	0	-3	0	7	2
2	2	8	-1	3	0	-3
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