Estabilización de sistemas no lineales mediante linealización
IE3041 - Sistemas de Control 2
Regresando a sistemas no lineales
similar al caso de estabilidad, tratemos de aplicar las herramientas de estabilización desarrolladas para sistemas LTI pero en el caso de sistemas no lineales
x˙=f(x,u)y=h(x,u)
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\
\mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)
x˙=f(x,u)y=h(x,u)
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\
\mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)
(x∗,u∗) o (xss,uss)
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) \text{ o }\\
\left(\mathbf{x}_{ss},\mathbf{u}_{ss}\right)
x˙=f(x,u)y=h(x,u)
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\
\mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)
(x∗,u∗) o (xss,uss)
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) \text{ o }\\
\left(\mathbf{x}_{ss},\mathbf{u}_{ss}\right)
z˙=Az+Bvw=Cz+Dv
\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{A}\mathbf{z}+\mathbf{B}\mathbf{v} \\
\mathbf{w}=\mathbf{C}\mathbf{z}+\mathbf{D}\mathbf{v}
linealización
x˙=f(x,u)y=h(x,u)
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right) \\
\mathbf{y}=\mathbf{h}\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)
(x∗,u∗) o (xss,uss)
\left(\mathbf{x}^*,\mathbf{u}^*\right) \text{ o }\\
\left(\mathbf{x}_{ss},\mathbf{u}_{ss}\right)
z˙=Az+Bvw=Cz+Dv
\dot{\mathbf{z}}=\mathbf{A}\mathbf{z}+\mathbf{B}\mathbf{v} \\
\mathbf{w}=\mathbf{C}\mathbf{z}+\mathbf{D}\mathbf{v}
linealización
v⋆=−Kz
\mathbf{v}^\star=-\mathbf{K}\mathbf{z}
LQR
v⋆=−Kz
\mathbf{v}^\star=-\mathbf{K}\mathbf{z}
se encuentra en las coordenadas linealizadas, por lo que es necesario regresarlo a las coordenadas del sistema no lineal original
v⋆=−Kz
\mathbf{v}^\star=-\mathbf{K}\mathbf{z}
se encuentra en las coordenadas linealizadas, por lo que es necesario regresarlo a las coordenadas del sistema no lineal original
⇒u−uss=−K(x−xss)
\Rightarrow \mathbf{u}-\mathbf{u}_{ss}=-\mathbf{K}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{ss}\right)
v⋆=−Kz
\mathbf{v}^\star=-\mathbf{K}\mathbf{z}
se encuentra en las coordenadas linealizadas, por lo que es necesario regresarlo a las coordenadas del sistema no lineal original
⇒u−uss=−K(x−xss)
\Rightarrow \mathbf{u}-\mathbf{u}_{ss}=-\mathbf{K}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{ss}\right)
u=−K(x−xss)+uss
\mathbf{u}=-\mathbf{K}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{ss}\right)+\mathbf{u}_{ss}
u=−K(x−xss)+uss
\mathbf{u}=-\mathbf{K}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{ss}\right)+\mathbf{u}_{ss}
control LTI que estabiliza el punto (xss,uss) del sistema no lineal*
u=−K(x−xss)+uss
\mathbf{u}=-\mathbf{K}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{ss}\right)+\mathbf{u}_{ss}
feedback
feedforward
control LTI que estabiliza el punto (xss,uss) del sistema no lineal*
u=−K(x−xss)+uss
\mathbf{u}=-\mathbf{K}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{ss}\right)+\mathbf{u}_{ss}
feedback
feedforward
el LQR ya NO es óptimo para el caso no lineal
control LTI que estabiliza el punto (xss,uss) del sistema no lineal*
u=−K(x−xss)+uss
\mathbf{u}=-\mathbf{K}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{ss}\right)+\mathbf{u}_{ss}
feedback
feedforward
el LQR ya NO es óptimo para el caso no lineal
control LTI que estabiliza el punto (xss,uss) del sistema no lineal*
*siempre y cuando x0∈ región de atracción del punto de equilibrio u operación del sistema en lazo cerrado
f
\mathbf{f}
∫
\boldsymbol{\int}
u
\mathbf{u}
y
\mathbf{y}
x˙
\dot{\mathbf{x}}
x
\mathbf{x}
h
\mathbf{h}
Arquitectura del controlador
f
\mathbf{f}
∫
\boldsymbol{\int}
u
\mathbf{u}
y
\mathbf{y}
x˙
\dot{\mathbf{x}}
x
\mathbf{x}
observador de estado
???
???
h
\mathbf{h}
xss
\mathbf{x}_{ss}
+
\boldsymbol{+}
Arquitectura del controlador
f
\mathbf{f}
∫
\boldsymbol{\int}
u
\mathbf{u}
y
\mathbf{y}
x˙
\dot{\mathbf{x}}
x
\mathbf{x}
x
\mathbf{x}
observador de estado
???
???
h
\mathbf{h}
xss
\mathbf{x}_{ss}
+
\boldsymbol{+}
−
\boldsymbol{-}
Arquitectura del controlador
f
\mathbf{f}
∫
\boldsymbol{\int}
u
\mathbf{u}
y
\mathbf{y}
x˙
\dot{\mathbf{x}}
x
\mathbf{x}
K
\mathbf{K}
x
\mathbf{x}
observador de estado
???
???
h
\mathbf{h}
xss
\mathbf{x}_{ss}
+
\boldsymbol{+}
−
\boldsymbol{-}
Arquitectura del controlador
f
\mathbf{f}
∫
\boldsymbol{\int}
u
\mathbf{u}
y
\mathbf{y}
x˙
\dot{\mathbf{x}}
x
\mathbf{x}
K
\mathbf{K}
x
\mathbf{x}
observador de estado
???
???
h
\mathbf{h}
+
\boldsymbol{+}
xss
\mathbf{x}_{ss}
+
\boldsymbol{+}
−
\boldsymbol{-}
uss
\mathbf{u}_{ss}
Arquitectura del controlador
f
\mathbf{f}
∫
\boldsymbol{\int}
u
\mathbf{u}
y
\mathbf{y}
x˙
\dot{\mathbf{x}}
x
\mathbf{x}
K
\mathbf{K}
x
\mathbf{x}
observador de estado
???
???
h
\mathbf{h}
+
\boldsymbol{+}
xss
\mathbf{x}_{ss}
+
\boldsymbol{+}
−
\boldsymbol{-}
uss
\mathbf{u}_{ss}
feedforward para velocidad y feedback para robustez
Arquitectura del controlador
x˙=[x2−(g/ℓ)sin(x1)+(1/mℓ2)u]
\dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} x_2 \\ -(g/\ell)\sin(x_1)+(1/m\ell^2)u \end{bmatrix}
x∗=[π0],u∗=0
\mathbf{x}^*=\begin{bmatrix} \pi \\ 0 \end{bmatrix}, \quad u^*=0
Ejemplo: estabilización péndulo simple
Ejemplo: estabilización péndulo simple
v=−Kz=−[k1k2][z1z2]=−k1z1−k2z2
v=-\mathbf{K}\mathbf{z}=-\begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \end{bmatrix}=-k_1z_1-k_2z_2
u=−K(x−x∗)+u∗=−[k1k2][x1−πx2−0]+0
u=-\mathbf{K}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^*\right)+u^*=-\begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1-\pi \\ x_2-0 \end{bmatrix}+0
u=−k1(x1−π)−k2x2
u=-k_1(x_1-\pi)-k_2x_2
Ejemplo: estabilización péndulo simple
v=−Kz=−[k1k2][z1z2]=−k1z1−k2z2
v=-\mathbf{K}\mathbf{z}=-\begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \end{bmatrix}=-k_1z_1-k_2z_2
u=−K(x−x∗)+u∗=−[k1k2][x1−πx2−0]+0
u=-\mathbf{K}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^*\right)+u^*=-\begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1-\pi \\ x_2-0 \end{bmatrix}+0
u=−k1(x1−π)−k2x2
u=-k_1(x_1-\pi)-k_2x_2
Procedimiento general: >> ie3041_clase7_procedimiento.mlx
Ejemplo péndulo: >> ie3041_clase7_pendstab.m
Control de alta ganancia
es posible ampliar (hasta el punto que lo permitan los actuadores) la región de atracción del punto de equilibrio u operación a estabilizar, incrementando la ganancia del controlador
u=−αK(x−xss)+uss
\mathbf{u}=-\alpha\mathbf{K}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{ss}\right)+\mathbf{u}_{ss}
>> ie3041_clase7_stabilize2d.m
Estabilización de sistemas no lineales mediante linealización IE3041 - Sistemas de Control 2
IE3041 - Lecture 7 (2025)
By Miguel Enrique Zea Arenales
IE3041 - Lecture 7 (2025)
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