Lógica difusa vs lógica clásica

También llamada lógica clásica o booleana, esta fundamentada en la lógica aristotélica.

Solamente existen dos posibles valores de veracidad, donde la verdad (T) y la falsedad (F) pueden ser cualquier número en [0,1] tal que T+F=1.

Lógica aristotélica

Neutrosophic computing and machine learning

Lógica difusa vs lógica clásica

Gama de posibilidades de veracidad
No solo 2 posibles estados, permite valores intermedios para poder definir evaluaciones convencionales, valores entre 0 y 1.

¿Qué propone ​la lógica difusa?

Lógica difusa vs lógica clásica

Ejemplo

¿Qué tan mojada está la ropa?

Utilidad

El uso de técnicas de lógica difusa en control automático trata de imitar o emular el comportamiento consciente de un operador humano en el gobierno de procesos, sistemas o plantas alineales reales, los que difícilmente pueden ser modelados por los métodos fisicomatemáticos usuales.

Trasladar experiencia humana a computadora

Utilidad

Método básico: Traducir la experiencia o forma de trabajo de la persona experta en manipulación o control de una maquinaria en reglas lingüísticas que las comprenda una computadora.

Potencial propósito: Diseñar un controlador difuso que complemente o sustituya  la operación manual.

Trasladar experiencia humana a computadora

Utilidad

La información que proviene de nuestro entorno que obtenemos a través de sentidos, aparatos de medición, etc tiene errores y la manera clásica de procesar la información para obtener conclusiones es utilizando teoría de probabilidad y estadística.

Otra alternativa es utilizar un razonamiento aproximado de la lógica difusa.

Procesar información con incertidumbre:

Control difuso

¿En qué difiere el control difuso al control convencional?

El enfoque tradicional desarrollado estuvo basado en problemas muy bien definidos con modelos precisos pero carecen de autonomía y la habilidad de la toma de decisiones.

La problemática es utilizarlos en entornos inciertos.

Intelligent Systems: Modeling, Optimization, and Control
By Yung C. Shin, Chengying Xu

No necesitamos modelo matemático, no se requiere identificar el sistema , lo cual lo hace más eficiente en términos del tiempo.
No necesitamos linealizarlo.

Facilita el diseño del controlador.

Desventajas:

Necesitamos conocer las reglas lingüísticas de control de un experto, en el control de cierta maquinaria o cierto sistema y traducir a reglas si y entonces de control

Ventajas

Control difuso

Cuando no conoces el modelo, tenemos 2 alternativas:
Control pid (una entrada y una salida)
Control difuso (multiples entradas y salidas)

Control difuso

¿En qué difiere el control difuso al control convencional?

Control difuso

Potenciales aplicaciones

Cambio fundamental de permitir que las afirmaciones tomen una gama de valores de veracidad entre 0 y 1
¿Qué puede cambiar en las matemáticas?​

¿Qué implica el cambio de conjuntos clásicos a conjuntos difusos?

Las aplicaciones todavía se encuentran en investigación.

Fundamentos del control difuso

Nuestro enfoque será en la aplicación de lógica difusa para entender la teoría detrás de los controladores difusos (Mamdani, tsukamoto, Sugeno)

Las aplicaciones todavía se encuentran en investigación.

Fundamentos del control difuso

• Control de dosificación en las plantas de tratamiento de aguas residuales.
• Control de robots en inspección de túneles
• Posicionamiento en prensas
• Control de temperatura en máquinas de moldeo de plástico
• Climatización  y automatización de edificios.

Aplicaciones específicas adicionales

Conjuntos clásicos vs conjuntos difusos

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados de tal forma que se pueda afirmar con certeza que un objeto dado pertenece o no al conjunto. En general, para denotar a los conjuntos se usan las letras mayúsculas, y letras minúsculas para sus elementos.

Conjuntos

Conjuntos clásicos vs conjuntos difusos

Para los conjuntos y sus elementos se utilizan símbolos de pertenencia e igualdad.

Conjuntos

Conjuntos clásicos vs conjuntos difusos

Ejemplo

Conjuntos clásicos vs conjuntos difusos

Conjuntos clásicos (certeros)

Potencial criterio para diferenciar altos de bajos, quizás altura promedio.

Todos los que estén abajo del promedio serán clasificados como bajos.

Clasifique a las personas de acuerdo con su estatura en dos conjuntos

Conjuntos clásicos vs conjuntos difusos

Conjuntos difusos

Todas las personas pertenecen en cierta medida a ambos conjuntos.

Por ejemplo la persona mas alta del grupo puede tener una muy baja pertenencia de 0.1 al grupo de los bajos.

Clasifique a las personas de acuerdo con su estatura en dos conjuntos

Conjuntos clásicos vs conjuntos difusos

Universo de discurso

Todas las personas pertenecen en cierta medida a ambos conjuntos.

La totalidad de los elementos que se estan clasificando, se puede escoger esa totalidad o todo el mundo.

En este escenario representaría los números reales que representen las estaturas de las personas.

Conceptos básicos

Conjuntos clásicos vs conjuntos difusos

Función de membresía

Medida de pertenencia de un elemento al conjunto

0 significa no hay pertenencia al conjunto y 1 significa que hay mucha pertenencia

Conceptos básicos

Bajos

Altos

Conjuntos clásicos vs conjuntos difusos

Función de membresía para el conjunto de los bajos

La altura intermedia entre 1 y 2.5 es 1.75

Estaturas inferiores a 1.75 decrecen pertenencia y superiores a 1.75 incrementan pertenencia aproximándose a 1.

Conceptos básicos

Conjuntos clásicos vs conjuntos difusos

Asumamos que X es la colección de objetos representado por x, un conjunto difuso A en X es un conjunto de pares ordenados.

Entre mayor sea el valor de su funcion de membresia, mayor sera la certeza de que x pertenece a A.

Notación de los conjuntos difusos

Conjuntos clásicos vs conjuntos difusos

Los miembros del conjunto difuso tienen un grado de pertenencia o membresía.

Un conjunto difuso puede ser representado por un conjunto de pares ordenados, el primer elemento es ensimmismo el elemento, el segundo elemento es el grado de pertenencia-membresia.

Representación pares ordenados

Conjuntos clásicos vs conjuntos difusos

Un agente de bienes raíces quiere clasificar las casas que ofrece a sus clientes. Un indicador de la comodidad de las casas es el numero de habitaciones en ellas.

Definiendo X={1,2,3,4...,10} como el conjunto de casas disponibles. El conjunto difuso de "comodidad de acuerdo al tipo de casa para una familia" puede ser descrito de la siguiente manera:

Ejemplo de estudio de conjuntos difusos

Conjuntos clásicos vs conjuntos difusos

Representación como la unión de sus elementos (Conjuntos difusos discretos)

Función de membresía

Conjuntos clásicos vs conjuntos difusos

Representación como la unión de sus elementos (Conjuntos difusos continuos)

Función de membresía

Conjuntos clásicos

B es un subconjunto de A, porque todos sus elementos están contenidos en A.

Si solo parcialmente algunos de B están en A, entonces B no es un subconjunto de A.

Conjuntos difusos

Tenemos que realizar alguna operación u evaluación con respecto a funciones de membresía, ya que caracterizan la pertenencia de los elementos a los conjuntos difusos.

Conjuntos difusos

El conjunto difuso B es subconjunto del conjunto difuso A si y solo si la función de membresía de B es menor o igual a la función de membresía de A para todos los posibles valores en el universo de discurso X.

Conjuntos Certeros

La intersección sera definida como todos los elementos que estén en A y B.

¿Cómo lo generalizamos para conjuntos difusos, si todos los elementos tienen cierta pertenencia a todos los conjuntos?

Conjuntos Difusos

La intersección sera definida como todos los elementos que estén en A y B.

Conjuntos Certeros

La unión sera definida como todos los elementos que estén en A ó en B.

Conjuntos Difusos

La unión sera definida como todos los elementos que estén en A ó en B.

Conjuntos Certeros

El complemento sera definido como todos los elementos que estén en X, pero no en A

Conjuntos Difusos

El complemento sera definido como todos los elementos que estén en X, pero no en A

Ejercicios independientes

Dados los siguientes conjuntos difusos determine 

• Intersección
• Unión
• Complemento de A 
• Complemento de B

Represente gráficamente su resultado

Ejercicio 2

Ejercicio 1

Universo de discurso=X={5,10,20,25,30,40}

Propiedades fundamentales de los conjuntos clasicos

Propiedades fundamentales de los conjuntos difusos

Resumen básico

Un conjunto es una colección de elementos con cierta propiedad

1(verdadero)

0(falso)

Conjunto difuso: conjunto con membresía graduada

Resumen básico

Conjunto Difuso: Conjunto con membresía graduada

Resumen básico

Conjunto Difuso: Conjunto con membresía graduada

Subjetivo y dependiente del contexto

Variable linguística

Es una variable cuyos posibles valores son palabras y pueden ser representados mediante conjuntos difusos.

Todos los valores linguistico forman un conjunto de terminos o etiquetas denominados terminos linguisticos.

Permite describir el estado de un objeto o fenómeno.

Funciones de membresía

Variable linguística

Variable linguística

Una variable lingüística se caracteriza mediante

• v es el nombre de variable
• X es el universo de discurso de la variable v
• T es el conjunto de términos lingüísticos de v
• regla sintáctica para generar los términos lingüísticos
• regla semántica para asignar a cada termino un significado, que es un conjunto difuso en X

Propiedades fundamentales de los conjuntos difusos

Todas las propiedades para conjuntos clásicos son válidas para los difusos, excepto la complementareidad.

Potencial de lógica difusa

Semana 12 (19-23 de Abril)

presentación de proyectos lógica difusa

Fuzzy-logic classifier/controller

Potencial de lógica difusa

Ejercicios independientes (python)

Dados los siguientes conjuntos difusos determine 

• Intersección
• Unión
• Complemento de A 
• Complemento de B

Represente gráficamente su resultado

Ejercicio 2

Ejercicio 1

Universo de discurso=X={5,10,20,25,30,40}

Propiedades fundamentales de los conjuntos difusos

Todas las propiedades para conjuntos clásicos son válidas para los difusos, excepto la complementareidad.

Variable linguística

Es una variable cuyos posibles valores son palabras y pueden ser representados mediante conjuntos difusos.

Todos los valores linguístico forman un conjunto de términos o etiquetas denominados términos linguísticos.

Permite describir el estado de un objeto o fenómeno.

Funciones de membresía

Funciones membresía

La principal diferencia existente entre los conjuntos difusos y los clásicos o certeros es la posibilidad de asignar valores de pertenencia entre 0 y 1 a los elementos del universo de discurso.

La relación entre el valor de membresía a un conjunto difuso y los elementos es denominada como función de membresía.

Terminología relacionada a las funciones de membresía

El núcleo de una función de membresía para un conjunto difuso es la región del universo caracterizada por tener pertenencia total al conjunto (valor de 1).

Las fronteras son las regiones donde los elementos tienen valores de  membresía entre 0 y 1.

Terminología relacionada

El soporte de una función de membresía para un conjunto difuso se define como la región del universo caracterizada por tener un valor de membresía diferente de 0.

La unión de núcleo y frontera nos da el soporte.

Puntos de cruce, elementos en el universo para los cuales su valor de membresía es igual a 0.5.

Terminología relacionada

El ancho de banda es definido como el valor absoluto de la diferencia de los puntos de cruce.

Terminología relacionada

Clasificaciones de funciones de membresía

Un conjunto difuso normal es el que cuenta con una función de membresía que tiene por lo menos un elemento x en el universo cuyo valor de membresía es unitario.

Si tiene núcleo un conjunto y no es vacío, el conjunto será normal.

La función roja y azul alcanza por lo menos en 1 punto el valor de 1.

Azul y roja funciones normales, función verde subnormal.

Deseamos crear y diseñar funciones de membresía normales

Normality 

Si una función de membresía de un conjunto difuso A satisface el siguiente criterio en un punto c, se le denomina un conjunto simétrico.

Clasificaciones de funciones de membresía

Symmetry

Verde es una función de membresía simétrica

Azul y roja no son simétricas, la roja tiene inclinación distinta de un lado con respecto al otro y ambas no se encuentran centradas.

se diseñan simétricas para simplificar proceso de diseño.

Las funciones de membresía pueden ser abiertas por la derecha, abierta por la izquierda o cerradas

Clasificaciones de funciones de membresía

Open left

Open right

Closed

Las funciones abiertas por la derecha, nunca baja el valor de membresía hacia 0.

No hay prioridad en el diseño, generalmente se diseñan abiertos los conjuntos de los extremos del universo y cerrados en el centro.

Abiertas vs Cerradas

Un conjunto difuso convexo es descrito por una función de membresía cuyos valores son monotónicamente incrementales o monotónicamente decrementales para valores incrementales de los elementos del universo.

Debe cumplir con la siguiente regla.

Clasificaciones de funciones de membresía

1. Seleccionamos valores x1 y x2
2. Encontramos valores de membresía para esos dos elementos.
3. Todos los valores de membresía en ese rango tienen que ser al menos igual que el mínimo de esos dos valores de membresía.

Convexas vs no convexas

Función en verde y rojo son convexas, la azul no

Formas especiales de F. de membresía

Si un conjunto difuso solo tiene un único punto, teniendo un valor de membresía de 1, es considerado un conjunto singleton (Fuzzy Singleton)

Formas especiales de F. de membresía

A los controladores difusos solo le llegan valores discretos en algún momento del tiempo, los representamos como singleton.

Formas especiales de F. de membresía

Conjunto cortado, conjunto clásico resultado de cortar un conjunto difuso.

Un conjunto cortado (α– Cut) es un conjunto que contiene todos los elementos con los valores de membresía mayores o iguales a α.

Formas especiales de F. de membresía

Se utiliza para transformar los conjuntos difusos que son resultados de los controladores difusos a un resultado certero.

Funciones de membresía típicas

Consideremos un tiro de penales en futbol soccer.

En términos discretos un tiro puede ser 1 (patada completa) o 0 (no patada).

En la vida real, esto no sucede, la velocidad del tiro depende no solo de la mente del tirador, sino de la anticipación de hacia donde se dirigirá el guardameta.

El tirador selecciona la velocidad de la patada y la dirección a la que apunta.

Funciones de membresía típicas

La velocidad no puede ser definida únicamente con dos valores discretos, 0 y 1. La velocidad varia entre 0 y 1; 0 consistiendo en velocidad nula y 1 velocidad maxima.

Supongamos que el tirador apunta a la esquina superior derecha, en esta situación la decision principal consistirá en seleccionar la velocidad más adecuada. 

Mucha velocidad elevaría demasiado la pelota, muy lento puede ser anticipado.

Funciones de membresía típicas

Derivadas discontinuas

Derivadas discontinuas: la pendiente sufre cambios abruptos en algunos puntos del universo de discurso.

Función triangular, así como un triangulo tiene 3 coordenadas, la función de membresía triangular tiene 3 parámetros.

El núcleo es un solo elemento (b).

Función triangular

Supongamos que el tirador puede seleccionar 4 tipos de tiros:

• Tiro directo de alta velocidad
• Tiro curvo de potencia media
• Tiro directo lento
• Tiro directo hacia la izquierda de potencia media.

Función triangular

En promedio la velocidad media de un tirador de penales es de 80 mph, por lo tanto no hay manera de decir que esa velocidad es lenta.

Asignamos 0% de valor de membresía a 80 mph en el conjunto difuso de velocidad lenta.

Similar, de manera arbitraria, una velocidad 60 mph puede ser considerada 70% rápida y 30% media.

Función triangular

Considerando los tres parámetros de la función triangular.

• Tiro directo de alta velocidad [60,80,80]
• Tiro curvo de potencia media [30,50,70]
• Tiro directo lento [20,20,45]
• Tiro directo hacia la izquierda de potencia media [50,60,80]

Función Trapezoidal, así como un trapezoide tiene cuatro coordenadas, una función de membresía trapezoidal tiene 4 valores. a, b, c y d.

Funciones de membresía típicas

Derivadas discontinuas

Los valores de membresía comienzan a subir en la primer frontera (entre a y b), y baja a cero en la segunda frontera (entre c y d).

Comparada con la función triangular tiene un núcleo mas amplio que va entre b y c.

Cerrada

Abierta por la derecha

 Función trapezoidal

 Función trapezoidal

Considerando los cuatro parámetros de la función trapezoidal.

• Tiro directo de alta velocidad [60, 80, 80, 90]
• Tiro curvo de potencia media [30,50,50,70]
• Tiro directo lento [20,30,30,50]
• Tiro directo hacia la izquierda de potencia media [50,60,60,80]

Ejercicio alumno

Grafique funciones de membresía para el ejemplo mencionado en clase.

Sin utilizar librería skfuzzy

• Triangular
• Trapezoidal

Utilizando librería skfuzzy, represente los conjuntos difusos previamente mencionados utilizando:

• Campana generalizada
• Función gaussiana
• Función sigmoidal

Funciones de membresía típicas

Derivada continua, funciones cerradas simétricas

Cuando se conoce la media aritmética y la desviación estándar de los valores certeros y los queremos tomar en cuenta en la representación difusa, se puede utilizar una función de membresía Gaussiana.

c es la media aritmética, s la desviación estándar y m es el factor de fuzzificación.

Función Gausiana

La función gaussiana es similar a la función triangular pero con derivada continua.

Función Gausiana

Al aplicar la función de membresía al ejemplo de soccer la representación cuenta con mejoría y la interpolación es más suave.

Ejemplo considerando distribución de datos históricos y que cuentan con una  desviación estándar de 4 mph.

Podríamos asignar a la velocidad máxima una media de 80 mph y generar las siguientes funciones gaussianas de manera similar.

Función Gausiana

• Tiro directo de alta velocidad [x, 80, 4]
• Tiro curvo de potencia media [x,50,4]
• Tiro directo lento [x,30]
• Tiro directo hacia la izquierda de potencia media [x,60,4]

La función de membresía de campana generalizada toma en consideración 3 parametros:

• La pendiente
• El centro
• El ancho de la curva

Se representa por la siguiente ecuación

Funciones de membresía típicas

Derivada continua, funciones cerradas simétricas

Se relaciona con la función trapezoidal, pero cuenta con derivada continua.

Función campana generalizada

Para representar una función abierta con derivada continua utilizamos la función sigmoidal.

La transición entre valor de membresía de 0 y valor de membresía de 1 es definida por a.

Punto de cruce es donde vale 0.5 el valor de membresía

Funciones de membresía típicas

Derivada continua, función abierta

Ver la distribución de los datos, por ejemplo con ayuda de un histograma. Si no se pueden deducir patrones de la visualización se recomienda utilizar función triangular o trapezoidal, en caso contrario utilizar funciones basadas en la distribución.

Entrenar el modelo con funciones de membresía distintas y comparar los resultados utilizando métricas tales como MAPE (mean average percentage error), el método que te de el menor error es el mejor modelo.

Recomendaciones

Otras opciones

Funciones de membresia polinomiales

z-shaped

s-shaped

pi-shaped

​Agenda

• Logica clasica vs logica difusa
• Variable lingüística
• Reglas si-entonces
• Modus Ponens Difuso

Razonamiento aproximado

Lógica clásica

La lógica formal se enfoca al desarrollo de esquemas de razonamiento válidos en cuanto al proceso con que se deducen las conclusiones en función de las premisas, sin atender al contenido de los enunciados, o mas propiamente proposiciones, ambos conceptos entendidos en el único sentido de expresiones lingüísticas que puedan ser verdaderas o falsas.

Lógica clásica vs lógica difusa

Estudia la naturaleza del lenguaje y sus relaciones independiente de la realidad del mundo, tiene como utilidad infinitas aplicaciones entre las cuales los circuitos lógicos de la electrónica se encuentran.

Lógica clásica vs lógica difusa

La lógica analiza la forma del pensamiento para determinar argumentos o razonamientos válidos e inválidos con el uso de reglas y técnicas, además proporciona leyes y principios que otorgan un mayor conocimiento verídico y preciso.

La lógica se utiliza en la cotidianidad, ya que a través de acciones diarias hacemos uso de esta para tomar decisiones o ejecutar alguna acción.

Lógica clásica vs lógica difusa

El razonamiento lógico es un proceso mental mediante el cual los seres humanos obtienen conclusiones a partir de hipótesis consideradas como verdaderas.

Razonamiento intuitivo, deductivo, inductivo, por analogía

Lógica clásica vs lógica difusa

Ejemplos

Todo hombre es mortal. Sócrates es hombre. Por lo tanto, Sócrates es mortal.

Arturo observa el cielo oscuro en la ciudad de Mexicali a las 2:00 p.m

Arturo concluye: !va a llover!

Lógica clásica vs lógica difusa

Proposición clásica

En lógica matemática, una proposición es una afirmación con sentido completo y en un contexto específico de la que se puede determinar si es verdadera(1) o falsa(0).

Ejemplos

• 5 es un número par
• Júpiter es un planeta.
• Colombia es un país suramericano

Lógica clásica vs lógica difusa

Proposición clásica

Bertrand Russell propuso el término de proposiciones atómicas a los elementos más simples que componen un razonamiento, describe un hecho, afirma que una cosa posee una cualidad o determina la relación entre dos hechos o cosas y proposiciones moleculares aquellos enunciados que describen un conjunto de hechos o un estado complejo de cosas.

También llamadas simples y compuestas.

Lógica clásica vs lógica difusa

Términos de enlace y conectivos lógicos

Los términos de enlace se usan para crear y formar proposiciones a partir de proposiciones simples.

Los términos de enlace son "y", "o", etc.

Lógica clásica vs lógica difusa

Ejemplos

La Tierra no es cuadrada

Es una proposición compuesta que utiliza el término de enlace "no", el cual actua sobre una proposición simple, "La Tierra es cuadrada"

Hace sol o hace frío

El termino de enlace "o", actúa sobre las proposiciones simples "Hace sol" y "Hace frio"

Lógica clásica vs lógica difusa

Simbolización de proposiciones

Las proposiciones simples se simbolizan con las letras del alfabeto p,q,r,s

p: los habitantes de Marte invaden la tierra.

q: los directivos son amables con sus subordinados

r: El gobierno regula la inflación.

Lógica clásica vs lógica difusa

Simbolización de proposiciones

Las proposiciones compuestas se simbolizan utilizando letras proposicionales entre paréntesis, para distinguir las proposiciones simples entre sí, y conectivos lógicos.

Lógica clásica vs lógica difusa

Simbolización de proposiciones

La siguiente tabla muestra algunas frases que representan los conectivos lógicos:

Lógica clásica vs lógica difusa

Tabla de valores de verdad para los diferentes conectivos

Una tabla de verdad es un esquema que muestra todas las combinaciones que puede haber en un argumento según sus variables involucradas.

Permite visualizar las combinaciones de valores de verdad que se les da a las proposiciones.

Lógica clásica vs lógica difusa

Traducción del lenguaje natural al simbólico

1. Se le asigna una letra siempre diferente a cada enunciado

2. Se simboliza cada idea del argumento y se agrupan dichas ideas partiendo de (),[] y {}. Cada idea del argumento se une con una conjunción.

3. Todo argumento tiene un conector principal y este separa la conclusión de las premisas.

Como paso adicional se puede determinar

el valor de verdad de la proposición compuesta.

Lógica clásica vs lógica difusa

Ejemplo

Mi tío no vino a dormir y no fue a trabajar

1. Asignamos variables proposicionales.

Dicha proposición esta compuesta por las proposiciones simples:

p: Mi tío no vino a dormir

q: Mi tío no fue a trabajar

2. Traducción lógica

Lógica clásica vs lógica difusa

Ejemplo

3. Obtener la cantidad de combinaciones de valores de verdad, dos variables proposicionales por  lo que la cantidad de combinaciones de valores de verdad será:

2^2=4.

4. Asignar valores de verdad a variables y resolver operaciones lógicas.

Lógica clásica vs lógica difusa

Base de los conectivos lógicos

Lógica clásica vs lógica difusa

Hay 3 operaciones elementales a partir de las cuales las demas pueden obtenerse.

conjuncion, disyuncion y negacion.

Ejemplo

Implicación, negamos antecedente p y hacemos la disyunción con el consecuente.

Lógica clásica vs lógica difusa

Proposición difusa

Sentencia cuya veracidad puede tomar valores entre 0 y 1.

Lógica proposicional (difusa)

Generalización a lógica difusa

Nota: La conjunción se da entre valores de veracidad, no valores de membresía

Lógica proposicional (difusa)

Correspondencia con operadores de teoría de conjuntos

Lógica proposicional (difusa)

Correspondencia con Álgebra de Boole

Lógica proposicional (difusa)

Una tautología se define como una proposición formada por la combinación de otras proposiciones y cuya verdad es independiente de la certeza o falsedad de las proposiciones que la forman.

En la lógica clásica el Modus Ponendo Ponens y Modus Tollendo Tollens son tautología.

Lógica proposicional (difusa)

Lógica proposicional (difusa)

Inferencia lógica

Es una parte primordial de la logica formal que se centra en el analisis de los razonamientos correctos. Para la inferencia logica, la validez de un razonamiento esta determinada por su forma logica, independientemente de la realidad del mundo.

En la teoria clasica proposicional existen dos importantes reglas de inferencia, el Modus Tollens y el Modus Ponens.

Lógica proposicional (difusa)

Modus Ponendo Ponens (MPP)

En latín significa "modo en que afirmando se afirma". De la afirmación del antecedente se infiere la afirmación del consecuente.

Premisa 1: "x es A"

Premisa 2: "Si x es A, entonces y es B"

Consecuencia:" Y es B"

Lógica proposicional (difusa)

Ejemplos

Lógica proposicional (difusa)

El Modus Tollendo Tollens(MTT)

En latín significa "modo en que negando se niega"

De la negación del consecuente se infiere la negación del antecedente.

Premisa 1: "y es No B"

Premisa 2: "SI X es A Entonces y es B"

Consecuencia: "x es no A"

Lógica proposicional (difusa)

Ejemplos

Ejercicio: Considere que V(p)=0.3, V(q)=0.8 y V(s)=0.5 para calcular el grado de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:

Lógica proposicional (difusa)

Un sistema de inferencia difusa

Sistemas de Inferencia Difusa

El esquema de un sistema basado en técnicas de lógica difusa se presenta en la figura

Un sistema de inferencia difusa

Sistemas de Inferencia Difusa

Esta compuesto por los siguientes bloques

Bloque difuso: bloque en el que a cada variable de entrada se le asigna un grado de pertenencia a cada uno de los conjuntos difusos. Las entradas a este bloque son valores concretos de las variables de entrada y las salidas son grados de pertenencia a los conjuntos difusos considerados.

Un sistema de inferencia difusa

Sistemas de Inferencia Difusa

Bloque de inferencia:

Bloque que, mediante los mecanismos de inferencia relaciona conjuntos difusos de entrada y de salida y que representa a las reglas que definen el sistema. Las entradas a este bloque son conjuntos difusos(grados de pertenencia) y las salidas son también conjuntos difusos, asociados a la variable de salida.

Un sistema de inferencia difusa

Sistemas de Inferencia Difusa

Desdifusor:

Bloque en el cual a partir del conjunto difuso obtenido en el mecanismo de inferencia y mediatne los metodos matematicos de desdifusion se obtiene un valor concreto de la variable de salida, es decir, el resultado.

Un sistema de inferencia difusa provee una manera de "mapear" un espacio de entradas a un espacio de salidas con lógica difusa. Un FIS intenta emular el proceso con el que los humanos razonamos, utilizando lógica difusa especialmente las reglas si-entonces.

Sistemas de Inferencia Difusa

Los bloques previamente mostrados se describen como:

• Una base de datos con todas las reglas SI-Entonces describiendo el sistema
• Una base de datos con las funciones de membresía
• operaciones de inferencia en las reglas difusas
• Defuzzificacion de los resultados en salidas certeras.

A la unión de las reglas y funciones de membresía se les llama base del conocimiento.

Sistemas de Inferencia Difusa

Los sistemas de inferencia difusos pueden ser divididos en tres tipos:

• Modelo Mamdani
• Modelo Takagi-Sugeno
• Modelo Tsukamoto

Sistemas de Inferencia Difusa

Modelo Mamdami

Sistemas de Inferencia Difusa

Es el modelo mas ampliamante utilizado por su estructura simple, es utilizado para resolver problemas de toma de decisión generales.

Fuzzification

Sistemas de Inferencia Difusa

convertir entradas certeras en conjuntos difusos

Supongamos en nuestra base de reglas tenemos la siguiente:

Podemos dividir la critica de los productos y la belleza del producto en una calificación del 1 al 5.

Fuzzification (sigmoidal)

Sistemas de Inferencia Difusa

Excellent reviews

Awesome product

Sistemas de Inferencia Difusa

Suponiendo critica de 1 y una entrada de nuestro diseño equivalente a 4

Find and evaluate the antecedent

Sistemas de Inferencia Difusa

Considerando la condición OR, podemos aplicar un operador de maximización.

max(0.0, 0.7)=0.7

Find the consequent

Sistemas de Inferencia Difusa

Suponiendo la función de membresía del consecuente también es sigmoidal y la regla menciona:

Find the consequent

Sistemas de Inferencia Difusa

Suponiendo tenemos las siguientes tres reglas en nuestra base de reglas y las funciones de membresía de salida son triangulares y analizamos una critica=1 y un diseño=4.

Aggregate the consequents

Sistemas de Inferencia Difusa

Aggregate the consequents

Sistemas de Inferencia Difusa

Aggregate the consequents

Una vez evaluadas todas las reglas y obtenidos los conjuntos difusos de salida modificados, hay que realizar la agregacion de todas las reglas para obtener un resultado unico de la actuacion de todas ellas.

Esta agregación es una unión lógica y una vez más para conservar la equivalencia entre lógicas clásica y difusa se traduce por una t-conorma.

Sistemas de Inferencia Difusa

Aggregate the consequents

Sistemas de Inferencia Difusa

Defuzzify the results

El bloque desdifusor realiza la función contraria al difusor. El difusor tiene como entradas valores concretos de las variables de entrada y como salidas grados de pertenencia a conjuntos difusos. La entrada al bloque desdifusor es el conjunto difuso de salida, resultado del bloque de inferencia y la salida es un valor concreto de la variable de salida.

Ejemplos sencillos de métodos de calculo son:

• Método del máximo
• Método del centroide
• Método de la altura

Sistemas de Inferencia Difusa

Defuzzify the results

Método del centroide

Utiliza como salida del sistema el centro de gravedad de la función característica de salida

Es el método mas utilizada en aplicaciones de la lógica difusa a la ingeniería ya que se obtiene una solución única , aunque a veces es difícil de calcular.

Con esta formula obtendríamos un resultado

de 13.75%

Sistemas de Inferencia Difusa

Aplicación

La variable lingüística cuenta con 5 elementos

• x es su nombre
• X es su universo de discurso
• T(x) los valores lingüísticos o términos lingüísticos que acepta la variable
• G es la regla sintáctica que genera los valores lingüísticos.
• M es la regla semántica que asocia cada termino lingüístico con su significado

Los términos lingüísticos describen cualitativamente la variable lingüística.

Razonamiento aproximado

Ejemplo

x= posesión del balón

X=[0,90] minutos

T(x)={casi nada, poca,

equilibrada, grande,

enorme}

son propuestas, pudo centrar

gaussianas distintas

Razonamiento aproximado

La cantidad de terminos linguisticos y su selección se hará a la conveniencia del diseñador.

Nosotros tenemos libertad de elegir conjuntos difusos y sus funciones de membresía para cada uno de los términos lingüísticos siempre y cuando sean razonables

Razonamiento aproximado

Son el núcleo de un controlador difuso

si x es A, entonces y es B

relacion entre si ocurre algo concluimos que ocurre otra cosa

Donde x y y son variables linguisticas

A y B son valores o terminos linguisticos

si la presion es alta, entonces el volumen es grande

si la carretera es sinuosa, entonces la carretera es peligrosa

si el jitomate esta rojo, entonces el jitomate esta maduro

Reglas Difusas SI-Entonces

los terminos linguistiocs tienen un significadod deifinido por un conjunto difuso

un ser humano las puede entender estas reglas, la idea es que una computadora la pueda utilizar para concluir cosas, concluir razonamientos, debe tener una manera de interpretar estas reglas si entonces de manera matematica

Reglas Difusas SI-Entonces

Existen dos maneras de interpretar las reglas si entonces de manera matematica

la relacion difusa formada por el producto cartesiana entre el conjunto a yb

la otra es utilizar la implicacion difusa.

Las dos tienen interpretaciones distintas.

Reglas Difusas SI-Entonces

Relación difusa AXB

intensidad de la causabilidad entre A y B, cuando tiene una calificacion arriba de 8, la intensidad de la relacion con estudiar mucho es mas grande.

intensidad de la relacion del antecedente si entonces con el consecuente de la misma regla

Reglas Difusas SI-Entonces

La veracidad de la implicacion

a implica a b

para que sea falsa la implicacion el antecedente sea verdadero y el consecuente sea falso.

azul es igual a cero

Reglas Difusas SI-Entonces

Ambas interpretacions son utilizadas, en control difuso se utiliza la interpretación de la relación difuso formada por el producto cartesiando entre A y b

La implicacion  para sistemas expertos.

Reglas Difusas SI-Entonces

Se constituye por dos premisas

1 es un hecho

x es una variable linguistica , A' es un termino linguistico

y b

con estas dos premisas podemos obtener una conclusión.

nos permite dar razonamientos utilizando la computadora.

Modus Ponens Difuso

El hecho esta conformado por un conjunto difuso A{

la regla es un producto cartesiano AXB

para la conclusion realizamos la composicion entre el hecho y la regla.

Modus Ponens Difuso

Esta regla si-entonces nos va a servir para concluir que tan excelente es pedro como estudiante.

Modus Ponens Difuso

Modus Ponens Difuso

Referencia adicional