Cálculo Multivariable

Unidad 2: Cálculo Diferencial de las Funciones de Varias Variables.

Ing. Oscar Alonso Rosete Beas

Semana 12 Octubre Rev:2 ciclo 2020-2

Agenda

2.1 Planteamiento de problemas que involucran más de una variable independiente.
2.2 Derivación parcial, diferenciales de funciones multivariadas y diferencial total.
2.3 Coordenadas cilíndricas, esféricas y jacobianos.
2.4 Máximos, mínimos y puntos silla.
2.5 Método de multiplicadores de Lagrange.

Unidad 2: Cálculo Diferencial de las Funciones de Varias Variables.

Unidad 2

Agenda

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2.1 Planteamiento de problemas que involucran más de una variable independiente.
2.2 Derivación parcial, diferenciales de funciones multivariadas y diferencial total.
2.3 Coordenadas cilíndricas, esféricas y jacobianos.
2.4 Máximos, mínimos y puntos silla.
2.5 Método de multiplicadores de Lagrange.

Unidad 2: Cálculo Diferencial de las Funciones de Varias Variables.

Ejercicios tarea

Halle las dos derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones

Seleccione dos de estas funciones y compruebe el teorema de las derivadas mixtas.

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Notación para las primeras derivadas parciales

"Se lee como la derivada parcial de $f$ con respecto a $x$"

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Ejercicio final

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Ejemplo de aplicación

Una medida de la percepción del calor ambiental para una persona promedio es el índice de temperatura aparente. Un modelo para este índice es

donde A es la temperatura aparente en grados Celsius, t es la temperatura del aire y h es la humedad relativa dada en forma decimal. Fuente: The UMAP Journal.

si t=30 y h=0.8

¿Qué influye mas sobre A, la temperatura del aire o la humedad?

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Diferencial total

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En una funcion dada y=f(x) se definió la diferencial de y como 

Terminologia similar se utiliza para una función de dos variables z=f(x,y).

Δx y Δy son los incrementos x, y , y el incremento en z esta dado por

Diferencial total

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Aproximación mediante diferenciales

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Si se elige (x+Δ, y+Δ) suficientemente cerca de (x,y) se puede usar la aproximación.

Para determinar el cambio exacto en z=Δz, se establece que este valor se aproxima a dz (la diferencial total), denominada aproximación lineal.

Ejemplo aplicación

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Un productor de bienes y servicios determino que la función de producción de su bien A está dado por:

Donde k es el capital en miles de dolares y L es la fuerza laboral en horas-hombre.

Si el productor posee inicialmente 2000 dolares de capital y 1024 horas hombre para la producción inicla del bien.

Calcule la variación en la producción inicial si se desea aumentar el capital inicial en 100  dolares y disminuir la fuerza laboral inicia en 2 horas hombre.

Ejercicios

En los ejercicios evalue f(2,1) y f (2.1,1.05) y calcule Δz, use la diferencial total dz para aproximar Δz.

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Referencia adicional

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Ejemplo aplicación diferencial total

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El radio de la base y la altura de un cono circular recto se miden como 10 cm y 25 cm, respectivamente, con un posible error de medición de hasta 0.1 cm en cada uno. Use diferenciales para estimar el error máximo en el volumen calculado del cono.

Funciones de tres o más variables

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Funciones de tres o más variables

Las dimensiones de una caja rectangular se miden en 75 cm, 60 cm y 40 cm y cada medida es correcta con un margen de error de 0.2 cm. Use diferenciales para estimar el mayor error posible cuando el volumen de la caja se calcula a partir de estas medidas.

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Regla de la cadena

Para funciones con más de una variable, la regla de la cadena tiene varias versiones, cada una de las cuales da una regla para derivar una función compuesta. La primera versión (teorema 2) se refiere al caso donde z=f(x, y) y cada una de las variables x y y es a su vez una función de una variable t. Esto significa que z es indirectamente una función de t, z= f(g(t),ht(t))

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Regla de la cadena

z es indirectamente una función de t, z= f(g(t),ht(t))

Diferencial total

Regla cadena

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Ejemplo aplicación

La presión P (en kilopascales), volumen V (en litros) y temperatura T (en grados Kelvin) de un mol de un gas ideal se relacionan por la ecuación PV=8.31T.

Determine la razón a la que cambia la presión cuando la temperatura es de 300 K y aumenta a razón de 0.1 K/s y el volumen es 100 L y aumenta a razón de 0.2 L/s.

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Regla de la cadena para más variables

Generalmente nos podemos apoyar con un diagrama de arbol

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Derivada direccional

El mapa meteorológico de la figura muestra un mapa de contorno de la función de temperatura T(x,y) para China a las tres de la tarde del 28 de diciembre de 2004.

Las curvas de nivel, o isotermas, unen lugares con la misma temperatura.

La derivada parcial Tx en un lugar como Chongqing es la razón de cambio de temperatura con respecto a la distancia si se viaja al este desde Chongqing

Ty es la razón de cambio de temperatura si se viaja al norte.

08/10

Derivada direccional

Pero, ¿y si se quiere conocer la razón de cambio de temperatura cuando se viaja al sureste o en alguna otra dirección?

Se presentará un tipo de derivada llamada derivada direccional, que permite determinar la razón de cambio de una función de dos o más variables en cualquier dirección

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Derivada direccional

si z=f(x, y), las derivadas parciales fx y fy se definen como

representan las razones de cambio de z en las direcciones de x y y, es decir en las direcciones de los vectores unitarios i y j.

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Derivada direccional

si z=f(x, y), las derivadas parciales fx y fy se definen como

representan las razones de cambio de z en las direcciones de x y y, es decir en las direcciones de los vectores unitarios i y j.

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Derivada direccional

Suponga que ahora desea determinar la razón de cambio de z en (x0,y0) en la dirección de un vector unitario arbitrario u=<a,b>.

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Interpretación geométrica

Entonces, el punto P(x0,y0,z0) reside en S. El plano vertical que pasa por P en la dirección de u interseca S en una curva C.  La pendiente de la recta tangente T a C en el punto P es la razón de cambio de z en la dirección de u.

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Definición formal

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Ejemplo

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El vector gradiente

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Nótese en el teorema 3 que la derivada direccional de una función derivable puede escribirse como el producto punto de dos vectores:

El primer vector en este producto punto no solo ocurre en el cálculo de derivadas direccionales, sino también en muchos otros contextos. Así, se le da un nombre especial (el gradiente de f) y una notación especial

El vector gradiente

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Nótese en el teorema 3 que la derivada direccional de una función derivable puede escribirse como el producto punto de dos vectores:

El primer vector en este producto punto no solo ocurre en el cálculo de derivadas direccionales, sino también en muchos otros contextos. Así, se le da un nombre especial (el gradiente de f) y una notación especial

El vector gradiente

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Nótese en el teorema 3 que la derivada direccional de una función derivable puede escribirse como el producto punto de dos vectores:

El primer vector en este producto punto no solo ocurre en el cálculo de derivadas direccionales, sino también en muchos otros contextos. Así, se le da un nombre especial (el gradiente de f) y una notación especial

El vector gradiente

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Derivada direccional reescrita

Ejercicios alumnos

Determine la derivada direccional de f en el punto dado en la dirección indicada por el ángulo dado.

Determine el gradiente de f.

Evalúe el gradiente en el punto P.

Determine la razón de cambio de f en P en la dirección del vector u

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Referencia adicional

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Maximización de la derivada direccional

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Suponga que tiene una función f de dos o tres variables y considere todas las posibles derivadas direccionales de f en un punto dado. Estas dan las razones de cambio de f en todas las direcciones posibles. Entonces, se pueden hacer estas preguntas: ¿en cuál de esas direcciones cambia más rápido f y cuál es la máxima razón de cambio?

Maximización de la derivada direccional

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Maximización de la derivada direccional

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Text

Maximización de la derivada direccional

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Ejemplos

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Valores máximos y mínimos

13/10

Uno de los principales usos de las derivadas ordinarias es encontrar valores máximos y mínimos (valores extremos). En esta sección se verá cómo usar derivadas parciales para localizar máximos y mínimos de funciones de dos variables.
 

Valores máximos y mínimos

13/10

Examine las cumbres y valles de la gráfica de f que aparece en la figura. Hay dos puntos (a, b) donde f tiene un máximo local, es decir, donde (a, b) es mayor que los
valores cercanos de f(x, y). El mayor de esos dos valores es el máximo absoluto. De igual manera, f tiene dos mínimos locales, donde (a, b) es menor que los valores cercanos. El menor de estos dos valores es el mínimo absoluto.

Valores máximos y mínimos

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En notación del vector gradiente

Valores máximos y mínimos

13/10

Un punto (a, b) se llama punto crítico (o punto estacionario) de f si fx(a, b)=0 y fy(a, b)=0, o si una de estas derivadas parciales no existe. El teorema 2 indica que si f tiene un máximo o mínimo local en (a, b), entonces (a, b) es un punto crítico de f.

Sin embargo, como en el cálculo de una variable, no todos los puntos críticos dan origen a máximos o mínimos. En un punto crítico, una función podría tener un máximo local o un mínimo local, o ninguno de ellos.

Valores máximos y mínimos

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Gráfica paraboloide elíptico

Valores máximos y mínimos

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f no tiene ningún valor extremo, cerca del origen, la gráfica tiene la forma de una silla de montar, y por eso (0, 0) se llama un punto silla de f.

Puntos de silla

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Un paso de montaña también tiene forma de silla de montar.

Para quienes escalan en una dirección, el punto silla es el punto más bajo en su ruta, mientras que para quienes viajan en una dirección diferente el punto silla es el punto más alto.

Prueba de la segunda derivada

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Caso c: Discriminante D<0, es un punto de silla de f

Fórmula escrita en forma de determinante:

Criterio de la segunda derivada

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Encuentre los valores máximo y mínimo locales y los puntos silla de

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Encuentre los valores máximo y mínimo locales y los puntos silla de

Criterio de la segunda derivada

Valores máximos y mínimos absolutos

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Ejemplo ilustrativo

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Ejemplo de aplicación valores extremos

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Una caja rectangular sin tapa debe hacerse con 12 m2 de cartón. Determine el volumen máximo de esa caja.

Ejercicios alumnos

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1. Determine los valores máximos y mínimos locales y el punto o puntos silla de la función.
2. Grafique la función con un dominio y punto de vista que revelen todos los aspectos importantes de la función.

Referencia Adicional

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