LIS

Longest Increasing Subsequence

那什麼?

在給定一個序列中

會有很多遞增的子序列

找出當中長度最大的

如何定義 \(dp[i]\)

我們可以維護以第 \(i\) 項為終點的最大LIS大小

並定義為 \(dp[i]\)

接下來就是轉移式的部分!

兩種做法

1. 資料結構
2. 二分搜

先考慮二分搜

在原始序列 \(a\) 外，另外維護一個序列 \(b\)

令 \(b_i\) 為使 \(dp[j] = i\) 的最大 \(j\) 的 \(a_j\)

所以勒?

我們可以將陣列掃過一遍

然後對每個元素都放進 \(b\) 裡面

而 \(a_i\) 的位置會是

\(b.lower\_bound(a_i)\)

因此\(b\)最後的大小就會是LIS的大小

But

這個序列 \(b\) 不會是LIS的長相

可以想想怎麼還原LIS的樣子ㄛ

裸題

TIOJ 1175

沒那麼裸，想想怎麼做XD

枚舉?DP?

最大二維子矩陣

給一個二維矩陣

求和最大的子矩陣

枚舉?

有幾個子矩陣？

Ans:\(O(n^4)\)

好像沒有很好?

還記得一維的怎麼做嗎?

先來點複習

在二維平面上有\(n\)個點，每個點有權重\(w_i\)

你可以以原點\((0,0)\)為圓心

任意選定兩個半徑形成兩個圓

並得到兩個圓間的環所覆蓋的點權重和

求最大權重和

\(n \leq 10^5,|x_i|,|y_i| \leq 10^9, |w_i| \leq 10^4\)

Text

要怎麼把一維的做法套上來?

題單

最大二維子矩陣

這兩題作法差不多

TIOJ 1733

TIOJ 1277

TIOJ 1063

稍微難一點的變化題

小提示，如何運用資料結構來輔助DP

長得很像但不太一樣的題目

注意這題要想辦法壓到 \(O(n^2)\) ㄛ

背包問題

什麼是背包

給你 \(n\) 個東西，和一個可以乘載量為 \(m\) 的袋子

每個東西有重量 \(w_i\) 和價值 \(v_i\)

問你最大的價值為何

想想這個狀況

\(n = 3, m = 6\)

\(w_1 = 4, v_1 = 5\)

\(w_2 = 3, v_2 = 3\)

\(w_3 = 3, v_3 = 3\)

考慮DP

令 \(dp[i][j]\) 為

考慮前 \(i\) 個物品

容量為 \(j\) 的背包能裝多少東西

轉移？

此時每個物品有被選與不被選兩種情形

所以我們的轉移式必須涵蓋這兩種狀態

轉移？

滾一下

此時你又可以發現，轉移式在轉移到\(dp[i][j]\)時

只會用到\(dp[i-1]\)的資料

因此你可以只要維護當前的\(dp[i]和dp[i-1]\)就好

同時取\(dp[i][j]\)時

你也只需要取 \(dp[i-1][k] s.t. k \leq j\)的資料

因此如果你讓for迴圈從 \(j=k\) 開始遞減

你可以只需要維護\(dp[j]\)就好

複雜度

你會發現有\(n \times m\)個轉移點

而轉移花費為\(1\)

因此總複雜度為\(O(nm)\)

奇怪的背包

剛剛上面講得基本上是指01背包問題

但其實還有很多種背包

etc:

有限背包, 無限背包

不過作法其實都是一樣的概念

但在細節上有差異，可以自己想想怎麼做

(還有可分割背包, 大數背包這種跟DP比較沒關係的類似題)

例題

背包是非常常見的經典問題

也有非常多的變化 etc. 很多計數問題

所以熟悉背包的概念非常重要ㄛ

裸題

實作一下剛剛講的東西就好ㄌ

好像哪裡不太一樣了?

懶得打ㄌ(X

現在變成有好幾個group

每個group中只能選一個

除了預算

還多了總量限制ㄛ

給你\(n\)個正整數

問你能不能讓某些數變成負的

使所有數加起來是\(0\)

\(n \leq 100, a_i \leq 1000\)

難難ㄉDP

提示一下，可以用帕斯卡三角形取\(C\)

LCS

Longest Common Subsequence

不免俗ㄉ看一下範例

\(|lcs(abcd,bc)| = 2\)

\(|lcs(ace,cae)| = 2\)

\(|lcs(abc,def)| = 0\)

DP狀態

定義 \(dp[i][j]\) 為

字串 \(A\) 的前 \(i\) 項和字串 \(B\) 的前 \(j\) 項的lcs長度

如何轉移？

考慮兩種情況，\(A_i = B_j  和  A_i \neq B_j\)

我們可以得到兩種轉移式

例題

裸題

給兩個長度小於1000的字串

求LCS長度

• Edit Distance

給你兩個字串\(A,B\)

定義一函式 \(f(s,t) = |lcs(s,t)|\times4 - |s| -|t|\)

你可以將 \(A,B\) 分別切為連續子字串 \(A',B'\)

求 \(f(A',B')\) 的最大值

矩陣快速冪

快速冪

把 \(k\) 次方拆成 2進位

\(O(\lg k)\) 時間計算 \(k\) 次方

矩陣

這樣就是一個矩陣

\(A\) 是一個 \(2 \times 3\) 的矩陣

如果要表達 \(A\) 的第 \(i\) 行第 \(j\) 列的項，那就是 \(A_{i, j}\)

矩陣加法

兩個行數列數都相同的矩陣可以做加法

矩陣乘法

zerojudge上有題目！

矩陣乘法

我們若有個 \(n \times m\) 的矩陣 \(A\)，和\( m \times p \)的矩陣 \(B\)

則 \(A \times B\) 為 \(n \times p\) 的矩陣

其中，矩陣\( A,B \)可相乘若且唯若 \(A_{col} = B_{row}\)

(以上面為例就是那個 \(m\) 是一樣的)

詳細一點

Matrix Multiplication

我們直接示範看看

總之設 \(A,B\) 可相乘，令 \(A \times B = C\)

則 \(C_{ij} = \sum\limits^{A_{col}}_{k=1}A_{ik} \times B_{kj}\)

Why relevant?

• 線性代數會用到 (等一下會講的)
• 可以解決一些幾何問題 (高中的矩陣應用)

複雜度

矩陣乘法複雜度為 \(O(n^3)\)

其實不算太好

但矩陣快速冪題目的矩陣通常不會太大

所以這其實還好

矩陣乘法+快速冪

我們這邊先省略掉數學證明

總之矩陣乘法存在結合律

而且也可以對方陣取 \(n\) 次方

所以如果我們將DP式轉為一個矩陣

就可以用很快的時間運算了

題敘大致上是說：有6種西洋棋子可以用

每種棋子都有無限多個

你要取 \(n\) 個棋子排成一列

而國王跟皇后都必須取偶數個

 求排列方法數模\(10^8+7\)

\(n \leq 10^9\)

先想想看 O(n) 作法

數學表達

令\(dp[n-1][1] = a,dp[n-1][2] = b,dp[n-1][3] = c\)，則

數學表達

我們可以發現，每次往下一項走，都是再乘一次矩陣

所以我們可以把他轉成矩陣的 \(n\) 次方

矩陣快速冪丟下去

恭喜你ACㄌ

例題

給定 \(f_1, f_2, a, b\)

令 \(f_n = bf_{n-1} + af_{n-2}\)

求 \(f_n (n \leq 10^9)\)

有四種顏色（紅藍綠黃）的油漆

而你有 \(n\) 個方塊要上色，且每個方塊只能上一種顏色

其中紅色跟黃色一定要有偶數個

請問有幾種上色方式？

給一張圖，\(V \leq 100,E \leq 50000\)，可能有重邊

給定一個起點和終點

求恰好經過 \(k\) 條邊的路徑有多少條

(路徑不需要簡單，也就是你一條邊走多少次都沒關係)

\(k \leq 10^{15}\)

區間DP

區間 DP 的架構

• 解決一個序列上的問題
• 把問題拆成對每個子區間分別解決
• done

Slime

• 有 \(N\) 隻史萊姆排成一列
• 第 \(i\) 隻史萊姆重 \(w_i\)
• 每次可以合併兩隻相鄰的史萊姆
  • \(cost\) 是合併完的重量
• 全部合併在一起的最小花費