Wiskundige beschrijving van golven

0) Welke van de onderstaande golven zijn fundamenteel verschillend van de andere?

  1. Radiogolven
  2. Geluidsgolven
  3. Radargolven
  4. Lichtgolven

0) Welke van de onderstaande golven zijn fundamenteel verschillend van de andere?

  1. Radiogolven
  2. Geluidsgolven
  3. Radargolven
  4. Lichtgolven

Zowel radio-golven, radargolven, als lichtgolven zijn elektromagnetische golven. Dat zijn transversale golven

 

Geluidsgolven daarentegen zijn drukgolven in lucht, vloeistof of vaste stof, en deze zijn longitudinaal.

1) Vanuit een vuurtoren ziet men de zeegolven aankomen met een snelheid van 10 meter per seconde. Er is een afstand van 5,5 m tussen twee opeenvolgende golftoppen. Bereken de frequentie en de periode van deze golven.

1) Vanuit een vuurtoren ziet men de zeegolven aankomen met een snelheid van 10 meter per seconde. Er is een afstand van 5,5 m tussen twee opeenvolgende golftoppen. Bereken de frequentie en de periode van deze golven.

\lambda = 5,5 \mathrm{m}
λ=5,5m\lambda = 5,5 \mathrm{m}
v = 10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
v=10 msv = 10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
v = \lambda{}.f \Leftrightarrow f = \frac{v}{\lambda}
v=λ.f⇔f=vλv = \lambda{}.f \Leftrightarrow f = \frac{v}{\lambda}
f = \frac{10\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{5,5 \mathrm{m}}=1,8 \mathrm{Hz}
f=10ms5,5m=1,8Hzf = \frac{10\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{5,5 \mathrm{m}}=1,8 \mathrm{Hz}
T = \frac{1}{f} = \frac{1}{1,8 \mathrm{Hz}} = 0,56 s
T=1f=11,8Hz=0,56sT = \frac{1}{f} = \frac{1}{1,8 \mathrm{Hz}} = 0,56 s

2) De triller in een golfbak brengt per tijdseenheid 12 trillingen voort. De gemeten golflengte is 4,0 cm. Zoek de voortplantingssnelheid van deze golf.

2) De triller in een golfbak brengt per tijdseenheid 12 trillingen voort. De gemeten golflengte is 4,0 cm. Zoek de voortplantingssnelheid van deze golf.

\lambda = 4,0\ \mathrm{cm} = 0,040\ \mathrm{m}
λ=4,0 cm=0,040 m\lambda = 4,0\ \mathrm{cm} = 0,040\ \mathrm{m}
f = 10\ \mathrm{Hz}
f=10 Hzf = 10\ \mathrm{Hz}
v = \lambda{}.f = 0,040\ \mathrm{m}.12\ \mathrm{Hz} = 0,48\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
v=λ.f=0,040 m.12 Hz=0,48 msv = \lambda{}.f = 0,040\ \mathrm{m}.12\ \mathrm{Hz} = 0,48\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

3) Studio Brussel zendt vanuit Leuven radioprogramma's uit op een frequentie van 88,0 MHz. Als de radiogolven zich voortplanten met een snelheid van 2,99.108 meter per seconde, bereken dan de golflengte. Je kan dit ook doen voor andere zenders of voor andere delen van het land.

3) Studio Brussel zendt vanuit Leuven radioprogramma's uit op een frequentie van 88,0 MHz. Als de radiogolven zich voortplanten met een snelheid van 2,99.108 meter per seconde, bereken dan de golflengte. 

v = 2,99.10^8 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
v=2,99.108msv = 2,99.10^8 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
f = 88,0\ \mathrm{MHz}= 88,0.10^6 \mathrm{Hz}
f=88,0 MHz=88,0.106Hzf = 88,0\ \mathrm{MHz}= 88,0.10^6 \mathrm{Hz}
v = \lambda{}.f \Leftrightarrow \lambda = \frac{v}{f} = \frac{ 2,99.10^8 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{ 88,0.10^6 \frac{1}{\mathrm{s}} } = 3,40\ \mathrm{m}
v=λ.f⇔λ=vf=2,99.108ms88,0.1061s=3,40 mv = \lambda{}.f \Leftrightarrow \lambda = \frac{v}{f} = \frac{ 2,99.10^8 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{ 88,0.10^6 \frac{1}{\mathrm{s}} } = 3,40\ \mathrm{m}

3b) Bereken de golflengte van de la (muzieknoot, frequentie is 440 Hz) in de lucht, als je weet dat de geluidssnelheid in de lucht 340 meter per seconde bedraagt.

(gelijkaardige oefening, geen oplossing)

4) Een trilling plant zich voort langs een koord over een afstand van 14,5 golflengten in 29 seconde. Hoe groot is de golflengte als de voortplantingssnelheid van de golven 6,0 meter per seconde is?

4) Een trilling plant zich voort langs een koord over een afstand van 14,5 golflengten in 29 seconde. Hoe groot is de golflengte als de voortplantingssnelheid van de golven 6,0 meter per seconde is?

v = \frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} = \frac{14,5\lambda}{29\ \mathrm{s}} = 6,0 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
v=ΔxΔt=14,5λ29 s=6,0msv = \frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} = \frac{14,5\lambda}{29\ \mathrm{s}} = 6,0 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
\frac{14,5\lambda}{29\ \mathrm{s}} = 6,0 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \Leftrightarrow{} \lambda = \frac{6,0}{14,5} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.29\ \mathrm{s}
14,5λ29 s=6,0ms⇔λ=6,014,5ms.29 s\frac{14,5\lambda}{29\ \mathrm{s}} = 6,0 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \Leftrightarrow{} \lambda = \frac{6,0}{14,5} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.29\ \mathrm{s}
\lambda = 12\ \mathrm{m}
λ=12 m\lambda = 12\ \mathrm{m}

5) Hieronder staat de vergelijking van een lopende golf. Wat is de golflengte, frequentie en de voortplantingssnelheid van deze golf?

Is deze golf linkslopend of rechtslopend?

y = 4\sin{2\pi(\frac{t}{0,2\ \mathrm{s}}-\frac{x}{10\ \mathrm{m}})}
y=4sin2π(t0,2 s−x10 m)y = 4\sin{2\pi(\frac{t}{0,2\ \mathrm{s}}-\frac{x}{10\ \mathrm{m}})}

5) Hieronder staat de vergelijking van een lopende golf. Wat is de golflengte, frequentie en de voortplantingssnelheid van deze golf?

Is deze golf linkslopend of rechtslopend?

y = 4\sin{2\pi(\frac{t}{0,2\ \mathrm{s}}-\frac{x}{10\ \mathrm{m}})}
y=4sin2π(t0,2 s−x10 m)y = 4\sin{2\pi(\frac{t}{0,2\ \mathrm{s}}-\frac{x}{10\ \mathrm{m}})}
\frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,2\ \mathrm{s}} \Leftrightarrow T = 0,2\ \mathrm{s}
2πT=2π0,2 s⇔T=0,2 s\frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,2\ \mathrm{s}} \Leftrightarrow T = 0,2\ \mathrm{s}
\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{10\ \mathrm{m}} \Leftrightarrow \lambda = 10\ \mathrm{m}
2πλ=2π10 m⇔λ=10 m\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{10\ \mathrm{m}} \Leftrightarrow \lambda = 10\ \mathrm{m}
v = \lambda{}f
v=λfv = \lambda{}f
v = \frac{\lambda{}}{T} = \frac{10 \mathrm{m}}{0,2 \mathrm{s}}
v=λT=10m0,2sv = \frac{\lambda{}}{T} = \frac{10 \mathrm{m}}{0,2 \mathrm{s}}
v = 50 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
v=50msv = 50 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

5b) We vonden de bijgevoegde figuur op een website http://oceanexplorer.noaa.gov/

Wat is er zeker fout aan deze figuur? 

5b) We vonden de bijgevoegde figuur op een website http://oceanexplorer.noaa.gov/

Wat is er zeker fout aan deze figuur? 

De horizontale as is geschaald in seconde. Dat betekent dat het de tijd voorstelt. Dat impliceert dat 'wavelength' door 'period' vervangen moet worden !!!

5c) De bijgevoegde figuur geeft de uitwijking van drie verschillende golven weer op één bepaald moment, voor alle punten van een bepaald gebied. Je mag ervan uitgaan dat de figuur geschaald is is meter, zowel voor de uitwijking als voor de positie.

Bepaal voor alle drie de golven die op de figuur staan

  • De golflengte
  • De amplitude
  • De periode
  • Schrijf de uitdrukking weer voor de drie golven, je mag ervan uitgaan dat de figuur op t=0 s weergeeft.

5c) Periode: niet te achterhalen uit deze figuur! Dit is een momentopname, bevat GEEN informatie in verband met de tijdsevolutie!

Amplitude: steeds 1,0 meter.

Golflengte: 

 

\lambda_1 = \pi\ \mathrm{m}
λ1=π m\lambda_1 = \pi\ \mathrm{m}
\lambda_2 = 2\pi\ \mathrm{m}
λ2=2π m\lambda_2 = 2\pi\ \mathrm{m}
\lambda_3 = 4\pi\ \mathrm{m}
λ3=4π m\lambda_3 = 4\pi\ \mathrm{m}
y_1(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(2x+\phi_1)
y1(x,0)=1 m.sin(2x+ϕ1)y_1(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(2x+\phi_1)
y_2(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(x+\phi_2)
y2(x,0)=1 m.sin(x+ϕ2)y_2(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(x+\phi_2)
y_3(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(\frac{x}{2}+\phi_3)
y3(x,0)=1 m.sin(x2+ϕ3)y_3(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(\frac{x}{2}+\phi_3)
y_1(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(2x-\frac{\pi}{2})
y1(x,0)=1 m.sin(2x−π2)y_1(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(2x-\frac{\pi}{2})
y_2(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(x-\frac{\pi}{2})
y2(x,0)=1 m.sin(x−π2)y_2(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(x-\frac{\pi}{2})
y_3(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2})
y3(x,0)=1 m.sin(x2−π2)y_3(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2})

Dit is telkens hetzelfde faseverschil, idd, de figuren zouden met fase nul door een cosinus beschreven worden, en het faseverschil tussen sin en cos is steeds gelijk aan 90°

y_1(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(2(x-\frac{\pi}{4}))
y1(x,0)=1 m.sin(2(x−π4))y_1(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(2(x-\frac{\pi}{4}))
y_2(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(x-\frac{\pi}{2})
y2(x,0)=1 m.sin(x−π2)y_2(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(x-\frac{\pi}{2})
y_3(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(\frac{1}{2}(x-\pi))
y3(x,0)=1 m.sin(12(x−π))y_3(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(\frac{1}{2}(x-\pi))

Herschrijven zorgt ervoor dat je het faseverschil direct kan aflezen

y_1(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(2x+\phi_1)
y1(x,0)=1 m.sin(2x+ϕ1)y_1(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(2x+\phi_1)
y_2(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(x+\phi_2)
y2(x,0)=1 m.sin(x+ϕ2)y_2(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(x+\phi_2)
y_3(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(\frac{x}{2}+\phi_3)
y3(x,0)=1 m.sin(x2+ϕ3)y_3(x,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(\frac{x}{2}+\phi_3)
y_1(\frac{3\pi}{4},0) = 1\ \mathrm{m} .sin(2\frac{3\pi}{4}+\phi_1) \Rightarrow \phi_1=\frac{5\pi}{2}
y1(3π4,0)=1 m.sin(23π4+ϕ1)⇒ϕ1=5π2y_1(\frac{3\pi}{4},0) = 1\ \mathrm{m} .sin(2\frac{3\pi}{4}+\phi_1) \Rightarrow \phi_1=\frac{5\pi}{2}
y_2(\frac{\pi}{2},0) = 1\ \mathrm{m} .sin(\frac{\pi}{2}+\phi_2) \Rightarrow \phi_2 = -\frac{\pi}{2}
y2(π2,0)=1 m.sin(π2+ϕ2)⇒ϕ2=−π2y_2(\frac{\pi}{2},0) = 1\ \mathrm{m} .sin(\frac{\pi}{2}+\phi_2) \Rightarrow \phi_2 = -\frac{\pi}{2}
y_3(\pi,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(\frac{\pi}{2}+\phi_3) \Rightarrow \phi_3 = -\frac{\pi}{2}
y3(π,0)=1 m.sin(π2+ϕ3)⇒ϕ3=−π2y_3(\pi,0) = 1\ \mathrm{m} .sin(\frac{\pi}{2}+\phi_3) \Rightarrow \phi_3 = -\frac{\pi}{2}

Fases bepalen door een bekend punt (waar y=0 is) in te vullen;

5d) De bijgevoegde figuur geeft de uitwijking van drie verschillende golven weer op één bepaald moment, voor alle punten van een bepaald gebied. Je mag ervan uitgaan dat de figuur geschaald is is meter, zowel voor de uitwijking als voor de positie.

Bepaal voor alle drie de golven die op de figuur staan

  • De golflengte
  • De amplitude
  • De periode
  • Schrijf de uitdrukking weer voor de drie golven, je mag ervan uitgaan dat de figuur op t=0 s weergeeft.

Niet opgelost wegens gelijkaardig

6) Een sinusoïdale golf beweegt langs een koord. Indien een bepaald punt van het koord zich verplaatst van de maximale uitwijking naar uitwijking nul in 0,18 s, zoek dan de periode en de frequentie. Bereken de voortplantingssnelheid van de golf als de golflengte 1,50 m is.

6) Een sinusoïdale golf beweegt langs een koord. Indien een bepaald punt van het koord zich verplaatst van de maximale uitwijking naar uitwijking nul in 0,18 s, zoek dan de periode en de frequentie. Bereken de voortplantingssnelheid van de golf als de golflengte 1,50 m is.

Van max naar 0 (kortste manier) gebeurt in een kwart periode. Dwz T = 4.0,18s = 0,72 s.

f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,72}\ \mathrm{Hz}=1,4\ \mathrm{Hz}
f=1T=10,72 Hz=1,4 Hzf = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,72}\ \mathrm{Hz}=1,4\ \mathrm{Hz}
v=\lambda{}f = 1,5\ \mathrm{m}. 1,4\ \mathrm{Hz} = 2,1 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
v=λf=1,5 m.1,4 Hz=2,1msv=\lambda{}f = 1,5\ \mathrm{m}. 1,4\ \mathrm{Hz} = 2,1 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

7) Twee punten, op 30 cm van elkaar gelegen , hebben bij een lopende golf in een koord een faseverschil van 270°. Welke frequentie heeft de trilling die zich in het koord voortplant met een snelheid van 3,6 m/s ?

y(x,t) = Asin(\frac{2\pi}{T}t - \frac{2\pi}{\lambda}x + \phi)
y(x,t)=Asin(2πTt−2πλx+ϕ)y(x,t) = Asin(\frac{2\pi}{T}t - \frac{2\pi}{\lambda}x + \phi)

Kies makkelijk:

  • Kies t=0s als het moment dat de golf voorbij het eerste punt trekt.
  • Werk met x1=0m voor het eerste punt en x2=0,30m voor het tweede punt

7) Twee punten, op 30 cm van elkaar gelegen , hebben bij een lopende golf in een koord een faseverschil van 270°. Welke frequentie heeft de trilling die zich in het koord voortplant met een snelheid van 3,6 m/s ?

v=\frac{\lambda}{T}=\lambda{}f
v=λT=λfv=\frac{\lambda}{T}=\lambda{}f

Op die manier is slechts één van beide (lamba of T) een onbekende. We kiezen ervoor om f (=1/T) te laten staan, omdat f gevraagd is.

y(x,t) = Asin(2\pi{}ft - \frac{2\pi{}f}{v}x)
y(x,t)=Asin(2πft−2πfvx)y(x,t) = Asin(2\pi{}ft - \frac{2\pi{}f}{v}x)

We kunnen zonder beperking de fase gelijk aan nul kiezen.

y(0m;0s) = Asin(2\pi{}f.0s - \frac{2\pi{}f}{v}.0m)
y(0m;0s)=Asin(2πf.0s−2πfv.0m)y(0m;0s) = Asin(2\pi{}f.0s - \frac{2\pi{}f}{v}.0m)
y(0,3m;t_1) = Asin(2\pi{}f.t_1 - \frac{2\pi{}f}{v}0,3m)
y(0,3m;t1)=Asin(2πf.t1−2πfv0,3m)y(0,3m;t_1) = Asin(2\pi{}f.t_1 - \frac{2\pi{}f}{v}0,3m)

Zeggen dat er een faseverschil van 270° is, is zeggen dat het argument van de sinus even groot is op de tweede plaats op het tijdstip t1 als op de eerste plaats op tijdstip 0s plus het faseverschil van 3pi/2.

\frac{3\pi}{2}=2\pi{}f.t_1
3π2=2πf.t1\frac{3\pi}{2}=2\pi{}f.t_1

Wiskundige beschrijving van golven

By Anthony Parmentier

Made with Slides.com

Wiskundige beschrijving van golven

  • 1,060

More from Anthony Parmentier