APCS Camp 資料結構

課程大綱（一）

什麼是資料結構？
Queue
Stack
Deque
Linked-list

課程大綱（二）

Standard Template Library
- Vector, Pair, Stack, Queue, Deque
Heap (priority_queue)
Set
Map
Disjoint Set

是的其實這是語法課

課程目的

理解常見資料結構的運作原理
能夠實作基礎的資料結構
獲得好用的工具 - STL
擔任這次營隊裡最簡單的課程

自我介紹

王政祺，casperwang
CKMSC36th => NTU CSIE B10
2020, 2021 資奧二階選訓營
2017 APCS 5/4 + 2020 APCS 4/5

什麼是資料結構？

資料結構

Data Structure

什麼是資料結構？

是電腦中儲存、組織資料的方式
好的資料處理方式，能讓程式節省時間與空間
例如：「陣列」就是一種資料結構

這很重要嗎？

Algorithms + Data Structures = Programs

Niklaus Wirth,

the designer of Pascal

台大有一門課叫資料結構與演算法

常見的資料結構

Stack、Queue、Deque
Linked-list
Heap、Set、Map
disjoint set
......

Stack

考慮一個很簡單的問題

怎麼拿到藍色那本書？

依序把紅、黃、綠色的書拿起來

得到藍色的書

再依序把綠、黃、紅色的書放回去

Stack

堆疊

Empty

Stack

堆疊

加入新資料

1

Stack

堆疊

加入新資料

1

2

Stack

堆疊

刪除最頂端資料

1

Stack

堆疊

加入新資料

1

3

Stack

堆疊

3

4

1

加入新資料

Stack

堆疊

刪除最頂端資料

3

1

Stack

堆疊

刪除最頂端資料

1

Stack

堆疊

刪除最頂端資料

stack 的功能

存取排在 stack 最頂端的資料
刪除排在 stack 最頂端的資料
新增資料到 stack 的最頂端

用陣列來實作吧！

程式要支援以下功能

top() 回傳 stack 最頂端的值
pop() 刪除 stack 最頂端的資料
push() 將一個新的值加入 stack
size() 回傳 stack 的大小

#16

用一個陣列代表 stack

假設任意時刻 stack 裡的資料筆數不會超過陣列大小

用一個變數 now 紀錄頂端位置

如果 now = 0, 代表 stack 是空的
push 時 now++
pop 時 now--

9	9	8	2	4	4	3

now

用一個變數 now 紀錄頂端位置

如果 now = 0, 代表 stack 是空的
push 時 now++
pop 時 now--

9	9	8	2	4	4	3	5

now

用一個變數 now 紀錄頂端位置

如果 now = 0, 代表 stack 是空的
push 時 now++
pop 時 now--

9	9	8	2	4	4	3

now

struct Stack{
    int arr[MAXN], now;
    Stack() : now(0) {}
    int top() { //回傳stack最頂端的值
        return arr[now-1];
    }
    void pop() { //刪除stack最頂端的資料
        now--;
    }
    void push(int val) { //將一個新的值加入stack的最頂端
        arr[now++] = val;
    }
    int size() { //回傳stack的大小
        return now;
    }
};

Stack 的特性

只能從最頂端存取、刪除、新增資料
後進先出(Last In First Out, LIFO)

Queue

先到的先拿！

Queue

佇列

queue 的功能

存取排在queue最前端的資料
刪除排在queue最前端的資料
新增資料到queue的最後端

實作

程式要支援以下功能

front() 回傳 queue 最前端的值
pop() 刪除 queue 最前端的資料
push() 將一個新的值加入 queue 的最後端
size() 回傳 queue 的大小

#12

跟 stack 類似的方法

用變數 head, tail 紀錄目前 queue 的開頭、結尾位置
push 時 tail++
pop 時 head++

跟 stack 類似的方法

用變數 head, tail 紀錄目前 queue 的開頭、結尾位置
push 時 tail++
pop 時 head++

	9	7	9	3	2	3	8

Head

Tail

跟 stack 類似的方法

用變數 head, tail 紀錄目前 queue 的開頭、結尾位置
push 時 tail++
pop 時 head++

		7	9	3	2	3	8

Head

Tail

跟 stack 類似的方法

用變數 head, tail 紀錄目前 queue 的開頭、結尾位置
push 時 tail++
pop 時 head++

		7	9	3	2	3	8	4

Head

Tail

有沒有發現什麼問題？

如果 push, pop 超過一定數量後就會壞掉

怎麼解決？

碰到尾巴的話，就循環從頭再來一次！

如果 tail 碰到末端，就從頭開始循環
head 也是比照辦理

		7	9	3	2	3	8	4

Head

Tail

碰到尾巴的話，就循環從頭再來一次！

如果 tail 碰到末端，就從頭開始循環
head 也是比照辦理

		7	9	3	2	3	8	4	6

Head

Tail

碰到尾巴的話，就循環從頭再來一次！

如果 tail 碰到末端，就從頭開始循環
head 也是比照辦理

			9	3	2	3	8	4	6

Head

Tail

碰到尾巴的話，就循環從頭再來一次！

如果 tail 碰到末端，就從頭開始循環
head 也是比照辦理

2			9	3	2	3	8	4	6

Head

Tail

struct Queue{
    int arr[MAXN], head, tail;
    Queue() : head(0), tail(0) {}
    int front() { //回傳queue最前端的值
        return arr[head];
    }
    void pop() { //刪除queue最前端的資料
        head++;
        if (head == MAXN) head = 0;
    }
    void push(int val) { //將一個新的值加入queue的最後端
        arr[tail++] = val;
        if (tail == MAXN) tail = 0;
    }
    int size() { //回傳queue的大小
        return (tail + MAXN - head) % MAXN;
    }
};

Queue 的特性

只能從最前端存取、刪除資料
只能從最後端新增資料
先進先出(First In First Out, FIFO)

Deque

如果想同時支援從前後加東西跟刪東西呢？

到底要用 stack 還是 queue？

Deque

(Double-ended queue)

雙端佇列

關於念法

有些人喜歡念成「de-queue」

關於念法

~~有些人喜歡念成「de-queue」~~
usually pronounced like "deck" —— by CPP reference

deque 的功能

存取、刪除排在deque最前端的資料
存取、刪除排在deque最後端的資料
新增資料到deque的最前端、最後端

實作

struct Deque{
    int arr[MAXN], head, tail;
    Deque() : head(0), tail(0) {}
    int front() { //回傳deque最前端的值
        return arr[head];
    }
    int back() { //回傳deque最後端的值
        if (tail == 0) tail = MAXN
        return arr[tail-1];
    }
    void pop_front() { //刪除deque最前端的資料
        head++;
        if (head == MAXN) head = 0;
    }
    void pop_back() { //刪除deque最後端的資料
        if (tail == 0) tail = MAXN;
        tail--;
    }
    void push_front(int val) { //將一個新的值加入deque的最前端
        if (head == 0) head = MAXN-1;
        arr[head--] = val;
    }
    void push_back(int val) { //將一個新的值加入deque的最後端
        arr[tail++] = val;
        if (tail == MAXN) tail = 0;
    }
    int size() { //回傳deque的大小
        return (tail + MAXN - head) % MAXN;
    }
};

程式要支援以下功能

front(), back() 詢問
pop_front(), pop_back() 刪除
push_front(), push_back() 加入
size()

#23

例題們

例題（一）

給定一個僅包含 '('、')' 的字串，問其是否為合法括弧字串。

範例：

" ( ) ( ( ) ( ) ) " 是一個合法括弧字串
" ( ) ( ( ( ) ( ) " 不是一個合法括弧字串

#17

Hint

什麼樣的字串是合法括弧字串？

例題（一）合法括弧字串

「每個左括弧都能夠找到右括弧與其互相配對，且不會有多餘的右括弧沒有配對到」

例題（一）作法

由左到右把字元加到stack看看
遇到 '(' 就 push
遇到 ')' 就 pop

例題（一）作法

由左到右把字元加到stack看看
遇到 '(' 就 push
遇到 ')' 就 pop
如果 pop 的時候發現 stack 空了 => 非法字串
如果 stack 最後不是空的 => 非法字串

例題（一）作法

由左到右把字元加到stack看看
遇到 '(' 就 push
遇到 ')' 就 pop
如果 pop 的時候發現 stack 空了 => 非法字串
如果 stack 最後不是空的 => 非法字串
其實甚至不需要 stack ！？

例題（二）

給定一個包含'('、')'、'+'、'-'的運算式，計算該運算式的答案。

（保證該運算式合法）

範例：

" ( 5 + 4 ) - 3 " 的答案是 6
" ( 1 + 2 ) - ( 7 + 3 ) " 的答案是 -7

#18

Hint

可以從後面做回來
用兩個 stack 比較好實作

例題（二）作法

兩個 stack，一個紀錄符號、一個紀錄數值
碰到 '(' 或結尾再做事！

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）作法

兩個 stack，一個紀錄符號、一個紀錄數值
碰到 '(' 或結尾再做事！

									5

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）作法

兩個 stack，一個紀錄符號、一個紀錄數值
碰到 '(' 或結尾再做事！

									+

									5

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）作法

兩個 stack，一個紀錄符號、一個紀錄數值
碰到 '(' 或結尾再做事！

								)	+

									5

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）作法

兩個 stack，一個紀錄符號、一個紀錄數值
碰到 '(' 或結尾再做事！

							)	)	+

									5

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）作法

兩個 stack，一個紀錄符號、一個紀錄數值
碰到 '(' 或結尾再做事！

							)	)	+

								2	5

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）作法

兩個 stack，一個紀錄符號、一個紀錄數值
碰到 '(' 或結尾再做事！

						+	)	)	+

								2	5

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）作法

兩個 stack，一個紀錄符號、一個紀錄數值
碰到 '(' 或結尾再做事！

						+	)	)	+

							3	2	5

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）作法

遇到 '(' 了，開始一路計算到直到碰到 ')'
每次把一個運算符號跟兩個數字取出，算完的結果丟回去

						+	)	)	+

							3	2	5

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）作法

遇到 '(' 了，開始一路計算到直到碰到 ')'
每次把一個運算符號跟兩個數字取出，算完的結果丟回去

								)	+

								5	5

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）作法

繼續做一樣的事情

							-	)	+

								5	5

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）作法

繼續做一樣的事情

							-	)	+

							2	5	5

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）作法

又碰到 '(' 了

							-	)	+

							2	5	5

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）作法

又碰到 '(' 了

									+

								-3	5

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）作法

繼續做一樣的事情

								-	+

								-3	5

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）作法

繼續做一樣的事情

								-	+

							11	-3	5

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）作法

碰到結尾

								-	+

							11	-3	5

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）作法

碰到結尾

									+

								14	5

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）作法

得到答案

									19

11 - ( 2 - ( 3 + 2 ) ) + 5

例題（二）

還有一個小問題...

數字不是個位數怎麼辦？

例題（二）實作細節

開一個變數紀錄目前的 digit 是10的幾次方，先處理好數字再丟進 stack 中
遇到 '(' 往前計算的時候不是只算一次，是一路到 ')' 並將其 pop 出來為止！

for (int i = str.size()-1; i >= 0; i--) { // 由後往前！
    if (str[i] >= '0' && str[i] <= '9') {
        num = num + k * (str[i] - '0');
        if (i-1 >= 0 && str[i-1] >= '0' && str[i-1] <= '9') {
            k = k * 10; // 如果下一位還是數字的話
        } else {
            stk_num.push(num);
            num = 0, k = 1;
        }
    } else if (str[i] == '+' || str[i] == '-' || str[i] == ')') {
        stk_sym.push(str[i]); // 遇到正常運算符號就 push 進 stack
    } else if (str[i] == '(') {
        calc(); // 遇到 '(' 就回推
    }
}
calc(); // 結尾回推
cout << stk_num.top() << '\n';

void calc() {
    int a = stk_num.top(), b;
    stk_num.pop();
    while (stk_sym.size() && stk_sym.top() != ')') {
        b = stk_num.top();
        stk_num.pop();
        if (stk_sym.top() == '+') {
            a = a + b;
        } else if (stk_sym.top() == '-') {
            a = a - b;
        }
        stk_sym.pop();
    }
    if (stk_sym.size()) stk_sym.pop();
    // 若並非結尾，則將 ')' pop 出來
    stk_num.push(a); // 將運算結果放回 stack 中
}

例題（三）

給你一張長條圖每個位置的高度，問你能畫出的最大矩形面積。

（\(N \leq 10^5\)，高度 \(\leq 10^9\) ）

範例：

2 3 4 3 1

8

5

#19

例題（三）

給你一張長條圖每個位置的高度，問你能畫出的最大矩形面積。

（\(N \leq 10^5\)，高度 \(\leq 10^9\) ）

範例：

2 3 4 3 1：最大面積為 9

9

例題（三）

給你一張長條圖每個位置的高度，問你能畫出的最大矩形面積。

（\(N \leq 10^5\)，高度 \(\leq 10^9\) ）

範例：

2 3 4 3 1：最大面積為 9

9

Hint

不知道從何下手的時候，可以先從複雜度較差的解開始想！

例題（三）直覺的作法

枚舉每段區間，然後看高度最高可以是多少

正確性？
複雜度？

例題（三）直覺的作法

枚舉每段區間，然後看高度最高可以是多少

正確性？應該不用懷疑吧
複雜度？\(O(N^3)\)
- 區間總共有 \(\frac{N(N+1)}{2}\) 個（why？
- 高度至多只能到最矮的那個 \(\Rightarrow\) 掃一遍區間找最小值