教學上機考第四題題解

不要笑←不要笑↓不要笑→

題目

兎田ぺこら的笑聲有各式各樣的方向(共8個方向)，但是總有個笑聲的規律，他想知道自己在特定長度的笑聲有幾種組法。

現在ぺこら想找你寫一隻程式，請你計算在時長為n的時候有幾種笑法。考慮到答案可能很大，故請將結果模1e9+7輸出。

笑聲規律：↗ ＋↘總共的數量為偶數，↑和↓的數量總和為奇數個

笑聲有八種方向

↗ ＋↘為偶數，↑＋↓為奇數

求滿足條件且排列長度為n的方法數

簡單來說

subtask1-2

1\le N\le 1e6

定義狀態

f(長度,↗ ＋↘為偶數,↑＋↓為奇數)

初始狀態

f(1,1,0)=4\\ f(1,1,1)=2\\ f(1,0,0)=2\\ f(1,0,1)=0\\

導出轉移

f(↗ ＋↘為偶數,↑＋↓為奇數)

f(1,1)=

f(0,1)=4f(0,1)+2f(1,0)+2f(0,0)

f(1,0)=

f(0,0)=4f(0,0)+2f(1,0)+2 f(0,1)

4f(1,1)

+2f(1,0)

+2f(0,1)

4f(1,0)

+2f(1,1)

+2f(0,0)

n-1

時間複雜度\Omicron(N)

subtask1-2

1\le N\le 1e6

50分

subtask3

1\le N\le 1e18

快速冪

x^n=x*x*x...\\時間複雜度\Omicron(n)

n為偶數

x^n=x^{\smash{n/2}}*x^{\smash{n/2}}

n為奇數

x^n=x*x^{\smash{n-1/2}}*x^{\smash{n-1/2}}

時間複雜度\Omicron(\log n)

矩陣乘法

\begin{bmatrix} f(n,1,1)\\ f(n,1,0) \\ f(n,0,1)\\ f(n,0,0)\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 2 \\ 2&0&4&2\\ 0&2&2&4\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(n-1,1,1)\\ f(n-1,1,0) \\ f(n-1,0,1)\\ f(n-1,0,0)\\ \end{bmatrix}\\

改寫遞迴式

矩陣快速冪

\begin{bmatrix} f(n,1,1)\\ f(n,1,0) \\ f(n,0,1)\\ f(n,0,0)\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 2 \\ 2&0&4&2\\ 0&2&2&4\\ \end{bmatrix}^{\smash{n-1}} \begin{bmatrix} 2\\ 4\\ 2\\ 0\\ \end{bmatrix}

教學上機考第四題題解

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