Adrien Durier PRO
Enseignant-Chercheur en informatique @ Université Paris-Saclay
Logique
Pour l'informatique
Adrien Durier
Miage CFA
2024-2025
Logique Propositionnelle
A \land B
Le ET logique
Logique Propositionnelle
A \land B
Menu avec plat et dessert
| A | B | A /\ B |
|---|---|---|
| Vrai | Vrai | Vrai |
| Vrai | Faux | Faux |
| Faux | Vrai | Faux |
| Faux | Faux | Faux |
Logique Propositionnelle
A \land B
Menu avec plat et dessert
| A | B | A /\ B |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Logique Propositionnelle
A \lor B
Le OU logique
Logique Propositionnelle
A \lor B
Menu avec fromage ou dessert?
| A | B | A \/ B |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Logique Propositionnelle
\neg A
Logique Propositionnelle
\neg A
Le Non
| A | A |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
\neg
Logique Propositionnelle
A \Rightarrow B
Logique Propositionnelle
A \Rightarrow B
L'implication
| A | B | A => B |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Logique Propositionnelle
A \Leftrightarrow B
Logique Propositionnelle
A \Leftrightarrow B
L'équivalence
| A | B | A <=> B |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Logique Propositionnelle
A \Leftrightarrow B
A \Leftrightarrow B \equiv (A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A)
'Les deux formules sont équivalentes'
Logique Propositionnelle
\top
- 'Top'
- 'True' (ou
true) - 'Vrai'
1enC/prog
Indifféremment :
Logique Propositionnelle
\bot
- 'Bot' / 'Bottom'
- 'False' (ou
false) - 'Faux'
0enC/prog
Indifféremment :
Logique Propositionnelle
A \oplus B
Le 'ou exclusif'
(Fromage OU Dessert!)
(En exercice)
Logique du 1er Ordre
\exists x, (buveur(x) \Rightarrow \forall y, buveur (y))
Paradoxe du buveur
C'est la logique du 1er ordre
Arbre de Syntaxe
Arbre de Syntaxe Abstrait
(d'une formule Arithmétique)
3
+
+
*
3
7
x
3+((3*x)+7)
Arbre de Syntaxe
Arbre de Syntaxe Abstrait
(d'une formule Logique)
A
B
\boldsymbol\bot
\boldsymbol\top
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow
Arbre de Syntaxe
Arbre de Syntaxe Abstrait
{A\Leftrightarrow ((\top\lor\bot) \Rightarrow B)}
A
B
\boldsymbol\bot
\boldsymbol\top
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow
Egalite Syntaxique
A
B
\boldsymbol\bot
\boldsymbol\top
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow
A
B
\boldsymbol\top
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow
A
B
\boldsymbol\bot
\boldsymbol\top
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow
=
= désigne l'égalité syntaxique
(et uniquement l'égalité syntaxique)
Egalite Syntaxique
= désigne l'égalité syntaxique
(et uniquement l'égalité syntaxique)
A
B
\boldsymbol\bot
\boldsymbol\top
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow
A
B
\boldsymbol\top
\boldsymbol\bot
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow
A
B
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow
\boldsymbol{\not =}
Equivalence Logique
désigne l'équivalence logique
(n'appartient pas à la syntaxe logique)
A
B
\boldsymbol\bot
\boldsymbol\top
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow
A
B
\boldsymbol\top
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow
A
B
\boldsymbol\bot
\boldsymbol\lor
\boldsymbol\Rightarrow
\boldsymbol\Leftrightarrow
\boldsymbol\equiv
\boldsymbol\equiv
Identité Remarquables
Lois de distributivité
(A \land B) \lor C \equiv (A\lor C) \land (B\lor C)
(A \lor B) \land C \equiv (A\land C) \lor (B\land C)
Lois d'associativité et de commutativité
(A \land B) \land C \equiv A\land (B\land C)
(A \lor B) \lor C \equiv A\lor (B\lor C)
A\land B\equiv B\land A
A\lor B\equiv B\lor A
Implication
(A \Rightarrow B) \equiv \neg A\lor B
Vrai et Faux
\top \land A\equiv A
\top \lor A\equiv \top
\bot \land A\equiv \bot
\bot \lor A\equiv A
Identité Remarquables
Lois de De Morgan
\neg (A\land B) \equiv \neg A \lor \neg B
\neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B
Lois de la logique 'Classique'
\neg \neg A \equiv A
A \lor \neg A \equiv \top
\neg A\equiv A\Rightarrow \bot
Négations (1er ordre)
\neg ( \exists x, A(x) )\equiv \forall x, \neg A(x)
\neg ( \forall x, A(x) )\equiv \exists x, \neg A(x)
'Curryfication'
A \Rightarrow (B \Rightarrow C) \equiv (A\land B) \Rightarrow C
Raisonnement "par l'absurde"
Tiers Exclu
Pourquoi la Logique?
Logique pour l'informatique: Introduction
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Logique pour l'informatique: Introduction
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