Introdução à Análise
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Fundação
- Lógica
- Técnicas de prova
- Conjuntos
-
Análise no
- Naturais
- Reais
- Limites
- Derivadas
\mathbb{R}^2
Fundação
- Lógica
- Quantificadores
- Técnicas de prova
Lógica
Componentes
- Sentenças e proposições
- Proposições compostas
- Conectores
2 + 2 = 4
dois mais dois é quatro
dois mais dois é quatro
2 + 2 = 4
Sentenças diferentes
Mesma proposição
~ (2 + 1 = 4)
2 + 1 = 4
2+2 = 4 \land 3+3 = 6
| p | q | p ^ q |
|---|---|---|
| true | true | true |
| true | false | false |
| false | true | false |
| false | false | false |
2+2 = 4 \land 3+2 = 6
Conectores
- Negação
- E
- Ou
- Se
- Se e somente se
Quantificadores
X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}
\exists x \in X , x > 2
Existe um x em X maior que 2
X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}
\exists x \in X , x > 2
X = \mathbb{N}
\forall x \in X, x \geq 1
Para todo x em X temos que x é maior que 1
X = \mathbb{N}
\forall x \in X, x \geq 1
X = \mathbb{N}
\forall x \in X, x \geq 1
p =
~p
?
Qual a negação de "para todo" ?
Todos os pontos são pretos
Todos os pontos são pretos
Existe 1 ponto não preto
\neg [\forall x \in X, f(x) \leq 5]
\exists x \in X, f(x) > 5
Conjuntos
A = Conjunto de pontos pretos
x
x \in A
x
x \notin A
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5\}
\mathbb{Z} = \{...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}
X = \{x \in N; x > 5\}
Os elementos gozam da propriedade "x é maior que 5"
Conjunto vazio
X = \emptyset
Propriedades
Reflexiva
Anti-Simétrica
Transitiva
A \subset A
A \subset B \ \text{e} \ B \subset A \Rightarrow A = B
A \subset B \ \text{e} \ B \subset C \Rightarrow A \subset C
Operações
Operações
- União
- Interseção
- Complemento
A \cup B = \{x; \ x \in A \ \text{ou} \ x \in B\}
A \cap B = \{x; \ x \in A \ \text{e} \ x \in B\}
A^{\complement} = U - A = \{x; \ x \notin A \}
A \cup \emptyset = A
A \cup A = A
A \cup B = B \cup A
(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)
A \cup B = A \Rightarrow B \cup A
A \subset B, \ A^{'} \subset B^{'} \Rightarrow A \cup A^{'} \subset B \cup B^{'}
A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
A \cap \emptyset = \emptyset
A \cap A = A
A \cap B = B \cap A
(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
A \cap B = A \Rightarrow B \subset A
A \subset B, \ A^{'} \subset B^{'} \Rightarrow A \cap A^{'} \subset B \cap B^{'}
A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
(A^{\complement})^{\complement} = A
A \subset B = \Longleftrightarrow B^{\complement} \subset A^{\complement}
A = \emptyset \Longleftrightarrow A^{\complement} = E
(A \cup B)^{\complement} = A^{\complement} \cap B^{\complement}
(A \cap B)^{\complement} = A^{\complement} \cup B^{\complement}
Funções
Componentes
- Domínio
- Contra-domínio
- Regra da função
f: A \mapsto B
Domínio
Contra-domínio
Regra que associada cada
em um único elemento
x \in A
f(x) \in B
Gráfico de f(x)
G(x) = \{(x,y) \in A \times B; y = f(x) \}
Injetiva
f(x) = f(y) \Rightarrow x = y
f: A \mapsto B
Sobrejetiva
\forall y \in B \ \ \exists x \in A \ \mid f(x) = y
f: A \mapsto B
Bijetiva
f: A \mapsto B
Injetiva + Sobrejetiva
f(X \cup Y) = f(X) \cup f(Y)
f(X \cap Y) \subset f(X) \cap f(Y)
X \subset Y \Rightarrow f(X) \subset f(Y)
f(\emptyset) = \emptyset
Inversa
f^{-1}: B \mapsto A
f^{-1}(Y) = \{ x \in A; \ f(x) \in Y\}
f^{-1}(Y \cup Z) = f^{-1}(Y) \cup f^{-1}(Z)
f^{-1}(Y \cap Z) = f^{-1}(Y) \cap f^{-1}(Z)
f^{-1}(Y^{\complement}) = (f^{-1}(Y))^{\complement}
f^{-1}(\emptyset) = \emptyset
Y \subset Z \Rightarrow f^{-1}(Y) \subset f^{-1}(Z)
f^{-1}(B) = A
Composição de funções
f: A \mapsto B
g: B \mapsto C
g \circ f: A \mapsto C
g \circ f: A \mapsto C
(g \circ f)(x) = g(f(x))
=
[(h \circ g) \circ f](x) = (h \circ g)(f(x))
Associatividade
= h[g(f(x))]
= h[(g \circ f)(x)]
= [h \circ (g \circ f)](x)
f: A \mapsto B
g: B \mapsto C
Se f e g são injetivas também é injetiva
g \circ f: A \mapsto C
Também, a composta de funções sobrejetivas é sobrejetiva e a composição de bijeções é uma bijeção
f: A \mapsto B
Qualquer função pode ser escrita como composta de uma função injetiva h com uma função sobrejetiva. Basta tomar definida por , e a inclusão
f = h \circ f_{1}
f_{1}: A \mapsto f(A)
f_{1} = f(x)
h: f(A) \mapsto B
Introdução à Análise
By Felipe Cruz
