Sparse Table

RMQ

給定一個數列，詢問區間的最小值是多少。

顯然暴力法預處理的複雜度是，查詢的複雜度是

A

A

A[i ,\ j]

A[i ,\ j]

O(1)

O(1)

O(n)

O(n)

	2	0	1	6	9	4	8	7
2	0	0	1	6	4	4	7
4	0	0	1	4	4
8	0

想法是欲處理的時候建立一個二維陣列，其中表示數列第到的最小值

D

D

D_{i, j}

D_{i, j}

i

i

i+2^{j}

i+2^{j}

D_{i+1, j}=min\{D_{i, j},D_{i,j+2^{i}} \}

D_{i+1, j}=min\{D_{i, j},D_{i,j+2^{i}} \}

預處理複雜度

O(nlogn)

O(nlogn)

查詢，先求

[l, r]

[l, r]

p=\lfloor log_{2}(l-r+1)\rfloor

p=\lfloor log_{2}(l-r+1)\rfloor

於是答案是

min\{D_{p,l},D_{p,r-2^{p}}\}

min\{D_{p,l},D_{p,r-2^{p}}\}

複雜度

O(1)

O(1)

BIT

動態前綴和

給一個數列，要求可以修改至

或詢問的值

A

A

A_i

A_i

A_i+k

A_i+k

\sum\limits_{i=l}^{r}A_{i}

\sum\limits_{i=l}^{r}A_{i}

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By hfy880916

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