組合賽局

北一女中鄭允臻

自我介紹

北一女中高三
各個OJ handle：hhhhaura (可能有4~20個h)
因為之前欠8e7人情，所以今天來還債
裝弱是強者的特權

WARNING！

內容98.87%抄襲IOICamp的講義
可能偏簡單，但是還是給我一點面子吧

今天希望你能夠學會

關於組合賽局的大小事

標準無偏無環賽局

（NIM、MEX principle、Sprague-Grundy）

標準無偏有環賽局

組合賽局基本介紹

PART ONE

什麼是組合賽局？

賽局理論的一個分支
兩位玩家對戰，雙方輪流操作
資訊完全公開
操作與結果具有決定性（不含隨機成份）
結果：輸/贏/平手

Game Graph

DAG ➡ 動態規劃

組合賽局分類

依結構分類
依玩法分類

依結構分類

玩家合法操作異同	有偏（Partial）	無偏（Impartial）
是否有限步內結束	無環（Loopfree）	有環（Loopy）

互為補集

依玩法分類

標準（Normal）：輪到該回合時，無法操作者輸
匱乏（Misère）：輪到該回合時，無法操作者贏

並沒有構成所有賽局！

競程裡面遇到的賽局

八成以上都是標準無偏無環賽局！

策梅洛定理

對於一個組合賽局：

先手有必勝策略
後手有必勝策略
雙方皆有必勝策略

考慮無環賽局

標準無環賽局無平手
匱乏無環賽局無平手

將遊戲規則壓縮進狀態

關於有偏賽局的Game Graph

在節點上多一個維度！

(0, A)

(1, B)

(1, A)

(0, C)

(1, D)

(0, E)

是DAG的話又可以DP了？

關於匱乏賽局的Game Graph

把原圖上的終點再連出去一個虛點！

虛

是DAG的話又可以DP了？

欸？那幹麻要分那麼多類！

不是就多定義一個維度轉換成圖就好了嗎？

標準無偏無環賽局1

PART TWO

賽局和、型別、等價賽局

The Subtraction Game

有N顆石頭，兩人輪流拿，每次可以拿走1 ~ 3顆，拿到最後一顆的一方贏。

請問先手還後手必勝？

1 \leq N \leq 10^{18}

無偏：每個人的操作相同
無環：石頭必定在有限次數拿完

怎麼做？

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8
S(x)	-1	+1	+1	+1	-1	+1	+1	+1	-1

有規律！

怎麼做？

S(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} -1, & & x \ mod \ 4 \ = \ 0\\ +1, & & otherwise\\ \end{array} \right.

S(x) = 1 時：

讓輪到對方時剩下4k顆石頭

賽局合

G1 + G2
每次選其中一個賽局操作
eg. 西洋棋 + 象棋

當遊戲規則壓縮遇到賽局合

以有偏賽局為例：

兩個賽局 → （A, B, 0/1）
三個賽局 → （A, B, C, 0/ 1）
N個賽局 → （A, B, C, ....., 0/ 1）

太複雜了吧？！

因此才要把賽局分類探討

（無偏無環）型別

N（Next player win）先手獲勝
P（Previous player win）後手獲勝

如果一個賽局盤面可以轉移到型別為P的盤面，代表他的型別是N；反之，如果他只可以轉移到型別為N的盤面，代表他的型別是P。

等價賽局

給定兩個賽局 $G_{1}$ , $G_{2}$ ，如果對於任意賽局 $H$ ， $G_{1} + H$ 與 $G_{2} + H$ 的型別皆相同，那麼我們稱這兩個賽局等價 $G_{1} = G 2$ 。

不要求兩個賽局可以轉移到的賽局必須等價
所有賽局都可以轉換成任一等價賽局

若 $G_{2}$ 的型別是 $P$ ，那麼 $G_{1} + G 2 = G1$

若是本來在 $G_{1}$ 有優勢的玩家，看見對方去玩了 $G_{2}$ ，此時就可以作為後手去玩 $G_{2}$ ，這樣一來， $G_{1}$ 的優勢玩家能夠保持優勢，也就是 $G_{2}$ 並不影響賽局和的型別。

若 $G_{1}$ 、 $G_{2}$ 都是 $P$ ，則 $G_{1} = G2$

對於任何一個賽局 $H$ 都有 $H + G 1 = H = H + G 2$ （上一個定理），因此判斷 $G_{1} = G 2$ 。

這也說明了所有型別為 $P$

的賽局都是同一種賽局，以 $0$ 表示，稱為零賽局。

標準無偏無環賽局2

PART THREE

酷酷定理：NIM、SG Theorem

NIM game

有 $N$ 堆石頭，分別是 $a_{1}, a 2, . . ., a N$ 顆，兩人輪流拿，每次可以從其中一堆拿走任意堆但是至少一顆石頭，無法拿的人就輸了，請問先手必勝還是後手必勝。

N\leq 10^5, a_i\leq 10^9

好像很難...

特徵值

X=a_1\oplus a_2 \oplus...\oplus a_N

Bouton's Theorem

此遊戲先手必勝（型別N），若且唯若X ≠ 0。同理，此遊戲後手必勝（型別P），若且唯若X = 0。

為什麼？

若能說明以下兩件事，則可證明此定理：

X=0的狀態無法走到其他 $X = 0$ 的狀態，且對於結束局面， $X = 0$
$X \neq 0 的狀態必定可以走到一個 X = 0 的狀態。$

X=0的狀態無法走到其他 $X = 0$ 的狀態，且對於結束局面， $X = 0$

後半部：trivial

前半部：

X' = X \oplus a_i \oplus (a_i - k) = 0 \oplus (a_i \oplus (a_i - k)) \neq 0

$X \neq 0的狀態必定可以走到一個 X = 0 的狀態。$

目前特徵值為 $X$ 的最高 $b i t$ 為 $b$

則必定有至少一個 $a_{i}$ 有 $b$ 以上的 $b i t$

因此將 $a_{i} \oplus X$ 必定符合 $a_{i}^{'} < a i$

而在此合法操作底下 $X^{'} = X \oplus a i \oplus (a_{i} \oplus X) = 0$

故得證。

NIM sum

特徵值為X的Nim遊戲G，等價於僅有一堆數量為X的Nim遊戲H

H + H = 0, G + H = 0\\ G = G + (H + H) = (G + H) + H = H\\ why

Chose NIM

MEX principle

Sprague-Grundy Theorem

標準無偏有環賽局

PART FOUR

來看看

PART FOUR

匱乏賽局

PART FIVE

一些題目們

APPENDIX

TIOJ 2109 圈圈沒有叉叉

ABC 209 E-Shiritori

Minimal

By hhhhaura