Enhetscirkeln

Enhetscirkeln:

En cirkel med radie 1 och mittpunkt i origo.

Ekvation:

$x^2+y^2=1$

Vinkel $v$ :

Vinkeln som bildas mellan den positiva $x$ -axeln och en linje från origo till en given punkt på cirkelns rand.

$\sin(v)$ och $\cos(v)$ :

Definieras genom $x$ och $y$ koordinaterna.

$\sin (v)$ och $\cos (v)$ :

Definieras genom $x$ och $y$ koordinaterna.

$\cos (v) = x$

$\sin (v) = y$

Exempel:

avläs grafiskt:

a) $\cos(30^o)$

b) $\sin(30^o)$

och jämför med miniräknarens svar.

$\sin (v)$ och $\cos (v)$ :

Definieras genom $x$ och $y$ koordinaterna.

$\cos (v) = x$

$\sin (v) = y$

För vinklar $0^o \leq v \leq 90^o$ stämmer den nya definitionen överens med den för en rätvinklig triangel.

$\cos (v) = \frac{\text{närliggande}}{\text{hypotenusan}}=\frac{x}{1}=x$

$\sin(v) = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenusan}}=\frac{y}{1} = y$

Exempel:

En rätvinklig triangel har hypotenusan 1, och motstående katet 0.4.

Bestäm vinkeln $v$ .

dvs: Lös ekvationen $\sin(v) = 0.4$

Använd enhetscirkeln för grafisk lösning.

Exempel:

En rätvinklig triangel har hypotenusan 1, och motstående katet 0.4.

Bestäm vinkeln $v$ .

dvs: Lös ekvationen $\sin(v)=0.4$

Använd miniräknare för numerisk lösning.

Miniräknaren ger ett svar för en vinkel (den som ligger i intervallet $0^o\leq v\leq 90^o$ ).

Men med enhetscirkeln har vi nu en definition för vinklar mellan $0^o\leq v\leq 360^o$ .

TVÅ LÖSNINGAR:

$v_1\approx 23.6^o$

$v_2\approx 156.4^o$

$\sin(v)=0.4$

Miniräknaren ger ett svar för en vinkel (den som ligger i intervallet $0^o\leq v\leq 90^o$ ).

Men med enhetscirkeln har vi nu en definition för vinklar mellan $0^o\leq v\leq 360^o$ .

TVÅ LÖSNINGAR:

$v_1\approx 66.4^o$

$v_2\approx 293.6^o$

$\cos(v)=0.4$

Skärningspunkterna mellan enhetscirkeln och linjen $y = a$ .

Om $(x,y)$ är en lösning så är även $(-x,y)$ en lösning.

TVÅ LÖSNINGAR:

$v_1\approx v$

$v_2\approx 180^o-v$

$\sin(v)=a$

$\sin(v)=a=\sin(180^o-v)$

miniräknarlösning

Skärningspunkterna mellan enhetscirkeln och linjen $y = a$ .

Om $(x,y)$ är en lösning så är även $(x,-y)$ en lösning.

TVÅ LÖSNINGAR:

$v_1\approx v$

$v_2\approx 360^o-v$

$\cos(v)=a$

$\cos(v)=a=\cos(360^o-v)$

miniräknarlösning

Testa själva:

Använd miniräknare och symmetriegenskaper för att hitta samtliga lösningar till ekvationen:

a) $\sin(v)=0.8$

b) $\cos(v)=0.8$

Mer komplexa trigonometriska ekvationer

Undersök hur $\sin(2v)$ uppför sig i intervallet $0^\circ \leq v \leq 360^\circ$ .

Då $v=180^\circ$ , dvs ett halvt varv så är $2v=360^\circ$ , dvs ett helt varv.

Då $v=360^\circ$ , dvs ett helt varv så är $2v=720^\circ$ , dvs två hela varv.

Vad betyder detta för lösningarna till ekvationer av formen $\sin(2v)=a$ ?

Hur många lösningar har t.ex. $\sin(2v)=0.7$

I intervallet $0^\circ \leq v \leq 180^\circ$ ?
I intervallet $0^\circ \leq v \leq 360^\circ$ ?

Algebraiskt

Vad betyder detta för lösningarna till ekvationer av formen $\cos(2v)=a$ ?

Hur många lösningar har t.ex. $\cos(2v)=0.7$

I intervallet $0^\circ \leq v \leq 180^\circ$ ?
I intervallet $0^\circ \leq v \leq 360^\circ$ ?

Rekommenderade uppgifter:

4132, 4134, 4135-37

Enhetscirkeln

Enhetscirkeln

More from Jens Michelsen