Enhetscirkeln
Enhetscirkeln:
En cirkel med radie 1 och mittpunkt i origo.
Ekvation:
\( x^2+y^2=1\)
Vinkel \(v\):
Vinkeln som bildas mellan den positiva \(x\)-axeln och en linje från origo till en given punkt på cirkelns rand.
\(\sin(v)\) och \(\cos(v)\):
Definieras genom \(x\) och \(y\) koordinaterna.
\(\sin (v)\) och \(\cos (v)\):
Definieras genom \(x\) och \(y\) koordinaterna.
\(\cos (v) = x\)
\(\sin (v) = y\)
Exempel:
avläs grafiskt:
a) \(\cos(30^o)\)
b) \(\sin(30^o)\)
och jämför med miniräknarens svar.
\(\sin (v)\) och \(\cos (v)\):
Definieras genom \(x\) och \(y\) koordinaterna.
\(\cos (v) = x\)
\(\sin (v) = y\)
För vinklar \( 0^o \leq v \leq 90^o\) stämmer den nya definitionen överens med den för en rätvinklig triangel.
\(\cos (v) = \frac{\text{närliggande}}{\text{hypotenusan}}=\frac{x}{1}=x\)
\(\sin(v) = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenusan}}=\frac{y}{1} = y\)
Exempel:
En rätvinklig triangel har hypotenusan 1, och motstående katet 0.4.
Bestäm vinkeln \(v\).
dvs: Lös ekvationen \(\sin(v) = 0.4\)
Använd enhetscirkeln för grafisk lösning.
Exempel:
En rätvinklig triangel har hypotenusan 1, och motstående katet 0.4.
Bestäm vinkeln \(v\).
dvs: Lös ekvationen \(\sin(v)=0.4\)
Använd miniräknare för numerisk lösning.
Miniräknaren ger ett svar för en vinkel (den som ligger i intervallet \(0^o\leq v\leq 90^o\) ).
Men med enhetscirkeln har vi nu en definition för vinklar mellan \(0^o\leq v\leq 360^o\).
TVÅ LÖSNINGAR:
\(v_1\approx 23.6^o\)
\(v_2\approx 156.4^o\)
\(\sin(v)=0.4\)
Miniräknaren ger ett svar för en vinkel (den som ligger i intervallet \(0^o\leq v\leq 90^o\) ).
Men med enhetscirkeln har vi nu en definition för vinklar mellan \(0^o\leq v\leq 360^o\).
TVÅ LÖSNINGAR:
\(v_1\approx 66.4^o\)
\(v_2\approx 293.6^o\)
\(\cos(v)=0.4\)
Skärningspunkterna mellan enhetscirkeln och linjen \(y = a\).
Om \( (x,y)\) är en lösning så är även \( (-x,y)\) en lösning.
TVÅ LÖSNINGAR:
\(v_1\approx v\)
\(v_2\approx 180^o-v\)
\(\sin(v)=a\)
\(\sin(v)=a=\sin(180^o-v)\)
miniräknarlösning
Skärningspunkterna mellan enhetscirkeln och linjen \(y = a\).
Om \( (x,y)\) är en lösning så är även \( (x,-y)\) en lösning.
TVÅ LÖSNINGAR:
\(v_1\approx v\)
\(v_2\approx 360^o-v\)
\(\cos(v)=a\)
\(\cos(v)=a=\cos(360^o-v)\)
miniräknarlösning
Testa själva:
Använd miniräknare och symmetriegenskaper för att hitta samtliga lösningar till ekvationen:
a) \(\sin(v)=0.8\)
b) \(\cos(v)=0.8\)
Mer komplexa trigonometriska ekvationer
Undersök hur \(\sin(2v)\) uppför sig i intervallet \(0^\circ \leq v \leq 360^\circ\).
Då \( v=180^\circ\), dvs ett halvt varv så är \(2v=360^\circ\), dvs ett helt varv.
Då \( v=360^\circ\), dvs ett helt varv så är \(2v=720^\circ\), dvs två hela varv.
Vad betyder detta för lösningarna till ekvationer av formen \(\sin(2v)=a\)?
Hur många lösningar har t.ex. \(\sin(2v)=0.7\)
- I intervallet \(0^\circ \leq v \leq 180^\circ\)?
- I intervallet \(0^\circ \leq v \leq 360^\circ\)?
Algebraiskt
Vad betyder detta för lösningarna till ekvationer av formen \(\cos(2v)=a\)?
Hur många lösningar har t.ex. \(\cos(2v)=0.7\)
- I intervallet \(0^\circ \leq v \leq 180^\circ\)?
- I intervallet \(0^\circ \leq v \leq 360^\circ\)?
Algebraiskt
Rekommenderade uppgifter:
4132, 4134, 4135-37
Enhetscirkeln
By Jens Michelsen
Enhetscirkeln
- 353
