Repetition Integraler

Uppgift från gammalt NP

Integral genom Riemann-summa

Definition:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x$$

där $x_i$ är $x$-värden placerade med jämnt mellanrum $x_{i+1}-x_i=\Delta x$, och $\sum_{a}^{b}$ är en summa över sådana $x$-värden mellan $a$ och $b$. 

Integral genom Riemann-summa

Definition:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x$$

Integral genom Riemann-summa

Definition:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x$$

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$$

Integral genom Riemann-summa

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$$

Vad är $v(t_i)\Delta t$?

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$$

Vad är $v(t_i)\Delta t$?

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$$

Vad är $\displaystyle \sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$?

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$$

Vad är $\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t$?

Integral genom Riemann-summa

Exempel från fysiken:

$$\int_{a}^{b}v(t)dt = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}v(t_i)\Delta t = s(b)-s(a)$$

Vid gränsvärdet då tidsintervallet $\Delta t$ går mot $0$ så blir uppskattningen exakt.

Dvs. Integralen ger den totala förflyttningen under tidsintervallet $t=a$ till $t=b$.

Integral genom Riemann-summa

Integralkalkylens fundamentalsats:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{a}^{b}f(x_i)\Delta x = F(b)-F(a)$$

Vid gränsvärdet då steglängden $\Delta x$ går mot $0$ så blir uppskattningen exakt.

Integral genom Riemann-summa

Olika typer av Riemann-summor

Övning 1

Fabian springer marathon. Han har en smartwatch som med jämna tidsintervall uppdaterar vilken hastighet han håller och lägger ut det på nätet. Tabellen till höger visar hans hastigheter:

Övning 2

En kopp kaffe har temperaturen 90 °C och ställs i ett rum med temperaturen 20 °C.

Temperaturen förändras med hastigheten $-7e^{-0.1t}$ °C/min.

Vilken temperatur har koppen efter 10 min?

Övning 3

Rymdstationen ISS befinner sig i snitt 420 km ovanför jordytan. Beräkna det arbete som krävs för att lyfta en astronaut på 86 kg från jordytan till ISS.