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處理有多筆詢問的問題的時候

• 在線：對每個詢問分別處理，詢問之間沒有任何關聯

• 離線：先讀入所有詢問，可以透過排序詢問等方法在不同詢問之間取得共同的資訊

有一種問題長這樣...

給你一個長度為$n$的整數序列，有$Q$筆詢問，每次詢問區間$[l, r]$的某種東西（數量/最大最小值...）

• 看到$n$沒有到超級無敵大的時候($\leq 10^5$)
• 想要用奇怪資料結構做卻沒有辦法/不會的時候...
• 想要唬爛的時候

莫隊（Mo's Algorithm）是什麼

假設我已知$[l, r]$的答案，能夠快速求出$[l, r + 1], [l, r - 1], [l + 1, r], [l - 1, r]$的答案的時候

我們的目標

找到一種處理詢問的順序，使得各詢問之間的總移動量最少。

做法：對詢問分塊！

分塊想法

假設每塊大小為 $k$

1. 先將詢問依照左界分組

2. 把每塊內的詢問按照右界排序
3. 沒了

具體會發生什麼事

在每一組裡面，右界會遞增，左界則會在大小為$k$的範圍內亂跳。

也就是說，假設有$x$個東西在同一組，則總移動量為

$O(kx + n)$

那這樣的複雜度分析是多少？

複雜度分析

假設移動一次需要$O(m)$的時間，則

分塊的時間是$O(q)$

排序的總時間是$O(qlogq)$

每塊處理移動$O((kx + n)*m), \sum x = q$

兩塊之間的移動$O(nm)$

總共有$O(n / k)$塊

所以總複雜度為 $O(qlogq + (n^2/ k + qk)m)$

算幾又來啦

由算幾不等式可得$n^2/k + qk \geq 2\sqrt {n^2q}$

故當$n^2/k = qk \rightarrow k \approx \sqrt{n}$時

$n^2/k + qk$的最小值為$O((n + q)\sqrt{n})$

所以最佳總複雜度為 $O(qlogq + (n + q)\sqrt{n}\cdot m)$

註：在這裡我們假設$n \approx q$

這樣好像就能好好做了？

回到莫隊的使用時機...

「假設我已知$[l, r]$的答案，能夠快速求出$[l, r + 1], [l, r - 1], [l + 1, r], [l - 1, r]$的答案的時候」

也就是說，要對一個題目使用莫隊，必須先找出方法快速移動一個區間的答案

來看看例題

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/2122

給你一個長度為$n$的序列，有$q$筆詢問$[l, r]$，求$[l, r]$區間眾數出現的次數

$n, q \leq 10^5, 0 <a_i \leq 10^5$

對於一個區間，我要存下什麼資訊？

當我移動一格的時候，這個資訊又會怎麼改變？

當我要移動的時候...

設 $a[i]$代表 數字 $i$出現的次數，

$b[i]$代表有幾種數字在目前的區間出現$i$次。

則：

移除一個 $1$的時候：

• $b[2]--$
• $a[1]--$
• $b[1]++$

最後紀錄答案

另外紀錄一個變數代表「目前最大的$x$，使$b[x] > 0$」

因為每次新增/減少一個東西時，$x$至多改變一，所以可在$O(1)$之內進行莫隊的「移動」

由前面的複雜度分析可得知，時間複雜度為

$O(qlogq + (n + q)\sqrt{n})$

實作時間！

實作這題的時候要注意一些細節：

• 詢問的排序：要在每筆詢問額外紀錄他的$id$，最後按照順序輸出
• 移動的順序：在移動時必須保證左界$\leq$右界，所以應該先讓左界往左/右界往右，再讓左界往右/右界往左

附上code: https://pastebin.com/T0V5vvTf

其他例題

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1694

區間逆序數對數，$n \leq 23000, q \leq 2\times10^5$

Hint:按我獲取提示

搭配資料結構，考慮新增一個數字時會多形成多少對逆序數對

植物大戰殭屍 2

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1922

區間詢問：如果$a_i$出現$k$次，則會獲得價值$a_i \times k^2$，求每個區間的價值和

Hint: 

當$a_i$的個數增加一的時候，價值會如何增加？

XOR and Favorite Number

https://codeforces.com/contest/617/problem/E

給你一個數列$a_i$和數字$k$，每次詢問一個區間有多少個子區間 xor 起來是 $k$

$n, q \leq 10^5, 0 \leq a_i, k \leq 10^6$

Hint: 

子區間xor -> 前綴xor

增加一個$a_i$時，只有一種數字和他xor起來是$k$

大家有聽過二分搜吧？

正常二分搜的時候，可以把拿來二分搜的東西想成一個區間，每次查詢答案是在區間的左半還是右半，然後更新區間走下去。

那假設我要一次搜很多的詢問呢？

整體二分搜：

1. 將區間切成兩半

2. 對每個詢問+元素看要去左半還是右半
3. 遞迴下去做

原因：可以改變詢問順序，一次處理多筆詢問

直接看例題：Coding Days

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1840

給你一個序列，支援三種操作：

1. 查詢 $[l, r]$第 $k$小的值

2. 改變一個元素的值​

3. 輸出 7122

$n \leq 50000, q \leq 10000$

這是什麼鬼

先考慮靜態（沒有第二種操作）的版本

看看有沒有方法用二分搜在 $O(n\log C)$之內找到答案

對答案二分搜吧

當前有個答案的可能區間$[l, r)$，每次檢查$mid = (l + r) / 2$，看有幾個數字小於等於他

如果個數大於$k$，則答案在$[l, mid)$，否則在$[mid, r)$

這裡遞迴下去的時候，注意到每個數字也能被分到左邊右邊

（如果答案大於$mid$，只需算$mid \leq a_i < r$的數字)

一筆詢問時，這樣複雜度不變：$O(n\log C)$

但是多筆詢問呢？

全部一起二分搜

目前有一個序列，每筆詢問有$l, r, k$，現在要對每筆詢問看他的答案是否小於$mid$

對位置維護一個 BIT，如果$a_i \leq mid$就把位置 $i$增加一，這樣即可在$O(\log n)$的時間內查詢在一個區間$\leq mid$的個數

這樣就可以將每個詢問分成兩邊，且依照每個$a_i$也分成兩邊

那修改怎麼辦啊www

把修改也當成一種詢問！

處理詢問時維持原本的詢問順序。把「將$x$改為$y$」看成「刪掉一個$x$，加上一個$y$」，同樣能用BIT好好做。

而且這樣的話一個修改操作也可以被分到不同的兩塊！

時間複雜度是多少？

每一層的遞迴中，所有詢問，所有元素皆只出現一次，而每次處理需要$O((n + q) \log n)$的時間，至多有$O(\log C)$層

總複雜度 $O((n + q) \log n \log C)$

澂逝嘜

例題：王老先生

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1919

這題滿分解需要用到我們還沒教過的東西

大家可以先想想第三個Subtask （$a_i$相異）怎麼做

Hint: 

對天數（答案）整體二分

對每筆詢問紀錄他還距離目標還有多遠

還記得分治嗎？

操作分治！

回顧分治

假設處理好（遞迴）前半操作對前半詢問的影響，

後半操作對後半詢問的影響，

那麼我們只剩下前半操作對後半詢問的影響了！

紅對紅，綠對綠都已做完

只剩下紅對綠

用修改與查詢看逆序數對

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1080

把一個數字$a_i$看成：

• 詢問比$a_i$小的數字有幾個
• 新增一個$a_i$

此時，我們能在$O(n)$內找到左半數字對右半查詢的影響

中國競程圈流傳著一個名言...

CDQ 分治可以解決高維偏序問題

可怕的來了

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1771

給你一個數列，有$m$次操作。

每次給一個$x$，把所有為$x$的數字都刪除。

請輸出每次操作後的逆序數對數。

先將問題抽象化

套上CDQ分治

對$index$，也就是$i < j$的維度做分治。

每次把當前的序列切成左右兩半，遞迴處理好各自的答案後，只需要處理左邊和右邊之間的點對就好。

左邊

$i$

$a_i$

$t_i$

右邊

$j$

$a_j$

$t_j$

左邊

$j$

$a_j$

$t_j$

右邊

$i$

$a_i$

$t_i$

或是

套上CDQ分治

對時間開一個BIT

用merge sort 的方式，對於一個$a_i$，所有小於他的$a_j$全部都被用$t_j$丟到BIT裡面，再查詢當前比$t_i$小的元素有幾個，就可以去更新第$i$項的答案

這樣的總複雜度就是$O(n {log}^2 n)$

左邊

$i$

$a_i$

$t_i$

右邊

$j$

$a_j$

$t_j$

例題：

No Judge: 給你一個二維平面，處理兩種操作

1. 在$x_i, y_i$的點上加入權重$w_i$
2. 詢問以$0, 0$為左下角，$x_i, y_i$為右上角的矩形所覆蓋的權重和

$q \leq 10^5, 0 \leq x_i, y_i \leq 10^9$

Hint: 

只考慮前半對後半的影響的話

你就可以把詢問和修改的一個維度($x_i$或$y_i$)排序然後用merge sort做