還記得DP在幹嘛ㄇ

撿石子遊戲

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1924

給你一個由 P, E, C 組成的陣列，要將陣列分成三段連續的區間，且每段各派給 P, E, C三人。一個人拿到的分數是他的區間裡面跟他一樣的元素個數。求最大得分。

$n\leq 2*10^6$

小小補充

DP 的順序

在做DP 的時候，必須找到一種順序，使得

一個狀態的所有轉移來源都已經被算過。

有時候，改變一下轉移順序會讓你對問題有新的觀點！

DP 的轉移方式

Top-Down: 從目前算好的狀態去更新後面的狀態

Bottom-Up: 遇到現在的狀態，看他是從哪裡轉移過來的

DP 的轉移方式：

pros and cons

Top-Down:

優點：好做，有時候會比較快（BFS）

缺點：在某些狀況下不能用 (DP 優化）

Bottom-Up:

優點：大部分時間都能使用，用數學觀點了解DP

缺點：有時候比較難寫（但其實我覺得還好）

經典問題

LIS：最長遞增子序列

給你一個序列 $a$ ，求最長的遞增子序列長度。

（子序列：選一些序列內的元素形成新的序列，這些元素在新序列的順序不變）

$n \leq 10^5, a_i \leq 10^9$

令 $dp[i]$ 代表以第 $i$ 個元素結尾的LIS長度

轉移： $dp[i] = max_{j < i, a_j < a_i} dp[j] + 1$

答案： $\max dp[i]$

這樣只能 $O(n^2)$ ?

方法一：資料結構

先對數字做值域壓縮，使得 $1 \leq a_i \leq n$

對值域維護一個 BIT，儲存該數值大小目前最大的 $dp$ 值

在 modify 的時候，把平常用BIT的加法改成取 max 的運算

原本 dp 轉移可以看成一種前綴 max，在 $O(\log n)$ 取得

#include <iostream>
#define maxn 100005
using namespace std;
int bit[maxn], a[maxn];
void modify(int ind, int val) {
	for (;ind < maxn;ind += ind & (-ind)) bit[ind] = max(bit[ind], val);
}
int query(int ind) {
	int ret = 0;
	for (;ind > 0;ind -= ind & (-ind)) ret = max(ret, bit[ind]);
	return ret;
}
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 0;i < n;i++) cin >> a[i];
	//已經離散化了
	int ans = 0;
	for (int i = 0;i < n;i++) {
		int dp = query(a[i] - 1);
		ans = max(ans, dp);
		modify(a[i], dp);
	}
	cout << ans << endl;
}

方法二：換個觀點

假設我有一個陣列 $v$ ，使得 $v_i$ 代表長度為 $i$ 的遞增子序列的最後一個數字中最小可以是多少，那可以怎麼維護？

1

5

3

4

8

2

3

5

6

1

5

3

4

8

2

3

5

6

陣列保證必然存在「當前陣列長度」的LIS!

實作：用lower_bound

lower_bound: 回傳第一個 $\geq x$ 的數字的位置

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    int a[n];
    for (int i = 0;i < n;i++) cin >> a[i];
    vector<int> v;
    for (int i = 0;i < n;i++) {
        int ind = lower_bound(v.begin(), v.end(), a[i]) - v.begin();
        if (ind == v.size()) {
            v.push_back(a[i]);
        } else {
            v[ind] = a[i];
        }
    }
    cout << v.size() << endl;
}

LCS: 最長共同子序列

(Longest Common Subsequence）

給你兩個序列 $a, b$ ，在 $a, b$ 中分別找出一個長度為 $x$ 的子序列 $a', b'$ ，使得兩個子序列相同。

請找出符合上述條件中最大的 $x$

$\vert a \vert, \vert b \vert \leq 3000$

可以這樣想這題

在兩個字串中間放入任意多個「空白」字元，使得字串之間盡量多個字元對應到。（最佳配對）

ex. abaabcc 和 badcbcac

a	b	a	a	-	b	c	-	c
-	b	a	d	c	b	c	a	c

假設位置相同、字元一樣得 1 分，求得分最大值

那這題的「重複子結構」是什麼？

考慮已經做完了 $a$ 的前 $i$ 個字元，做完 $b$ 的前 $j$ 個字元的最佳配對。令這個狀態的最大得分為 $dp[i][j]$ ，則它可以從三種地方轉移：

從 $dp[i][j - 1]$ 新增了 $b[j]$ 並在 $a$ 填上一個空白
從 $dp[i - 1][j]$ 新增了 $a[i]$ 並在 $b$ 填上一個空白
從 $dp[i - 1][j - 1]$ 把 $a[i], b[j]$ 配對

dp[i][j] = \max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], \\ dp[i - 1][j - 1] + (1 \ \ if \ \ a_i == b_j))

dp[i][j] = \max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], \\ dp[i - 1][j - 1] + (1 \ \ if \ \ a_i == b_j))

	a	b	a	a
b	0	1	1	1
a	1
d
c
b
c
a
c

1

2

1

2

Edit Distance: 編輯距離

給你起始字串 $a$ 和目標字串 $b$ ，你每一秒可以做三種操作：

選擇 $a$ 的任意一個位置插入任意字元
刪除 $a$ 的一個字元
將 $a$ 的某一字元替換

求最少可以在幾秒內將 $a$ 變成 $b$

$\vert a \vert, \vert b \vert \leq 3000$

跟 LCS 是不是有點像？

用「配對」的觀點想想看

每多一個空白就是多一秒，同位置不相同的兩個字元也要花一秒修改。

空白 -> 插入、刪除操作 (Insert, Delete)

同位置不相同的兩個字元 -> 失配 (mismatch)

DP 方法相同！


	當前狀態

dp[i][j]

dp[i][j]

$a$ 的方向

$b$ 的方向

刪除

插入

a_i = b_j

a_i = b_j

a_i \neq b_j

a_i \neq b_j

配對

失配

Where your code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int main() {
	string a, b;
	getline(cin, a);
	getline(cin, b);
	int dp[2][1005 + 1];
	for (int i = 0; i < b.size() + 1;i++) {
		dp[0][i] = i;
		dp[1][i] = i;
	}
	for (int i = 1; i <= a.size();i++) {
		dp[1][0] = dp[0][0] + 1;
		for (int j =1; j <= b.size();j++) {
			if (a[i - 1] == b[j - 1]) {
				dp[1][j] = dp[0][j - 1];
			} else {
				dp[1][j] = min(min(dp[0][j], dp[1][j - 1]), dp[0][j - 1]) + 1;
			}
		}
		for (int j = 0; j < b.size() + 1; j++) dp[0][j] = dp[1][j];
	}
	cout << dp[1][b.size()] << endl;
}

二維DP 的空間壓縮：滾動！

你有聽過滾動DP嗎？

假設這一排的狀態只有用到

這一排跟上一排的話...

Code Time!

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1175

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1385

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/2010

（要做請搜尋 "Hirschberg's Algorithm")

如果我們要輸出一組解怎麼辦？

以lower_bound 為例

回溯：紀錄目前的 $dp$ 位置從哪邊轉移過來

經典問題 Part 2

最大二維子矩陣

給你一個二維整數陣列 $a[n][m]$ ，選擇一個長方形子矩陣，使其總和最大

$n, m \leq 300$

先想 $O(n^4)$ 怎麼做？

還記得最大連續和怎麼做嗎？

結合枚舉和最大連續和的想法

$i$

$j$

把這個方向當成一個最大連續和看！ $O(n^3)$

Practice

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1063

練習題囉

開一堆怪東東

噢對然後不一定跟前面講的東西有關www

搜集寶藏

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/2173

給你 $n * m$ 的地圖，上面有障礙物和寶藏位置。有兩個人各從左上角開始走到右下角要拿寶藏，他們只能往右和往下走，且一個人拿過的另一個人不會再拿到。求最多可以拿到幾個寶藏。

$n, m \leq 100$

Grazing On the Run

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1090

Bessie the cow 要吃數線上 $n$ 株草，每一株的位置是 $a_i$ ，而她一開始在位置 $L$ ，每秒可以向左或向右移動一單位。若她在第 $t_i$ 秒吃完第 $i$ 株草，請找到吃完所有草的最小時間總和，也就是 $min(\sum_{i = 0}^{n -1} t_i)$

Hint:時間比較小就代表總時間少嗎？

Make It Increasing

https://codeforces.com/problemset/problem/1437/E

給你一個正整數序列 $a$ ，一開始每個位置都有「可以動」跟「不能動」兩種。你每次操作可以把一個可以動的數字修改為任意數。問最少需要經過幾次操作，才能使 $a$ 呈嚴格遞增？(不可能的話輸出 -1)

$n \leq 5*10^5$

位元DP

用二進位表示某種「有」或「沒有」的狀態

通常用在複雜度要指數的問題( $n \leq 25$ )

（或是你不知道正解是什麼的喇分）

轉移：把一些 0 轉成 1 或 1 轉成 0。

答案：通常是全部選 $dp[111111_2]$ 或全部不選 $dp[0]$

來看例題吧：

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1554

給你一個 $n \times n$ 的矩陣，你必須選出 $n$ 個數字，使得這些數字都在不同的行跟列上，且乘積最大。

$n \leq 20$

是不是感覺沒有好做法？

那就來枚舉吧！但是直接枚舉好像太沒效率...

觀察一下

假設我已經幫前 $i$ 列選好了，那麼之後再也不會用到他們。
每一列都一定要選一個
在考慮能不能選 $a[i][j]$ 的時候，只要看他前面有沒有和他同一行的東西就好了，不用考慮他們的順序

來DP 吧

假設 $dp[bitmask]$ 有 $k$ 個 1，那麼他代表的是前 $k$ 排選的位置分別為 $bitmask$ 裡面 1 的 bit。

轉移：

$dp[i] = \max (dp[i - 2^j] * a[j])$

其中 $i \& 2^j \neq 0$

跟位元運算有關的語法

$2^x$ -> 1<<x

$11111_2$ -> (1<<5) - 1

bitwise and (&), or (|), xor (^)

練習time!

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1014

505

https://codeforces.com/problemset/problem/1391/D

給你一個由0, 1組成的矩陣，每次操作可以改變一個元素的值，問最少要多少操作，使得所有邊長為偶數的正方形方陣都有奇數個1

$n * m \leq 10^6$

這題講師還沒寫過

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1028

這題很讚（但很難）

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/2070

圖論 x DP

DAG 有向無環圖

什麼？這也可以DP?

其實一般的DP轉移就可以把它當作一個DAG看，只要找一個好的轉移順序，絕對是可以做到的。

資讀-進階DP