經典例子-Nim game

必勝/必敗

• 全部XOR起來
• 如果是0就必敗，否則必勝
  • 必勝時的走法：把它變XOR=0的狀態

!!?

Combinatorial game

• 玩家有兩個
• 輪流動一步，一定要動，不能不動
• 不能動就輸了
• 同樣的盤面下，不管輪到誰，能做的動作都一樣
• 已經出現過的盤面不會再出現

Game tree

Game tree

Game tree

Game tree

Game tree

性質整理

• 定義 F(x) 為所有頂點 x 連出的邊指到的頂點所成的集合
• 定義必敗狀態為P
• 定義必勝狀態為N

• F(x)∩P≠ϕ⇒x∈N

  F(x)⊆N⇒x∈P

• P∪N=V

sprague grundy定理

• 每個遊戲狀態都會等價於某個數量的一堆的 Nim 遊戲

狀態描述

• 描述「一疊石頭」的狀態
• 描述「數疊石頭」的狀態

縮小問題

• 「整個盤面」是由多個同樣玩法的「單一盤面」組成
• 每次都是選一個「單一盤面」來「動一步」，其他不動

• 先將問題縮小成「只看單一盤面」

描述「一疊石頭」的狀態

SG值

SG值─用一個數字代表一個狀態

• 必敗狀態─SG值為0
• 必勝狀態
  • 看看他所有能夠走一步到達的狀態的SG值集合
  • 找出「最小沒出現過的數字」，即為此狀態的SG值
  • SG(x)=mex({SG(T)|T∈F(x)})

S={0,1,2,5,6,7}     =>     mex(S)=3

SG定理證明

• 先來證明SG(x)==0若且唯若x是必敗狀態

情況1    x是遊戲結束狀態(必敗)

• F(x)=ϕ
• SG(x)=mex(ϕ)=0
• 得證#

情況2 x並非遊戲結束狀態

• 情況2-1 x必勝
• 情況2-2 x必敗

情況2-1   x可走下一步，且x必勝

• x必勝若且唯若存在一個T
  • T∈F(x)
  • T必敗(SG(T)==0)
• mex(F(x))≠0
• SG(x)≠0

情況2-2   x可走下一步，且x必敗

• 對於所有 T∈F(x)，T∈N (SG(T)≠0)
• mex(F(x))=0
• SG(x)=0

SG值不是0的時候，為什麼要讓他等於mex(SG(F(x)))呢?

• 這個設定可以使得SG(A+B)=SG(A)⊕SG(B)
• 待會你就知道 (?)

Game tree

0

0

0

Game tree

0

0

0

1

1

Game tree

0

0

0

1

1

2

Game tree

0

0

0

1

1

2

0

Game tree

0

0

0

1

1

2

0

1

舉例

• 一般NIM規則
• 只可以一次拿走2或3顆的

一般NIM GAME規則

OOOOOO

OOOOO

OOOO

OOO

OO

一般NIM GAME規則

OOOOOO

OOOOO

OOOO

OOO

OO

5

4

3

2

1

0

6

一次只能拿走2或3顆石頭

OOOOOO

OOOO

OOO

OO

O

O

一次只能拿走2或3顆石頭

OOOOOO

OOOO

OOO

OO

O

O

0

0

0

0

1

1

2

0

為什麼SG值就是他下一步的所有SG值中最小沒出現過的數?

• 因為某狀態「所有」能夠變成的狀態，就是SG值小於該狀態的「所有狀態」
• 就跟一疊NIM石頭一樣

描述「數疊石頭」的狀態

SG值的XOR

為什麼是xor?

回憶一下

combinatorial game的定義

• 必勝狀態一定可以走到必敗狀態
• 必敗狀態一定不能走到必敗狀態
• XOR等於0的一堆數，改變其中一個數的值之後一定無法維持XOR等於0
• XOR不等於0的一堆數，一定可以改變其中一個數的值使得XOR等於0

嚴謹證明

• SG(A+B)=SG(A)⊕SG(B)

情況1   當 F(A)=ϕ 且 F(B)=ϕ 

• mex(SG(F(A)+F(B)))=0
• SG(A+B)=0
• SG(A)⊕SG(B)=0
• =>  SG(A+B)=SG(A)⊕SG(B)

情況2 當 F(A)≠ϕ 或 F(B)≠ϕ 

• 令W為A動了一步後的狀態SG值和B動了一步的狀態SG值的集合
• W={SG(A′+B)|A′∈F(A)}∪{SG(A+B′)|B′∈F(B)}
• 接著證明mex(W)=SG(A)⊕SG(B)

情況2 當 F(A)≠ϕ 或 F(B)≠ϕ 

• 要證明mex(W)=SG(A)⊕SG(B)
• 先證明(SG(A)⊕SG(B))∉W
• 因為不管是動A還是動B，不管是SG(A')⊕SG(B)還是SG(A)⊕SG(B')，都不可能等於SG(A)⊕SG(B)
• 得證

情況2 當 F(A)≠ϕ 或 F(B)≠ϕ 

• 要證明mex(W)=SG(A)⊕SG(B)
• 證明所有小於SG(A)⊕SG(B)的數x都∈W
• 已知在x<SG(A)⊕SG(B)的情況下，x⊕SG(A)<SG(B)或x⊕SG(B)<SG(A)必有一個會成立
• 假設已知x⊕SG(A)<SG(B)會成立，則必然存在一個SG(B')=x⊕SG(A)
• x⊕SG(A)⊕SG(A)=x  =>  SG(B')⊕SG(A)=x
• x=SG(B')⊕SG(A)=SG(B'+A)∈W

結論

• 遊戲結束時的SG值是0
• 否則遊戲的SG值是所有個別盤面SG值的XOR

範例

• 一般的NIM GAME
• 規則為每次操作都是平分一堆的NIM GAME

一般NIM GAME

• OOO
• OOOO
• OOOOO

一般NIM GAME

• OOO
• OOOO
• OOOOO

3

4

5

3^4^5=2

規則：操作為平分一堆

OOOOOO

OOO  OOO

OO  OO  OO

O O O O O O

O O O

O O

規則：操作為平分一堆

OOOOOO

OOO  OOO

OO  OO  OO

O O O O O O

O O O

O O

0

0

0

規則：操作為平分一堆

OOOOOO

OOO  OOO

OO  OO  OO

O O O O O O

O O O

O O

0

0

0

1

1

1

1

1

規則：操作為平分一堆

OOOOOO

OOO  OOO

OO  OO  OO

O O O O O O

O O O

O O

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

規則：操作為平分一堆

OOOOOO

OOO  OOO

OO  OO  OO

O O O O O O

O O O

O O

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

2