Binary Search Tree (BST)

• 일반적으로 중복되는 데이타 없다고 가정
• Base Case 다음 둘 중 어느 걸로 선택해도 무방
  • NULL
  • 1개의 데이터로만 이루어진 트리
• Inductive Case:
  트리가 data와 왼쪽/오른쪽 하위 트리 tl, tr로 이루어질 때
  • 모든 왼쪽 하위 트리 tl의 데이타 < data
    그리고 tl도 BST
  • 모든 오른쪽 하위 트리 tr의 데이타 > data
    그리고 tr도 BST
• BST에서 탐색 시간복잡도 일반적으로 O(log n)아님!!!
  균형잡힌(balanced)인 경우만 O(log n)

Proper 또는 Strict Binary Tree

• 다른 대부분의 곳에서는 Full Binary Tree의 정의가 이것
• Base Case: 다음 둘 중 어느 걸로 선택해도 무방
  • NULL
  • 1개의 데이터로만 이루어진 트리
• Inductive Case:
  트리가 data와 왼쪽/오른쪽 하위 트리 tl, tr로 이루어질 때
  • tl, tr 둘 다 NULL이 되던가 아니면 둘 다 NULL 아님
  • tl, tr 각각도 Proper/Strict/Full Binary Tree
• 즉, 가지가 항상 두 개씩 뻗고 하나만 뻗는 경우는 없다

Perfect Binary Tree

• 우리 교과서 등 소수의 책에서만
  Full Binary Tree를 이것과 동일하게 정의
• Base Case: 다음 둘 중 하나를 선택 가능
  • NULL
  • 데이타 1개로 이루어진 트리
• Inductive Case:
  트리가 data와 왼쪽/오른쪽 하위 트리 tl, tr로 이루어질 때
  • ​tl과 tr의 높이가 같고 tl과 tr 각각이 Perfect Binary Tree
• 높이(또는 깊이) k일 때 데이타 개수는 2^k - 1

Complete Binary Tree

• 모든 Perfect Binary Tree는 Complete Binary Tree이다.
• Perfect Binary Tree에서
  level order로 맨 끝에 오는 노드를 하나씩 제거해 나가며
  구성되는 모든 트리가 Complete Binary Tree
• 다음 슬라이드 Skewed vs Balanced만 설명하고
  남은 수업시간에는 이진트리에 대한 level order를
  프로그램으로 작성해 보도록 합시다
  • level order가 대표적으로 Queue를 활용하는 코드
• Perfect B.T. 이면 Complete B.T. 이고 Proper/Strict B.T.
  (하지만 그 역은 성립 안함)

Skewed vs Balanced

• 당연히 Balanced가 아닐 때 편향되었다(Skewed)고 한다
  • 직관적으로는 왼쪽과 오른쪽 하위 트리의 높이(또는 깊이가) 많이 차이나는 노드가 존재할 때 
• Balanced(균형잡힌)를 정의하는 방법 여러가지 가능
  • 노드가 n개인 트리의 높이가 항상 O(log n)으로 보장되면 Balanced Tree라고 정의할 수도
  • 모든 노드에서 왼쪽 오른쪽 하위 트리의 높이 차이가 어떤 상수값 c이하일 때를 Balanced라고 정의할 수도 있다
    • 이 경우 Complete Binary Tree는 c=1로 주어졌을 때도 balanced가 될 것이고 Perfect Binary Tree는 c=0으로 주어도 balanced가 될 것이다