Ecuaciones de recurrencia 

Mateo Sanabria Ardila
ISIS1105: Diseño y análisis de algoritmos

T_1(n) =  6*C1 + C7 +  n(C4(k) + C6 + 2*C3) + n*n
T_0(n) = C1 + C2 + n(C3 + C4(k) + C5 + C6)
T_0 = \mathcal{O}(n)
T_1 = \mathcal{O}(n^2)
T(n) = T(n/2) + k = \mathcal{O}(??)

Ecuaciones de recurrencia 

Una ecuación de recurrencia describe el valor de un elemento de una sucesión a partir de elementos anteriores
F_n = F_{n-1} + F_{n-2}
F_0 = 1, F_1 = 1

Ecuaciones de recurrencia 

Para resolver la recurrencia se busca una forma cerrada para la sucesión que genere los mismos valores para T(n) que los generados por la ecuación de recurrencia
T(n) = T(n/2) + 1
T(n) = log_2(n)+ 1

Ecuaciones lineales homogeneas

Forma general de una ecuación homogénea lineal de orden k
a_0f(n) + a_1f(n-1) + a_2f(n-2) + \cdots + a_kf(n-k) = 0
Polinomio característico asociado
a_0\lambda^{k} + a_1\lambda^{k-1} + a_2\lambda^{k-2} + \cdots + a_k
Encontrar la raíces del polinomio característico implica solucionar la ecuación de recurrencia

Ejemplo orden 1

f(n) = 2f(n-1)
Resolver la siguiente ecuación de orden 1:
la forma lineal homogénea es:
f(n) - 2f(n-1) = 0
El polinomio característico a resolver es:
\lambda - 2 = 0
El polinomio tine raíz uncia λ=2 de multiplicidad 1
cual es la solución?
  • Teorema 1: Si r es una raíz del polinomio característico, entonces:
f(n) = r^n
Es una solución de la ecuación de recurrencia
  • Teorema 3: Las soluciones de la ecuación de recurrencia son combinaciones lineales de las soluciones descritas en los teoremas 1 y 2
  • Teorema 2: Si r es una raíz con multiplicidad m, entonces:
f(n) = n^j r^n\ \ \ (0 \leq j < m)
Son soluciones de la ecuación de recurrencia

Ejemplo orden 1

f(n) = c 2^n
Por los teorema 1 y 3 se tiene que la solución es de la forma
Para conocer los valores de las constantes se necesita el valor en los casos base, en este caso si f(0) = 3 se tiene:
f(n) = 3 \cdot 2^n
Como saber si la solución es correcta?

ejercicio orden 2

Encuentre la forma cerrada para la ecuación de recurrencia de Fibonacci:
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
f(0) = 0 \ \ f(1) = 1

Ejemplo orden 2

Resolver la siguiente ecuación de orden 2:
la forma lineal homogénea es:
f(n) - f(n-1) - f(n-2) = 0
El polinomio característico a resolver es:
\lambda^2 - \lambda - 1 = 0
El polinomio tine dos raíces cada una con multiplicidad 1 
cual es la solución?
f(n) = f(n-1) + f(n-2)

Ejemplo orden 2

f(n) = c_1 (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n + c_2 (\frac{1 - \sqrt{5} }{2})^n
Por los teorema 1 y 3 se tiene que la solución es de la forma
Para conocer los valores de las constantes se necesita el valor en los casos base:
f(n) = (\frac{1}{\sqrt{5}}) (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1}{\sqrt{5}}) (\frac{1 - \sqrt{5} }{2})^n

ejercicio orden 2

Encuentre la forma cerrada para la ecuación
f(n) = 4 f(n-1) - 4f(n-2)
f(0) = 0 \ \ f(1) = 1

Ejemplo orden 2

Resolver la siguiente ecuación de orden 2:
la forma lineal homogénea es:
f(n) - 4 f(n-1) + 4f(n-2) = 0
El polinomio característico a resolver es:
\lambda^2 - 4 \lambda + 4 = 0
El polinomio tine una raíz con multiplicidad 2 
cual es la solución?
f(n) = 4 f(n-1) - 4f(n-2)

Ejemplo orden 2

f(n) = c_1 2^{n} + c_2 n 2^{n}
Por los teorema 2 y 3 se tiene que la solución es de la forma
Para conocer los valores de las constantes se necesita el valor en los casos base:

Procedimiento general

  1. Escriba las ecuaciones de recurrencia en forma lineal homogénea de orden k.
  2. Construya el polinomio característico y encuentre sus raíces.  
  3. Use los teoremas 1 y 2 para encontrar k soluciones diferentes.
  4. Escriba la solución general usando el teorema 3.
  5. Use los cascos base para encontrar la solución particular deseada.

Ecuaciones lineales No homogéneas

Forma general de una ecuación no homogénea lineal de orden k
a_0f(n) + a_1f(n-1) + a_2f(n-2) + \cdots + a_kf(n-k) = g(n)
La solución general se puede encontrar combinando la solución general de la ecuación homogénea correspondiente y sumándole una solución particular a la ecuación no homogénea
f(n) = h(n) + p(n)

solución particular

  • Si g(n) = b se busca una solución particular p(n) = c
  • Si g(n) = b1n + b0 se busca una solución particular p(n) = c1n + c0

  • Si g(n) = b*d^n se busca una solución particular p(n) = c*d^n
a_0f(n) + a_1f(n-1) + a_2f(n-2) + \cdots + a_kf(n-k) = g(n)

Ecuaciones lineales No homogéneas

f(n) - 2 f(n-1) = 1
f(0) = 3
g(n) = 1
f(n) - 2f(n-1) = 0
La ecuación homogénea es: 
la forma solución es:
h(n) = c_1 2^n
Hasta este punto se logro la mitad del ejercicio, recuerde que se busca:
Hace falta encontrar la solución particular p(n)
f(n) = h(n) + p(n)
f(n) - 2f(n-1) = 1
Como g(n) es una función constante se busca p(n) = c2. En este caso, cualquier llamado de f en la función original se remplaza directamente por la solución particular.
C_2 - 2C_2 = 1
Solucionando se encuentra que:
C_2 = -1 = p(n)
Ya se encontró la solución homogénea y la solución particular, luego:
f(n) = h(n) + p(n)
h(n) = C_1 2^n
p(n) = -1
f(n) = C_1 2^n - 1 
Utilizando las condiciones iniciales se tiene la solución particular:
f(n) = 4 \cdot 2^n - 1

Ecuaciones lineales No homogéneas

f(n) = f(n-1) + 6f(n-2) + 12n - 1
g(n) = 12n - 1
Solo se va a mostrar la solución para ecuación particular!!
Como g(n) es una función lineal se busca p(n) = c0n +c1. En este caso, cualquier llamado de f en la función original se remplaza directamente por la solución particular.
(C_0n + C_1) = (C_0(n-1)+C_1) + 6 (C_0(n-2)+C_1) + 12n - 1
f(n) = f(n-1) + 6f(n-2) + 12n - 1
Se debe encontrar el valor de c0 y c1 sin utilizar los valores 'iniciales' de la función de recurrencia original.
(C_0n + C_1) = (C_0(n-1)+C_1) + 6 (C_0(n-2)+C_1) + 12n - 1
Agrupar los términos e iguar a cero
0 = n(C_0 +12) + (7C_1 - 13C_0 - 1)
Note que se tiene dos ecuaciones dos incgonitas
0 = (C_0 +12) \\ 0 = 7C_1 - 13C_0 - 1
-12 = C_0 \\ \frac{157}{7} = C_1 
Luego de resolver se tiene:
Es decir que la solución particular es:
p(n) = -12n + \frac{157}{7}
Queda pendiente la solución de la ecuación homogénea!

Ecuaciones lineales No homogéneas

f(n) = -4f(n-1) + 5f(n-2) + 2^n + 2n
g(n) =2^n + 2n
Solo se va a mostrar la solución para ecuación particular!!
T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n

ya se puede resolver!

Recurrence relations

By Mateo Sanabria Ardila

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