Lección 6: Análisis de la respuesta estacionaria y transitoria
BE3024 - Sistemas de Control 1 (Biomédica)
2do ciclo, 2024
¿Por qué?
plano s
plano s
dominio manipulación (frecuencia)
= dominio análisis (tiempo)
plano s
plano s
respuesta transitoria
(corto plazo)
respuesta estacionaria
(largo plazo)
ceros: valores de s que hacen N(s)=0
polos: valores de s que hacen D(s)=0
Polos y ceros
Polos y ceros
ceros: valores de s que hacen N(s)=0
polos: valores de s que hacen D(s)=0
Los sistemas del mundo real son propios*
adicionalmente
grado(D(s)) ≡ # polos del sistema
≡ orden del sistema
Encuentre los polos y ceros del sistema
Encuentre los polos y ceros del sistema
G = tf([1, 5], [1, 1, -2])
polos = pole(G)
ceros = zero(G)
pzplot(G) % pole-zero plot
grid
¿Qué ocurre si u(t)=1(t)?
¿Qué ocurre si u(t)=1(t)?
¿Qué ocurre si u(t)=1(t)?
entrada
sistema
La respuesta de un sistema LTI tiene la forma:
respuesta natural
respuesta forzada
Los sistemas LTI presentan un número limitado de términos (modos) en la respuesta natural.
polo
tiempo
frecuencia
Respuesta estacionaria
Estabilidad
El sistema es:
(i) (asintóticamente) estable
Todos los polos se encuentran en el LHP.
(ii) inestable
Por lo menos un polo está en el RHP.
(iii) marginalmente | críticamente estable
(Asintóticamente) estable pero con un polo real en el origen o un par de polos imaginarios conjugados.
Ejemplo
Estabilidad BIBO
Teorema del Valor Final
Si el sistema converge, ¿A qué converge?
Valor en estado estable o estacionario de y
Teorema del valor final
Si el sistema converge, ¿A qué converge?
El sistema debe ser asintóticamente estable.
Valor en estado estable o estacionario de y
¿Cuál es el valor en estado estable de la salida?
¿Cuál es el valor en estado estable de la salida?
G = tf(1, [1, 2])
step(G)
linearSystemAnalyzer(G)
Ejercicio 1
¿Cuál es la salida en estado estable cuando u(t)=1(t)?
Respuesta transitoria
Sistemas de primer orden
(asintóticamente) estable ⇒ único polo real en s=−σ con σ>0
constante de tiempo
La constante de tiempo es el único parámetro de rendimiento para sistemas de primer orden.
Un parámetro de rendimiento representa a alguna característica (en el tiempo) de la respuesta del sistema pero en función de cantidades en L.
Sistemas de segundo orden
forma estándar
se asume (asintóticamente) estable con polos en
forma estándar
ζ≡ factor o coeficiente de amortiguamiento
→ sub-amortiguado: 0<ζ<1
→ críticamente amortiguado: ζ=1
→ sobre-amortiguado: ζ>1
forma estándar
ωn≡ frecuencia natural o frecuencia sin amortiguamiento
σ=ζωn
ωd=ωn1−ζ2≡ frecuencia amortiguada
tiempo de subida
tiempo pico
% de overshoot o
sobreoscilación / sobreelevación
ϵ∼ 5%, 2%, 1%
tiempo de asentamiento o establecimiento
tr,ts y Mp como parámetros de rendimiento para sistemas de segundo orden
S = stepinfo(sys)
S = stepinfo(y, t, yfinal)
¿Cuál es la función de transferencia de un sistema que presente un tr≈0.5 s y un Mp≈10%?
wn = 3.6;
zeta = 0.6;
G = tf(wn^2, [1, 2*zeta*wn, wn^2])
¿Cuál es la función de transferencia de un sistema que presente un tr≈0.5 s y un Mp≈10%?
¿Qué pasa cuando los sistemas tienen ceros o son de orden superior?
- +1 polo en el LHP incrementa el tr si se encuentra dentro de un factor de ≈4 de la parte real de los polos dominantes.
- +1 cero en el LHP incrementa el Mp si se encuentra dentro de un factor de ≈4 de la parte real de los polos dominantes.
- +1 cero en el RHP disminuye el Mp pero puede causar que la respuesta inicie en la dirección incorrecta ⇒ delay.
>> clase6_aproximaciones2dorden.m
≈ sistema de 1er orden
lejos de ω
polos insignificantes
cerca de ω
polos dominantes
≈ sistema de 2do orden
delay
BE3024 - Lecture 6 (2024)
By Miguel Enrique Zea Arenales
BE3024 - Lecture 6 (2024)
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