Lección 6: Análisis de la respuesta estacionaria y transitoria

BE3024 - Sistemas de Control 1 (Biomédica)

2do ciclo, 2024

¿Por qué?

s=σ+ȷωsCs=\sigma + \jmath\omega \\ s \in \mathbb{C}
s=\sigma + \jmath\omega \\ s \in \mathbb{C}
G(s)G(s)
G(s)
s=σ+ȷωsCs=\sigma + \jmath\omega \\ s \in \mathbb{C}
s=\sigma + \jmath\omega \\ s \in \mathbb{C}
G(s)G(s)
G(s)
Re(s)\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Re}(s)
Im(s)\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Im}(s)
σ\sigma
\sigma
ω\omega
\omega

plano ss

s=σ+ȷωsCs=\sigma + \jmath\omega \\ s \in \mathbb{C}
s=\sigma + \jmath\omega \\ s \in \mathbb{C}
G(s)G(s)
G(s)
Re(s)\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Re}(s)
Im(s)\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Im}(s)
σ\sigma
\sigma
ω\omega
\omega

plano ss

dominio manipulación (frecuencia)

\ne dominio análisis (tiempo)

s=σ+ȷωsCs=\sigma + \jmath\omega \\ s \in \mathbb{C}
s=\sigma + \jmath\omega \\ s \in \mathbb{C}
G(s)G(s)
G(s)
Re(s)\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Re}(s)
Im(s)\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Im}(s)
σ\sigma
\sigma
ω\omega
\omega

plano ss

Y(s)=G(s)U(s)y(t)=L1{Y(s)}Y(s)=G(s)U(s) \\ y(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s)\right\}
Y(s)=G(s)U(s) \\ y(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s)\right\}
s=σ+ȷωsCs=\sigma + \jmath\omega \\ s \in \mathbb{C}
s=\sigma + \jmath\omega \\ s \in \mathbb{C}
G(s)G(s)
G(s)
Re(s)\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Re}(s)
Im(s)\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Im}(s)
σ\sigma
\sigma
ω\omega
\omega

plano ss

Y(s)=G(s)U(s)y(t)=L1{Y(s)}Y(s)=G(s)U(s) \\ y(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s)\right\}
Y(s)=G(s)U(s) \\ y(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s)\right\}
y(t)y(t)
y(t)
 t\ t
\ t
y(t)y(t)
y(t)

respuesta transitoria

(corto plazo)

respuesta estacionaria

(largo plazo)

 t\ t
\ t
G(s)=bmsm+bm1sm1++b1s+b0sn+an1sn1++a1s+a0=N(s)D(s)G(s)=\dfrac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}=\dfrac{N(s)}{D(s)}
G(s)=\dfrac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}=\dfrac{N(s)}{D(s)}

ceros:     valores de ss que hacen N(s)=0N(s)=0

polos:     valores de ss que hacen D(s)=0D(s)=0

Polos y ceros

Polos y ceros

G(s)=bmsm+bm1sm1++b1s+b0sn+an1sn1++a1s+a0=N(s)D(s)G(s)=\dfrac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}=\dfrac{N(s)}{D(s)}
G(s)=\dfrac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}=\dfrac{N(s)}{D(s)}

ceros:     valores de ss que hacen N(s)=0N(s)=0

polos:     valores de ss que hacen D(s)=0D(s)=0

Los sistemas del mundo real son propios*

 

 

adicionalmente

grado(D(s))\mathrm{grado}\left(D(s)\right) \equiv # polos del sistema

\equiv orden del sistema

grado(D(s))grado(N(s))\mathrm{grado}\left(D(s)\right) \ge \mathrm{grado}\left(N(s)\right)
\mathrm{grado}\left(D(s)\right) \ge \mathrm{grado}\left(N(s)\right)

Encuentre los polos y ceros del sistema

U(s)U(s)
U(s)
Y(s)Y(s)
Y(s)
s+5s2+s2\dfrac{s+5}{s^2+s-2}
\dfrac{s+5}{s^2+s-2}

Encuentre los polos y ceros del sistema

U(s)U(s)
U(s)
Y(s)Y(s)
Y(s)
s+5s2+s2\dfrac{s+5}{s^2+s-2}
\dfrac{s+5}{s^2+s-2}
G = tf([1, 5], [1, 1, -2])
polos = pole(G)
ceros = zero(G)
pzplot(G) % pole-zero plot
grid

¿Qué ocurre si u(t)=1(t)u(t)=\mathbf{1}(t)?

U(s)=L{1(t)}=1sU(s)=\mathcal{L}\left\{\mathbf{1}(t)\right\}=\dfrac{1}{s}
U(s)=\mathcal{L}\left\{\mathbf{1}(t)\right\}=\dfrac{1}{s}
Y(s)=G(s)U(s)=s+5s(s1)(s+2)Y(s)=G(s)U(s)=\dfrac{s+5}{s(s-1)(s+2)}
Y(s)=G(s)U(s)=\dfrac{s+5}{s(s-1)(s+2)}
Y(s)=As+Bs1+Cs+2Y(s)=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s-1}+\dfrac{C}{s+2}
Y(s)=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s-1}+\dfrac{C}{s+2}
G(s)=s+5(s1)(s+2)G(s)=\dfrac{s+5}{(s-1)(s+2)}
G(s)=\dfrac{s+5}{(s-1)(s+2)}

¿Qué ocurre si u(t)=1(t)u(t)=\mathbf{1}(t)?

U(s)=L{1(t)}=1sU(s)=\mathcal{L}\left\{\mathbf{1}(t)\right\}=\dfrac{1}{s}
U(s)=\mathcal{L}\left\{\mathbf{1}(t)\right\}=\dfrac{1}{s}
Y(s)=G(s)U(s)=s+5s(s1)(s+2)Y(s)=G(s)U(s)=\dfrac{s+5}{s(s-1)(s+2)}
Y(s)=G(s)U(s)=\dfrac{s+5}{s(s-1)(s+2)}
Y(s)=As+Bs1+Cs+2Y(s)=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s-1}+\dfrac{C}{s+2}
Y(s)=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s-1}+\dfrac{C}{s+2}
G(s)=s+5(s1)(s+2)G(s)=\dfrac{s+5}{(s-1)(s+2)}
G(s)=\dfrac{s+5}{(s-1)(s+2)}

¿Qué ocurre si u(t)=1(t)u(t)=\mathbf{1}(t)?

y(t)=L1{Y(s)}y(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s)\right\}
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{Y(s)\right\}
y(t)=A1(t)+Bet1(t)+Ce2t1(t)y(t)=A\mathbf{1}(t)+Be^{t}\mathbf{1}(t)+Ce^{-2t}\mathbf{1}(t)
y(t)=A\mathbf{1}(t)+Be^{t}\mathbf{1}(t)+Ce^{-2t}\mathbf{1}(t)

entrada

sistema

y(t)=yn(t)+yf(t)y(t)=y_n(t)+y_f(t)
y(t)=y_n(t)+y_f(t)

La respuesta de un sistema LTI tiene la forma:

respuesta natural

respuesta forzada

Los sistemas LTI presentan un número limitado de términos (modos) en la respuesta natural.

polo

(sσ)\dfrac{\cdots}{\cdots(s-\sigma)\cdots}
\dfrac{\cdots}{\cdots(s-\sigma)\cdots}
(s+ȷω)(sȷω)\dfrac{\cdots}{\cdots(s+\jmath\omega)(s-\jmath\omega)\cdots}
\dfrac{\cdots}{\cdots(s+\jmath\omega)(s-\jmath\omega)\cdots}
(sσ+ȷω)(sσȷω)\dfrac{\cdots}{\cdots(s-\sigma+\jmath\omega)(s-\sigma-\jmath\omega)\cdots}
\dfrac{\cdots}{\cdots(s-\sigma+\jmath\omega)(s-\sigma-\jmath\omega)\cdots}
eσt1(t)e^{\sigma t}\mathbf{1}(t)
e^{\sigma t}\mathbf{1}(t)
cos(ωt)1(t)sin(ωt)1(t)\cos(\omega t)\mathbf{1}(t) \\ \sin(\omega t)\mathbf{1}(t)
\cos(\omega t)\mathbf{1}(t) \\ \sin(\omega t)\mathbf{1}(t)
eσtcos(ωt)1(t)eσtsin(ωt)1(t)e^{\sigma t}\cos(\omega t)\mathbf{1}(t) \\ e^{\sigma t}\sin(\omega t)\mathbf{1}(t)
e^{\sigma t}\cos(\omega t)\mathbf{1}(t) \\ e^{\sigma t}\sin(\omega t)\mathbf{1}(t)
s=σs=\sigma
s=\sigma
s=±ȷωs=\pm\jmath\omega
s=\pm\jmath\omega
s=σ±ȷωs=\sigma\pm\jmath\omega
s=\sigma\pm\jmath\omega

tiempo

frecuencia

Respuesta estacionaria

Estabilidad

G(s)=(sq1)(sq2)(sqM)(sp1)(sp2)(spN)G(s)=\dfrac{(s-q_1)(s-q_2)\cdots(s-q_M)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_N)}
G(s)=\dfrac{(s-q_1)(s-q_2)\cdots(s-q_M)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_N)}

El sistema es:

(i)(i)   (asintóticamente) estable

Todos los polos se encuentran en el LHP.

(ii)(ii)  inestable

Por lo menos un polo está en el RHP.

(iii)(iii) marginalmente | críticamente estable

(Asintóticamente) estable pero con un polo real en el origen o un par de polos imaginarios conjugados.

Ejemplo

Im(s)\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Im}(s)
Re(s)\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Re}(s)

Estabilidad BIBO

G(s)G(s)
G(s)
u(t)u(t)
u(t)
tt
t
g(t)dt<\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\left|g(t)\right|dt < \infty
\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\left|g(t)\right|dt < \infty
y(t)y(t)
y(t)
tt
t

Teorema del Valor Final

Si el sistema converge, ¿A qué converge?

yss=limty(t)lims0sY(s)\displaystyle y_{ss}=\lim_{t\to\infty} y(t) \equiv \lim_{s\to 0}sY(s)
\displaystyle y_{ss}=\lim_{t\to\infty} y(t) \equiv \lim_{s\to 0}sY(s)

Valor en estado estable o estacionario de yy

Teorema del valor final

Si el sistema converge, ¿A qué converge?

yss=limty(t)lims0sY(s)\displaystyle y_{ss}=\lim_{t\to\infty} y(t) \equiv \lim_{s\to 0}sY(s)
\displaystyle y_{ss}=\lim_{t\to\infty} y(t) \equiv \lim_{s\to 0}sY(s)

El sistema debe ser asintóticamente estable.

Valor en estado estable o estacionario de yy

¿Cuál es el valor en estado estable de la salida?

G(s)=Y(s)U(s)=1s+2G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{1}{s+2}
G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{1}{s+2}
U(s)=1sU(s)=\dfrac{1}{s}
U(s)=\dfrac{1}{s}

¿Cuál es el valor en estado estable de la salida?

G(s)=Y(s)U(s)=1s+2G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{1}{s+2}
G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{1}{s+2}
U(s)=1sU(s)=\dfrac{1}{s}
U(s)=\dfrac{1}{s}
G = tf(1, [1, 2])
step(G)
linearSystemAnalyzer(G)

Ejercicio 1

¿Cuál es la salida en estado estable cuando u(t)=1(t)u(t)=\mathbf{1}(t)?

G(s)=Y(s)U(s)=10s2+s30G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{10}{s^2+s-30}
G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{10}{s^2+s-30}

Respuesta transitoria

Sistemas de primer orden

G(s)=1s+σG(s)=\dfrac{1}{s+\sigma}
G(s)=\dfrac{1}{s+\sigma}
g(t)=eσt1(t)g(t)=e^{-\sigma t}\mathbf{1}(t)
g(t)=e^{-\sigma t}\mathbf{1}(t)
1(t)\mathbf{1}(t)
\mathbf{1}(t)
y(t)=1σ(1eσt)1(t)y(t)=\frac{1}{\sigma}\left(1-e^{-\sigma t}\right)\mathbf{1}(t)
y(t)=\frac{1}{\sigma}\left(1-e^{-\sigma t}\right)\mathbf{1}(t)
G(s)G(s)
G(s)

(asintóticamente) estable \Rightarrow único polo real en s=σs=-\sigma con σ>0\sigma>0

y(t)y(t)
y(t)
 t\ t
\ t
yssy_{ss}
y_{ss}
σ1\sigma_1
\sigma_1
σ3<σ2<σ1\sigma_3<\sigma_2<\sigma_1
\sigma_3<\sigma_2<\sigma_1
σ2\sigma_2
\sigma_2
σ3\sigma_3
\sigma_3
y(t)y(t)
y(t)
 t\ t
\ t
yssy_{ss}
y_{ss}
σ1\sigma_1
\sigma_1
σ3<σ2<σ1\sigma_3<\sigma_2<\sigma_1
\sigma_3<\sigma_2<\sigma_1
σ2\sigma_2
\sigma_2
σ3\sigma_3
\sigma_3
τ\tau
\tau
63%\approx 63\%
\approx 63\%

constante de tiempo

τ=1σ\tau=\dfrac{1}{\sigma}
\tau=\dfrac{1}{\sigma}
y(τ)=yss(1eσ(1/σ))\Rightarrow y(\tau)=y_{ss}\left(1-e^{-\sigma(1/\sigma)}\right)
\Rightarrow y(\tau)=y_{ss}\left(1-e^{-\sigma(1/\sigma)}\right)
y(τ)=(1e1)yss0.63yssy(\tau)=\left(1-e^{-1}\right)y_{ss}\approx 0.63 y_{ss}
y(\tau)=\left(1-e^{-1}\right)y_{ss}\approx 0.63 y_{ss}

La constante de tiempo es el único parámetro de rendimiento para sistemas de primer orden.

Un parámetro de rendimiento representa a alguna característica (en el tiempo) de la respuesta del sistema pero en función de cantidades en L\mathcal{L}.

Sistemas de segundo orden

G(s)=b0s2+a1s+a2=Kωn2s2+2ζωns+ωn2G(s)=\dfrac{b_0}{s^2+a_1s+a_2}=K\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}
G(s)=\dfrac{b_0}{s^2+a_1s+a_2}=K\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}

forma estándar

se asume (asintóticamente) estable con polos en

s2+2ζωns+ωn2=0s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2=0
s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2=0
s=σ±ȷωd\Rightarrow s=-\sigma\pm\jmath\omega_d
\Rightarrow s=-\sigma\pm\jmath\omega_d
G(s)=b0s2+a1s+a2=Kωn2s2+2ζωns+ωn2G(s)=\dfrac{b_0}{s^2+a_1s+a_2}=K\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}
G(s)=\dfrac{b_0}{s^2+a_1s+a_2}=K\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}

forma estándar

ζ\zeta\equiv factor o coeficiente de amortiguamiento

\to sub-amortiguado: 0<ζ<1\quad 0<\zeta<1

\to críticamente amortiguado: ζ=1\quad \zeta=1

\to sobre-amortiguado: ζ>1\quad \zeta>1

G(s)=b0s2+a1s+a2=Kωn2s2+2ζωns+ωn2G(s)=\dfrac{b_0}{s^2+a_1s+a_2}=K\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}
G(s)=\dfrac{b_0}{s^2+a_1s+a_2}=K\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}

forma estándar

ωn\omega_n\equiv frecuencia natural o frecuencia sin amortiguamiento

σ=ζωn\sigma=\zeta\omega_n

ωd=ωn1ζ2\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\equiv frecuencia amortiguada

Re(s)\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Re}(s)
Im(s)\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Im}(s)
σ\sigma
\sigma
ωd\omega_d
\omega_d
ωd-\omega_d
-\omega_d
ωn\omega_n
\omega_n
θ\theta
\theta
θ=sin1(ζ)\theta=\sin^{-1}(\zeta)
\theta=\sin^{-1}(\zeta)
1(t)\mathbf{1}(t)
\mathbf{1}(t)
y(t)=(1ωn1ζ2eσtsin(ωdt))1(t)y(t)=\left( 1-\dfrac{\omega_n}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\sigma t}\sin(\omega_d t) \right)\mathbf{1}(t)
y(t)=\left( 1-\dfrac{\omega_n}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\sigma t}\sin(\omega_d t) \right)\mathbf{1}(t)
G(s)G(s)
G(s)
y(t)y(t)
y(t)
y(t)y(t)
y(t)
 t\ t
\ t
yssy_{ss}
y_{ss}
y(t)y(t)
y(t)
 t\ t
\ t
yssy_{ss}
y_{ss}
10%10\%
10\%
90%90\%
90\%
trt_r
t_r

tiempo de subida

y(t)y(t)
y(t)
 t\ t
\ t
yssy_{ss}
y_{ss}
tpt_p
t_p
MpM_p
M_p

tiempo pico

% de overshoot o

sobreoscilación / sobreelevación

y(t)y(t)
y(t)
 t\ t
\ t
yssy_{ss}
y_{ss}
ϵ-\epsilon
-\epsilon
+ϵ+\epsilon
+\epsilon

ϵ\epsilon\sim 5%, 2%, 1%

tst_s
t_s

tiempo de asentamiento o establecimiento

y(t)y(t)
y(t)
 t\ t
\ t
yssy_{ss}
y_{ss}
ϵ-\epsilon
-\epsilon
+ϵ+\epsilon
+\epsilon
10%10\%
10\%
90%90\%
90\%
tst_s
t_s
trt_r
t_r
tpt_p
t_p
MpM_p
M_p

tr,tst_r, t_s y MpM_p como parámetros de rendimiento para sistemas de segundo orden

tr1.8ωnt_r \approx \dfrac{1.8}{\omega_n}
t_r \approx \dfrac{1.8}{\omega_n}
tp=πωdt_p = \dfrac{\pi}{\omega_d}
t_p = \dfrac{\pi}{\omega_d}
Mp=eζπ/1ζ2×100%M_p=e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}} \times 100\%
M_p=e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}} \times 100\%
Mp=f(ζ)M_p=f(\zeta)
M_p=f(\zeta)
ts=4.6σ,ϵ=1%t_s = \dfrac{4.6}{\sigma}, \quad \epsilon=1\%
t_s = \dfrac{4.6}{\sigma}, \quad \epsilon=1\%
ts=3.9σ,ϵ=2%t_s = \dfrac{3.9}{\sigma}, \quad \epsilon=2\%
t_s = \dfrac{3.9}{\sigma}, \quad \epsilon=2\%
ts=3.0σ,ϵ=5%t_s = \dfrac{3.0}{\sigma}, \quad \epsilon=5\%
t_s = \dfrac{3.0}{\sigma}, \quad \epsilon=5\%
S = stepinfo(sys)
S = stepinfo(y, t, yfinal)
Mp=f(ζ)M_p=f(\zeta)
M_p=f(\zeta)

¿Cuál es la función de transferencia de un sistema que presente un tr0.5 st_r\approx0.5 \text{ s} y un Mp10%M_p\approx10\%?

wn = 3.6;
zeta = 0.6;
G = tf(wn^2, [1, 2*zeta*wn, wn^2])

¿Cuál es la función de transferencia de un sistema que presente un tr0.5 st_r\approx0.5 \text{ s} y un Mp10%M_p\approx10\%?

¿Qué pasa cuando los sistemas tienen ceros o son de orden superior?

  1. +1+1 polo en el LHP incrementa el trt_r si se encuentra dentro de un factor de 4\approx 4 de la parte real de los polos dominantes.
  2. +1+1 cero en el LHP incrementa el MpM_p si se encuentra dentro de un factor de 4\approx 4 de la parte real de los polos dominantes.
  3. +1+1 cero en el RHP disminuye el MpM_p pero puede causar que la respuesta inicie en la dirección incorrecta \Rightarrow delay.

>> clase6_aproximaciones2dorden.m

Re(s)\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Re}(s)
Im(s)\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Im}(s)
Re(s)\mathrm{Re}(s)
\mathrm{Re}(s)
Im(s)\mathrm{Im}(s)
\mathrm{Im}(s)

\approx sistema de 1er orden

(pi)4(pdom)\real(p_i)\le 4 \real(p_\textrm{dom})
\real(p_i)\le 4 \real(p_\textrm{dom})

lejos de ȷω\jmath\omega

polos insignificantes

cerca de ȷω\jmath\omega

polos dominantes

\approx sistema de 2do orden

y(t)y(t)
y(t)
 t\ t
\ t
yssy_{ss}
y_{ss}

delay

BE3024 - Lecture 6 (2024)

By Miguel Enrique Zea Arenales

BE3024 - Lecture 6 (2024)

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