Cinemática directa de manipuladores seriales
BE3027 - Robótica Médica
¿Por qué?
Para el manipulador serial más simple, tratemos de combinar las herramientas de cinemática de cuerpos rígidos con las nociones de mecanismos, configuración y espacio de tarea
¿Cuál es la posición del efector final?
¿Cuál es la posición del efector final?
x=acos(θ)
x=a\cos(\theta)
y=asin(θ)
y=a\sin(\theta)
posición en función del ángulo
¿Cuál es la posición del efector final?
x=acos(θ)
x=a\cos(\theta)
y=asin(θ)
y=a\sin(\theta)
posición en función del ángulo
¿Qué es lo que pasa realmente?
base
efector final
base
espacio de configuración
q=q=θ∈R⊂S1
\mathbf{q}=q=\theta \in\mathbb{R} \subset \mathcal{S}^1
(x,y)∈R2
(x,y)\in\mathbb{R}^2
espacio de tarea
efector final
¿BTE(q)?
\text{¿}{^B}\mathbf{T}_E\left(\mathbf{q}\right)\text{?}
¿BTE(q)?
\text{¿}{^B}\mathbf{T}_E\left(\mathbf{q}\right)\text{?}
=
=
¿BTE(q)?
\text{¿}{^B}\mathbf{T}_E\left(\mathbf{q}\right)\text{?}
=Trz(q)
=\mathbf{T}_{r_z}(q)
¿BTE(q)?
\text{¿}{^B}\mathbf{T}_E\left(\mathbf{q}\right)\text{?}
=Trz(q)Tx(a)
=\mathbf{T}_{r_z}(q)\mathbf{T}_x(a)
pose del efector final como función de la configuración
BTE(q)=cos(q)sin(q)00−sin(q)cos(q)0000100001100001000010a001
{^B}\mathbf{T}_E(q)=\begin{bmatrix} \cos(q) & -\sin(q) & 0 & 0 \\ \sin(q) & \cos(q) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
BTE(q)=cos(q)sin(q)00−sin(q)cos(q)000010acos(q)asin(q)01
{^B}\mathbf{T}_E(q)=\begin{bmatrix} \cos(q) & -\sin(q) & 0 & a\cos(q) \\ \sin(q) & \cos(q) & 0 & a\sin(q) \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
BTE(q)=cos(q)sin(q)00−sin(q)cos(q)000010acos(q)asin(q)01
{^B}\mathbf{T}_E(q)=\begin{bmatrix} \cos(q) & -\sin(q) & 0 & a\cos(q) \\ \sin(q) & \cos(q) & 0 & a\sin(q) \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
posición del efector final con respecto de la base, como función de la configuración
BTE(q)=cos(q)sin(q)00−sin(q)cos(q)000010acos(q)asin(q)01
{^B}\mathbf{T}_E(q)=\begin{bmatrix} \cos(q) & -\sin(q) & 0 & a\cos(q) \\ \sin(q) & \cos(q) & 0 & a\sin(q) \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
posición del efector final con respecto de la base, como función de la configuración
mapeo entre C y T
K:C→T
\mathcal{K}:\mathcal{C} \to \mathcal{T}
es la cinemática directa del manipulador serial
K(q)⊆BTE(q)=[BRE(q)01×3BoE(q)1]∈SE(3)
\mathcal{K}(\mathbf{q})\subseteq {^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})= \begin{bmatrix} {^B}\mathbf{R}_E(\mathbf{q}) & {^B}\mathbf{o}_E(\mathbf{q}) \\ \mathbf{0}_{1 \times 3} & 1 \end{bmatrix}\in SE(3)
el mapeo
K:C→T
\mathcal{K}:\mathcal{C} \to \mathcal{T}
es la cinemática directa del manipulador serial
K(q)⊆BTE(q)=[BRE(q)01×3BoE(q)1]∈SE(3)
\mathcal{K}(\mathbf{q})\subseteq {^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})= \begin{bmatrix} {^B}\mathbf{R}_E(\mathbf{q}) & {^B}\mathbf{o}_E(\mathbf{q}) \\ \mathbf{0}_{1 \times 3} & 1 \end{bmatrix}\in SE(3)
orientación del efector final
posición del efector final
q=[q1q2]∈R2
\mathbf{q}=\begin{bmatrix} q_1 \\ q_2 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2
T∼(x,y)⊂SE(2)
\mathcal{T} \sim (x,y) \subset SE(2)
espacio de configuración
espacio de tarea
Ejemplo: manipulador planar
Ejemplo: manipulador planar
¿BTE(q)?
\text{¿}{^B}\mathbf{T}_E\left(\mathbf{q}\right)\text{?}
=
=
Ejemplo: manipulador planar
¿BTE(q)?
\text{¿}{^B}\mathbf{T}_E\left(\mathbf{q}\right)\text{?}
=Trz(q1)
=\mathbf{T}_{r_z}(q_1)
Ejemplo: manipulador planar
¿BTE(q)?
\text{¿}{^B}\mathbf{T}_E\left(\mathbf{q}\right)\text{?}
=Trz(q1)Tx(a1)
=\mathbf{T}_{r_z}(q_1)\mathbf{T}_x(a_1)
Ejemplo: manipulador planar
¿BTE(q)?
\text{¿}{^B}\mathbf{T}_E\left(\mathbf{q}\right)\text{?}
=Trz(q1)Tx(a1)Trz(q2)
=\mathbf{T}_{r_z}(q_1)\mathbf{T}_x(a_1)\mathbf{T}_{r_z}(q_2)
Ejemplo: manipulador planar
¿BTE(q)?
\text{¿}{^B}\mathbf{T}_E\left(\mathbf{q}\right)\text{?}
=Trz(q1)Tx(a1)Trz(q2)Tx(a2)
=\mathbf{T}_{r_z}(q_1)\mathbf{T}_x(a_1)\mathbf{T}_{r_z}(q_2)\mathbf{T}_x(a_2)
BTE(q)=Trz(q1)Tx(a1)Trz(q2)Tx(a2)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=
\mathbf{T}_{r_z}(q_1)\mathbf{T}_x(a_1)\mathbf{T}_{r_z}(q_2)\mathbf{T}_x(a_2)
=cos(q1)sin(q1)00−sin(q1)cos(q1)0000100001100001000010a1001⋯cos(q2)sin(q2)00−sin(q2)cos(q2)0000100001100001000010a2001
=\begin{bmatrix} \cos(q_1) & -\sin(q_1) & 0 & 0 \\ \sin(q_1) & \cos(q_1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a_1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdots \\
\begin{bmatrix} \cos(q_2) & -\sin(q_2) & 0 & 0 \\ \sin(q_2) & \cos(q_2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a_2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
BTE(q)=Trz(q1)Tx(a1)Trz(q2)Tx(a2)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=
\mathbf{T}_{r_z}(q_1)\mathbf{T}_x(a_1)\mathbf{T}_{r_z}(q_2)\mathbf{T}_x(a_2)
=cos(q1+q2)sin(q1+q2)00−sin(q1+q2)cos(q1+q2)000010a2cos(q1+q2)+a1cos(q1)a2sin(q1+q2)+a1sin(q1)01
=\begin{bmatrix} \cos(q_1+q_2) & -\sin(q_1+q_2) & 0 & a_2\cos(q_1+q_2)+a_1\cos(q_1) \\
\sin(q_1+q_2) & \cos(q_1+q_2) & 0 & a_2\sin(q_1+q_2)+a_1\sin(q_1) \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
BTE(q)=Trz(q1)Tx(a1)Trz(q2)Tx(a2)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=
\mathbf{T}_{r_z}(q_1)\mathbf{T}_x(a_1)\mathbf{T}_{r_z}(q_2)\mathbf{T}_x(a_2)
K(q)=[xy]=[a2cos(q1+q2)+a1cos(q1)a2sin(q1+q2)+a1sin(q1)]
\mathcal{K}(\mathbf{q})=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} a_2\cos(q_1+q_2)+a_1\cos(q_1) \\ a_2\sin(q_1+q_2)+a_1\sin(q_1) \end{bmatrix}
=cos(q1+q2)sin(q1+q2)00−sin(q1+q2)cos(q1+q2)000010a2cos(q1+q2)+a1cos(q1)a2sin(q1+q2)+a1sin(q1)01
=\begin{bmatrix} \cos(q_1+q_2) & -\sin(q_1+q_2) & 0 & a_2\cos(q_1+q_2)+a_1\cos(q_1) \\
\sin(q_1+q_2) & \cos(q_1+q_2) & 0 & a_2\sin(q_1+q_2)+a_1\sin(q_1) \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
BTE(q)=Trz(q1)Tx(a1)Trz(q2)Tx(a2)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=
\mathbf{T}_{r_z}(q_1)\mathbf{T}_x(a_1)\mathbf{T}_{r_z}(q_2)\mathbf{T}_x(a_2)
BRE acoplado a (x,y)⇒ 2 DOF insuficientes para obtener cualquier orientación
=cos(q1+q2)sin(q1+q2)00−sin(q1+q2)cos(q1+q2)000010a2cos(q1+q2)+a1cos(q1)a2sin(q1+q2)+a1sin(q1)01
=\begin{bmatrix} \cos(q_1+q_2) & -\sin(q_1+q_2) & 0 & a_2\cos(q_1+q_2)+a_1\cos(q_1) \\
\sin(q_1+q_2) & \cos(q_1+q_2) & 0 & a_2\sin(q_1+q_2)+a_1\sin(q_1) \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
dim(C)=dim(T)
\dim\left(\mathcal{C}\right)=\dim\left(\mathcal{T}\right)
Habilidad del robot vs el espacio de tarea
dim(C)<dim(T)
\dim\left(\mathcal{C}\right)<\dim\left(\mathcal{T}\right)
Habilidad del robot vs el espacio de tarea
dim(C)>dim(T)
\dim\left(\mathcal{C}\right)>\dim\left(\mathcal{T}\right)
robot redundante
Habilidad del robot vs el espacio de tarea
q=[q1q2q3q4]⊤∈R4
\mathbf{q}=\begin{bmatrix} q_1 & q_2 & q_3 & q_4 \end{bmatrix}^\top \in \mathbb{R}^4
T∼(x,y,z)⊂SE(3)
\mathcal{T} \sim (x,y,z) \subset SE(3)
espacio de configuración
espacio de tarea
Ejemplo: robot SCARA
Ejemplo: robot SCARA
BTE(q)=Tz(a0)Trz(q1)Ty(a1)Trz(q2)Ty(a2)Trz(q3)Tz(−q4)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\\
\mathbf{T}_z(a_0)\mathbf{T}_{r_z}(q_1)\mathbf{T}_y(a_1)\\ \mathbf{T}_{r_z}(q_2)\mathbf{T}_y(a_2)\mathbf{T}_{r_z}(q_3)
\mathbf{T}_z(-q_4)
Ejemplo: robot SCARA
BTE(q)=Tz(a0)Trz(q1)Ty(a1)Trz(q2)Ty(a2)Trz(q3)Tz(−q4)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\\
\mathbf{T}_z(a_0)\mathbf{T}_{r_z}(q_1)\mathbf{T}_y(a_1)\\ \mathbf{T}_{r_z}(q_2)\mathbf{T}_y(a_2)\mathbf{T}_{r_z}(q_3)
\mathbf{T}_z(-q_4)
Ejemplo: robot SCARA
BTE(q)=Tz(a0)Trz(q1)Ty(a1)Trz(q2)Ty(a2)Trz(q3)Tz(−q4)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\\
\mathbf{T}_z(a_0)\mathbf{T}_{r_z}(q_1)\mathbf{T}_y(a_1)\\ \mathbf{T}_{r_z}(q_2)\mathbf{T}_y(a_2)\mathbf{T}_{r_z}(q_3)
\mathbf{T}_z(-q_4)
Ejemplo: robot SCARA
BTE(q)=Tz(a0)Trz(q1)Ty(a1)Trz(q2)Ty(a2)Trz(q3)Tz(−q4)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\\
\mathbf{T}_z(a_0)\mathbf{T}_{r_z}(q_1)\mathbf{T}_y(a_1)\\ \mathbf{T}_{r_z}(q_2)\mathbf{T}_y(a_2)\mathbf{T}_{r_z}(q_3)
\mathbf{T}_z(-q_4)
Ejemplo: robot SCARA
BTE(q)=Tz(a0)Trz(q1)Ty(a1)Trz(q2)Ty(a2)Trz(q3)Tz(−q4)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\\
\mathbf{T}_z(a_0)\mathbf{T}_{r_z}(q_1)\mathbf{T}_y(a_1)\\ \mathbf{T}_{r_z}(q_2)\mathbf{T}_y(a_2)\mathbf{T}_{r_z}(q_3)
\mathbf{T}_z(-q_4)
Ejemplo: robot SCARA
BTE(q)=Tz(a0)Trz(q1)Ty(a1)Trz(q2)Ty(a2)Trz(q3)Tz(−q4)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\\
\mathbf{T}_z(a_0)\mathbf{T}_{r_z}(q_1)\mathbf{T}_y(a_1)\\ \mathbf{T}_{r_z}(q_2)\mathbf{T}_y(a_2)\mathbf{T}_{r_z}(q_3)
\mathbf{T}_z(-q_4)
Ejemplo: robot SCARA
BTE(q)=Tz(a0)Trz(q1)Ty(a1)Trz(q2)Ty(a2)Trz(q3)Tz(−q4)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\\
\mathbf{T}_z(a_0)\mathbf{T}_{r_z}(q_1)\mathbf{T}_y(a_1)\\ \mathbf{T}_{r_z}(q_2)\mathbf{T}_y(a_2)\mathbf{T}_{r_z}(q_3)
\mathbf{T}_z(-q_4)
Ejemplo: robot SCARA
BTE(q)=Tz(a0)Trz(q1)Ty(a1)Trz(q2)Ty(a2)Trz(q3)Tz(−q4)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\\
\mathbf{T}_z(a_0)\mathbf{T}_{r_z}(q_1)\mathbf{T}_y(a_1)\\ \mathbf{T}_{r_z}(q_2)\mathbf{T}_y(a_2)\mathbf{T}_{r_z}(q_3)
\mathbf{T}_z(-q_4)
etcétera
Ejemplo: robot SCARA
BTE(q)=Tz(a0)Trz(q1)Ty(a1)Trz(q2)Ty(a2)Trz(q3)Tz(−q4)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\\
\mathbf{T}_z(a_0)\mathbf{T}_{r_z}(q_1)\mathbf{T}_y(a_1)\\ \mathbf{T}_{r_z}(q_2)\mathbf{T}_y(a_2)\mathbf{T}_{r_z}(q_3)
\mathbf{T}_z(-q_4)
etcétera
cálculos tediosos y complicados ⇒ MATLAB
>> be3027_clase5_manipuladores.mlx
de las infinitas formas para llegar a {E} desde {B}, ¿Cuál tomamos? ¿Cuál es la mejor?
la convención de Denavit-Hartenberg propone un estándar de transformaciones junta a junta, cada una formada por cuatro transformaciones elementales
La convención de Denavit-Hartenberg
manipulador con
n juntas
n+1 eslabones
Aj≡j−1Tj=Trz(θj)Tz(dj)Tx(aj)Trx(αj)
\mathbf{A}_j\equiv^{j-1}\mathbf{T}_j \\
=\mathbf{T}_{r_z}(\theta_j)\mathbf{T}_z(d_j)\mathbf{T}_x(a_j)\mathbf{T}_{r_x}(\alpha_j)
manipulador con
n juntas
n+1 eslabones
Aj≡j−1Tj=Trz(θj)Tz(dj)Tx(aj)Trx(αj)
\mathbf{A}_j\equiv^{j-1}\mathbf{T}_j \\
=\mathbf{T}_{r_z}(\theta_j)\mathbf{T}_z(d_j)\mathbf{T}_x(a_j)\mathbf{T}_{r_x}(\alpha_j)
manipulador con
n juntas
n+1 eslabones
se presentan en forma de tabla
Para llegar de una junta a otra entonces:
- Roto en z hasta hacer coincidir xj−1 con xj en orientación.
- Me traslado en z hasta que xj−1 y xj sean co-lineales.
- Me traslado en x hasta que coincidan los orígenes de los dos marcos de referencia.
- Roto en x hasta hacer coincidir zj−1 con zj.
considera y parametriza sólo dos tipos de junta
Revoluta (R)
Aj(qj)=Trz(qj)Tz(dj)Tx(aj)Trx(αj)
\mathbf{A}_j(q_j)=\mathbf{T}_{r_z}(q_j)\mathbf{T}_z(d_j)\mathbf{T}_x(a_j)\mathbf{T}_{r_x}(\alpha_j)
Prismática (P)
Aj(qj)=Trz(θj)Tz(qj)Tx(aj)Trx(αj)
\mathbf{A}_j(q_j)=\mathbf{T}_{r_z}(\theta_j)\mathbf{T}_z(q_j)\mathbf{T}_x(a_j)\mathbf{T}_{r_x}(\alpha_j)
considera y parametriza sólo dos tipos de junta
Revoluta (R)
Aj(qj)=Trz(qj)Tz(dj)Tx(aj)Trx(αj)
\mathbf{A}_j(q_j)=\mathbf{T}_{r_z}(q_j)\mathbf{T}_z(d_j)\mathbf{T}_x(a_j)\mathbf{T}_{r_x}(\alpha_j)
Prismática (P)
Aj(qj)=Trz(θj)Tz(qj)Tx(aj)Trx(αj)
\mathbf{A}_j(q_j)=\mathbf{T}_{r_z}(\theta_j)\mathbf{T}_z(q_j)\mathbf{T}_x(a_j)\mathbf{T}_{r_x}(\alpha_j)
rota alrededor de z
se traslada sobre z
¿Cinemática directa?
BTE(q)=j=1∏nAj(qj)=A1(q1)A2(q2)⋯An(qn)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}\mathbf{A}_j(q_j)=\mathbf{A}_1(q_1)\mathbf{A}_2(q_2)\cdots\mathbf{A}_n(q_n)
para cualquier manipulador serial
Ejemplo: manipulador planar
parámetros DH
θjq1q2dj00aja1a2αj00
\begin{array}{c|c|c|c}
\theta_j & d_j & a_j & \alpha_j \\ \hline
q_1 & 0 & a_1 & 0 \\ \hline
q_2 & 0 & a_2 & 0 \\
\end{array}
parámetros DH
θjq1q2dj00aja1a2αj00
\begin{array}{c|c|c|c}
\theta_j & d_j & a_j & \alpha_j \\ \hline
q_1 & 0 & a_1 & 0 \\ \hline
q_2 & 0 & a_2 & 0 \\
\end{array}
BTE(q)=A1(q1)A2(q2)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\mathbf{A}_1(q_1)\mathbf{A}_2(q_2)
R
R
manipulador RR
parámetros DH
θjq1q2dj00aja1a2αj00
\begin{array}{c|c|c|c}
\theta_j & d_j & a_j & \alpha_j \\ \hline
q_1 & 0 & a_1 & 0 \\ \hline
q_2 & 0 & a_2 & 0 \\
\end{array}
BTE(q)=A1(q1)A2(q2)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\mathbf{A}_1(q_1)\mathbf{A}_2(q_2)
R
R
manipulador RR
parámetros DH
θjq1q2dj00aja1a2αj00
\begin{array}{c|c|c|c}
\theta_j & d_j & a_j & \alpha_j \\ \hline
q_1 & 0 & a_1 & 0 \\ \hline
q_2 & 0 & a_2 & 0 \\
\end{array}
BTE(q)=A1(q1)A2(q2)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\mathbf{A}_1(q_1)\mathbf{A}_2(q_2)
R
R
manipulador RR
parámetros DH
θjq1q2dj00aja1a2αj00
\begin{array}{c|c|c|c}
\theta_j & d_j & a_j & \alpha_j \\ \hline
q_1 & 0 & a_1 & 0 \\ \hline
q_2 & 0 & a_2 & 0 \\
\end{array}
BTE(q)=A1(q1)A2(q2)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\mathbf{A}_1(q_1)\mathbf{A}_2(q_2)
R
R
manipulador RR
parámetros DH
θjq1q2dj00aja1a2αj00
\begin{array}{c|c|c|c}
\theta_j & d_j & a_j & \alpha_j \\ \hline
q_1 & 0 & a_1 & 0 \\ \hline
q_2 & 0 & a_2 & 0 \\
\end{array}
BTE(q)=A1(q1)A2(q2)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\mathbf{A}_1(q_1)\mathbf{A}_2(q_2)
R
R
manipulador RR
parámetros DH
θjq1q2dj00aja1a2αj00
\begin{array}{c|c|c|c}
\theta_j & d_j & a_j & \alpha_j \\ \hline
q_1 & 0 & a_1 & 0 \\ \hline
q_2 & 0 & a_2 & 0 \\
\end{array}
BTE(q)=A1(q1)A2(q2)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\mathbf{A}_1(q_1)\mathbf{A}_2(q_2)
R
R
manipulador RR
parámetros DH
θjq1q2dj00aja1a2αj00
\begin{array}{c|c|c|c}
\theta_j & d_j & a_j & \alpha_j \\ \hline
q_1 & 0 & a_1 & 0 \\ \hline
q_2 & 0 & a_2 & 0 \\
\end{array}
BTE(q)=A1(q1)A2(q2)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\mathbf{A}_1(q_1)\mathbf{A}_2(q_2)
R
R
manipulador RR
parámetros DH
θjq1q2dj00aja1a2αj00
\begin{array}{c|c|c|c}
\theta_j & d_j & a_j & \alpha_j \\ \hline
q_1 & 0 & a_1 & 0 \\ \hline
q_2 & 0 & a_2 & 0 \\
\end{array}
BTE(q)=A1(q1)A2(q2)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\mathbf{A}_1(q_1)\mathbf{A}_2(q_2)
R
R
manipulador RR
parámetros DH
θjq1q2dj00aja1a2αj00
\begin{array}{c|c|c|c}
\theta_j & d_j & a_j & \alpha_j \\ \hline
q_1 & 0 & a_1 & 0 \\ \hline
q_2 & 0 & a_2 & 0 \\
\end{array}
BTE(q)=A1(q1)A2(q2)
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\mathbf{A}_1(q_1)\mathbf{A}_2(q_2)
R
R
manipulador RR
A1(q1)=Trz(q1)Tz(0)Tx(a1)Trx(0)
\mathbf{A}_1(q_1)=\mathbf{T}_{r_z}(q_1)\mathbf{T}_z(0)\mathbf{T}_x(a_1)\mathbf{T}_{r_x}(0)
=cos(q1)sin(q1)00−sin(q1)cos(q1)00001000011000010000100001100001000010a10011000010000100001
=\begin{bmatrix} \cos(q_1) & -\sin(q_1) & 0 & 0 \\ \sin(q_1) & \cos(q_1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a_1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
A2(q2)=Trz(q2)Tz(0)Tx(a2)Trx(0)
\mathbf{A}_2(q_2)=\mathbf{T}_{r_z}(q_2)\mathbf{T}_z(0)\mathbf{T}_x(a_2)\mathbf{T}_{r_x}(0)
=cos(q2)sin(q2)00−sin(q2)cos(q2)00001000011000010000100001100001000010a20011000010000100001
=\begin{bmatrix} \cos(q_2) & -\sin(q_2) & 0 & 0 \\ \sin(q_2) & \cos(q_2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a_2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
A1(q1)=Trz(q1)Tz(0)Tx(a1)Trx(0)
\mathbf{A}_1(q_1)=\mathbf{T}_{r_z}(q_1)\mathbf{T}_z(0)\mathbf{T}_x(a_1)\mathbf{T}_{r_x}(0)
=cos(q1)sin(q1)00−sin(q1)cos(q1)00001000011000010000100001100001000010a10011000010000100001
=\begin{bmatrix} \cos(q_1) & -\sin(q_1) & 0 & 0 \\ \sin(q_1) & \cos(q_1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a_1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
A2(q2)=Trz(q2)Tz(0)Tx(a2)Trx(0)
\mathbf{A}_2(q_2)=\mathbf{T}_{r_z}(q_2)\mathbf{T}_z(0)\mathbf{T}_x(a_2)\mathbf{T}_{r_x}(0)
=cos(q2)sin(q2)00−sin(q2)cos(q2)00001000011000010000100001100001000010a20011000010000100001
=\begin{bmatrix} \cos(q_2) & -\sin(q_2) & 0 & 0 \\ \sin(q_2) & \cos(q_2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a_2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
BTE(q)=cos(q1+q2)sin(q1+q2)00−sin(q1+q2)cos(q1+q2)000010a2cos(q1+q2)+a1cos(q1)a2sin(q1+q2)+a1sin(q1)01
{^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})=\begin{bmatrix} \cos(q_1+q_2) & -\sin(q_1+q_2) & 0 & a_2\cos(q_1+q_2)+a_1\cos(q_1) \\ \sin(q_1+q_2) & \cos(q_1+q_2) & 0 & a_2\sin(q_1+q_2)+a_1\sin(q_1) \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
Ejemplo: robot SCARA
parámetros DH
θjq1q20q4dj00q3d4aja1a200αj0π00
\begin{array}{c|c|c|c}
\theta_j & d_j & a_j & \alpha_j \\ \hline
q_1 & 0 & a_1 & 0 \\ \hline
q_2 & 0 & a_2 & \pi \\ \hline
0 & q_3 & 0 & 0 \\ \hline
q_4 & d_4 & 0 & 0 \\
\end{array}
parámetros DH
θjq1q20q4dj00q3d4aja1a200αj0π00
\begin{array}{c|c|c|c}
\theta_j & d_j & a_j & \alpha_j \\ \hline
q_1 & 0 & a_1 & 0 \\ \hline
q_2 & 0 & a_2 & \pi \\ \hline
0 & q_3 & 0 & 0 \\ \hline
q_4 & d_4 & 0 & 0 \\
\end{array}
manipulador RRPR
R
R
P
R
parámetros DH
θjq1q20q4dj00q3d4aja1a200αj0π00
\begin{array}{c|c|c|c}
\theta_j & d_j & a_j & \alpha_j \\ \hline
q_1 & 0 & a_1 & 0 \\ \hline
q_2 & 0 & a_2 & \pi \\ \hline
0 & q_3 & 0 & 0 \\ \hline
q_4 & d_4 & 0 & 0 \\
\end{array}
manipulador RRPR
R
R
P
R
¿BTE(q) tediosa? MATLAB
>> be3027_clase5_manipuladores.mlx
Algunos últimos detalles
{B}
\{B\}
{E}
\{E\}
{I}
\{I\}
{I}
\{I\}
{F}
\{F\}
ITB
{^I}\mathbf{T}_{B}
ETF
{^E}\mathbf{T}_{F}
Transformaciones de base y herramienta
K(q)⊆BTE(q)
\mathcal{K}(\mathbf{q})\subseteq {^B}\mathbf{T}_E(\mathbf{q})
ITB
{^I}\mathbf{T}_B
ETF
{^E}\mathbf{T}_F
=ITF(q)
={^I}\mathbf{T}_F\left(\mathbf{q}\right)
transformación de base
transformación de herramienta
La especificación URDF
Cinemática directa de manipuladores seriales BE3027 - Robótica Médica
BE3027 - Lecture 5 (2024)
By Miguel Enrique Zea Arenales
BE3027 - Lecture 5 (2024)
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