Observadores de estado para sistemas LTI determinísticos
IE3041 - Sistemas de Control 2
Un detalle que tenemos pendiente
la retroalimentación de estado probó ser una técnica poderosa, inclusive superando la perspectiva clásica de control
la retroalimentación de estado probó ser una técnica poderosa, inclusive superando la perspectiva clásica de control
sin embargo, dejamos a un lado un detalle...
la retroalimentación de estado probó ser una técnica poderosa, inclusive superando la perspectiva clásica de control
sin embargo, dejamos a un lado un detalle...
¿Cómo obtenemos el estado del sistema si sólo tenemos acceso a las salidas | mediciones?
la retroalimentación de estado probó ser una técnica poderosa, inclusive superando la perspectiva clásica de control
sin embargo, dejamos a un lado un detalle...
¿Cómo obtenemos el estado del sistema si sólo tenemos acceso a las salidas | mediciones?
mediante observadores de estado
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\mathbf{y}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
Observadores para sistemas LTI
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\mathbf{y}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
???
observador de estado
Observadores para sistemas LTI
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\mathbf{y}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
\mathbf{K}
\mathbf{x}
controlador lineal
state
feedback
???
observador de estado
Observadores para sistemas LTI
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\mathbf{y}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
\mathbf{K}
\mathbf{x}
(-1)
controlador lineal
state
feedback
retroalimentación negativa
???
observador de estado
Observadores para sistemas LTI
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\mathbf{y}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
\mathbf{K}
\mathbf{x}
(-1)
controlador lineal
state
feedback
retroalimentación negativa
???
observador de estado
(valor) estimado del estado
Observadores para sistemas LTI
\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\mathbf{y}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
\mathbf{K}
\mathbf{x}
(-1)
controlador lineal
state
feedback
retroalimentación negativa
???
observador de estado
\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}
¿Qué es?
¿Cuándo funciona?
(valor) estimado del estado
Observadores para sistemas LTI
\mathbf{y}
\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}
???
¿Qué es un observador?
\mathbf{y}
\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}
es un estimador
???
¿Qué es un observador?
\mathbf{y}
\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}
es un estimador
???
sistema que genera estimados | estimaciones
\triangleq
¿Qué es un observador?
\mathbf{y}
\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}
es un estimador
???
sistema que genera estimados | estimaciones
\(\Rightarrow\) tiene dinámica
\triangleq
¿Qué es un observador?
(según Luenberger)
\mathbf{y}
\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}
es un estimador
???
sistema que genera estimados | estimaciones
\(\Rightarrow\) tiene dinámica
\triangleq
\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)
¿Qué es un observador?
\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)
Observadores de Luenberger
\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)
predicción
emplea lo que se conoce del sistema
Observadores de Luenberger
\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)
predicción
emplea lo que se conoce del sistema
corrección
emplea las mediciones para corregir la predicción
Observadores de Luenberger
\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)
predicción
emplea lo que se conoce del sistema
corrección
emplea las mediciones para corregir la predicción
Observadores de Luenberger
mediciones
\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)
predicción
emplea lo que se conoce del sistema
corrección
emplea las mediciones para corregir la predicción
Observadores de Luenberger
salida según el modelo LTI
=\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}
\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)
predicción
emplea lo que se conoce del sistema
corrección
emplea las mediciones para corregir la predicción
Observadores de Luenberger
matriz de ganancias
\in\mathbb{R}^{n \times p}
cuando podemos reconstruir al estado a partir de las mediciones
¿Cuándo funciona el observador?
cuando podemos reconstruir al estado a partir de las mediciones
\(\Rightarrow\) observabilidad
¿Cuándo funciona el observador?
cuando podemos reconstruir al estado a partir de las mediciones
\(\Rightarrow\) observabilidad
veremos que, en general
¿Cuándo funciona el observador?
cuando podemos reconstruir al estado a partir de las mediciones
\(\Rightarrow\) observabilidad
veremos que, en general
controlabilidad \(\sim\) observabilidad
control \(\sim\) observación
¿Cuándo funciona el observador?
cuando podemos reconstruir al estado a partir de las mediciones
\(\Rightarrow\) observabilidad
veremos que, en general
controlabilidad \(\sim\) observabilidad
controlador \(\sim\) observador
control \(\sim\) observación
¿Cuándo funciona el observador?
Teorema:
\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\
\mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x} \end{cases}
es completamente observable (C.O.) ssi
\mathrm{rank}\left(\mathbf{\Omega}\right)=n
\mathbf{\Omega}=\begin{bmatrix} \mathbf{C} \\ \mathbf{C}\mathbf{A} \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^2 \\ \vdots \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^{n-1} \end{bmatrix}
matriz de observabilidad del sistema
Observabilidad
Teorema:
Observabilidad
\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u} \\
\mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x} \end{cases}
es completamente observable (C.O.) ssi
\mathrm{rank}\left(\mathbf{\Omega}\right)=n
\mathbf{\Omega}=\begin{bmatrix} \mathbf{C} \\ \mathbf{C}\mathbf{A} \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^2 \\ \vdots \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^{n-1} \end{bmatrix}
matriz de observabilidad del sistema
Omega = obsv(A, C)
rank(Omega)El problema de observación
ya que sabemos cómo estabilizar, codifiquemos el problema de observación como uno de estabilización
idea:
error de estimación (a estabilizar)
\mathbf{e}=\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}
error de estimación (a estabilizar)
\mathbf{e}=\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}
si el observador funciona entonces \(\mathbf{e}\to\mathbf{0}\) cuando \(t\to\infty\)
error de estimación (a estabilizar)
\mathbf{e}=\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}
si el observador funciona entonces \(\mathbf{e}\to\mathbf{0}\) cuando \(t\to\infty\)
para estabilizar el error necesitamos su dinámica:
error de estimación (a estabilizar)
\mathbf{e}=\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}
si el observador funciona entonces \(\mathbf{e}\to\mathbf{0}\) cuando \(t\to\infty\)
para estabilizar el error necesitamos su dinámica:
\dot{\mathbf{e}}=\dot{\hat{\mathbf{x}}}-\dot{\mathbf{x}}=
\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)-\left(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\right)
=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{L}\left(\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{C}\mathbf{x}\right)-\mathbf{A}\mathbf{x}
para estabilizar el error necesitamos su dinámica:
\dot{\mathbf{e}}=\dot{\hat{\mathbf{x}}}-\dot{\mathbf{x}}=
\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)-\left(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\right)
=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{L}\left(\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{C}\mathbf{x}\right)-\mathbf{A}\mathbf{x}
=\mathbf{A}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right)-\mathbf{L}\mathbf{C}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right)
=\mathbf{A}\mathbf{e}-\mathbf{L}\mathbf{C}\mathbf{e}
para estabilizar el error necesitamos su dinámica:
\dot{\mathbf{e}}=\dot{\hat{\mathbf{x}}}-\dot{\mathbf{x}}=
\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)-\left(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\right)
=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{L}\left(\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{C}\mathbf{x}\right)-\mathbf{A}\mathbf{x}
=\mathbf{A}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right)-\mathbf{L}\mathbf{C}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right)
=\mathbf{A}\mathbf{e}-\mathbf{L}\mathbf{C}\mathbf{e}
para estabilizar el error necesitamos su dinámica:
\dot{\mathbf{e}}=\dot{\hat{\mathbf{x}}}-\dot{\mathbf{x}}=
\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)-\left(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\right)
=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}
=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{L}\left(\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{C}\mathbf{x}\right)-\mathbf{A}\mathbf{x}
=\mathbf{A}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right)-\mathbf{L}\mathbf{C}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right)
=\mathbf{A}\mathbf{e}-\mathbf{L}\mathbf{C}\mathbf{e}
para estabilizar el error necesitamos su dinámica:
\dot{\mathbf{e}}=\dot{\hat{\mathbf{x}}}-\dot{\mathbf{x}}=
\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)-\left(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\right)
=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}
\mathbf{A}_{c\ell}
=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{L}\left(\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{C}\mathbf{x}\right)-\mathbf{A}\mathbf{x}
=\mathbf{A}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right)-\mathbf{L}\mathbf{C}\left(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right)
=\mathbf{A}\mathbf{e}-\mathbf{L}\mathbf{C}\mathbf{e}
para estabilizar el error necesitamos su dinámica:
\dot{\mathbf{e}}=\dot{\hat{\mathbf{x}}}-\dot{\mathbf{x}}=
\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)-\left(\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\right)
=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}
\Rightarrow \dot{\mathbf{e}}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{e}
\mathbf{A}_{c\ell}
¿Qué debe cumplirse para que el sistema sea G.A.S.?
¿Qué debe cumplirse para que el sistema sea G.A.S.?
los eigenvalores/polos de \(\mathbf{A}_{c\ell}\) estén todos en el lado izquierdo del plano complejo
\(\mathbf{A}_{c\ell}\) sea Hurwitz o matriz de estabilidad
\equiv
¿Qué debe cumplirse para que el sistema sea G.A.S.?
los eigenvalores/polos de \(\mathbf{A}_{c\ell}\) estén todos en el lado izquierdo del plano complejo
\(\mathbf{A}_{c\ell}\) sea Hurwitz o matriz de estabilidad
\equiv
en esencia es el mismo problema que teníamos para el caso de control (!!)
\dot{\mathbf{e}}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{e}
si \(\left(\mathbf{A},\mathbf{C}\right)\) es un par C.O. y \(\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)\), entonces
Observación de sistemas LTI
\dot{\mathbf{e}}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{e}
si \(\left(\mathbf{A},\mathbf{C}\right)\) es un par C.O. y \(\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)\), entonces
¿Cómo seleccionar?
para que sea Hurwitz
Observación de sistemas LTI
\dot{\mathbf{e}}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{e}
si \(\left(\mathbf{A},\mathbf{C}\right)\) es un par C.O. y \(\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)\), entonces
¿Cómo seleccionar?
para que sea Hurwitz
L = place(A', C', p)'L = lqr(A', C', B*B', eye(p))'Observación de sistemas LTI
Pole placement
Regulador Lineal Cuadrático
\dot{\mathbf{e}}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{e}
si \(\left(\mathbf{A},\mathbf{C}\right)\) es un par C.O. y \(\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)\), entonces
¿Cómo seleccionar?
para que sea Hurwitz
L = place(A', C', p)'L = lqr(A', C', B*B', eye(p))'Observación de sistemas LTI
Pole placement
Regulador Lineal Cuadrático
¿Qué corresponde a la entrada? ¿Qué se penaliza?
Resulta que esto es más parecido a un filtro de Kalman (en estado estacionario) que propiamente un LQR
\dot{\mathbf{e}}=\left(\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}\right)\mathbf{e}=\mathbf{A}_{c\ell}\mathbf{e}
si \(\left(\mathbf{A},\mathbf{C}\right)\) es un par C.O. y \(\dot{\hat{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}+\mathbf{B}\mathbf{u}+\mathbf{L}\left(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\right)\), entonces
¿Cómo seleccionar?
para que sea Hurwitz
L = place(A', C', p)'L = lqr(A', C', B*B', eye(p))'Observación de sistemas LTI
Pole placement
Regulador Lineal Cuadrático
¿Qué corresponde a la entrada? ¿Qué se penaliza?
Resulta que esto es más parecido a un filtro de Kalman (en estado estacionario) que propiamente un LQR
...más adelante
Diseñe un observador de Luenberger usando pole-placement, con \(p_{1,2}=-3\pm\jmath\), para el sistema:
\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u \\
y=\begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix}\mathbf{x} \end{cases}
Ejemplo
Diseñe un observador de Luenberger usando pole-placement, con \(p_{1,2}=-3\pm\jmath\), para el sistema:
\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u \\
y=\begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix}\mathbf{x} \end{cases}
Ejemplo
\Rightarrow \mathbf{L}=\begin{bmatrix} \ell_1 \\ \ell_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 11/7 \\ 41/21 \end{bmatrix}
Ejemplo
Diseñe un observador de Luenberger usando pole-placement, con \(p_{1,2}=-3\pm\jmath\), para el sistema:
\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}\mathbf{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u \\
y=\begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix}\mathbf{x} \end{cases}
\Rightarrow \mathbf{L}=\begin{bmatrix} \ell_1 \\ \ell_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 11/7 \\ 41/21 \end{bmatrix}
ya con la matriz de ganancias, ¿Cómo implementamos el observador?
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\mathbf{y}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
Implementando el observador
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\mathbf{y}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
Implementando el observador
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\mathbf{y}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
Implementando el observador
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\mathbf{y}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}
Implementando el observador
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\mathbf{y}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
\mathbf{K}
(-1)
\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}
-\mathbf{K}\hat{\mathbf{x}}
Implementando el observador
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\mathbf{y}
\dot{\mathbf{x}}
\mathbf{x}
\mathbf{K}
(-1)
\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}
-\mathbf{K}\hat{\mathbf{x}}
software
Implementando el observador
Implementando el observador
\mathbf{B}
\boldsymbol{+}
\boldsymbol{\int}
\mathbf{C}
\mathbf{A}
\mathbf{u}
\mathbf{y}
\dot{\hat{\mathbf{x}}}
\hat{\mathbf{x}}
\hat{\mathbf{x}} \approx \mathbf{x}
\mathbf{L}
\boldsymbol{-}
\boldsymbol{+}
\hat{\mathbf{y}}
1. Dualidad entre los problemas de control y observación:
Algunos detalles adicionales
1. Dualidad entre los problemas de control y observación:
observamos que se emplearon las mismas herramientas para resolver ambos problemas
control:
observación:
\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}
\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}
Algunos detalles adicionales
1. Dualidad entre los problemas de control y observación:
observamos que se emplearon las mismas herramientas para resolver ambos problemas
control:
observación:
\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}
\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}
duales equivalentes
Algunos detalles adicionales
1. Dualidad entre los problemas de control y observación:
observamos que se emplearon las mismas herramientas para resolver ambos problemas
control:
observación:
\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}
\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}
\to \mathbf{A}_{c\ell}^\top=\mathbf{A}^\top-\mathbf{C}^\top\mathbf{L}^\top
\sigma\left(\mathbf{A}_{c\ell}\right)=\sigma\left(\mathbf{A}_{c\ell}^\top\right)
duales equivalentes
Algunos detalles adicionales
1. Dualidad entre los problemas de control y observación:
observamos que se emplearon las mismas herramientas para resolver ambos problemas
control:
observación:
\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K}
\mathbf{A}_{c\ell}=\mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C}
duales equivalentes
Algunos detalles adicionales
obsv(A, C)
== ctrb(A', C')'2. Diseño independiente de controlador y observador:
Algunos detalles adicionales
2. Diseño independiente de controlador y observador:
el principio de separación nos garantiza (para sistemas LTI) que las matrices \(\mathbf{K}\) y \(\mathbf{L}\) no se afectan entre sí
\begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}} \\ \dot{\mathbf{e}} \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{e} \end{bmatrix}
Algunos detalles adicionales
2. Diseño independiente de controlador y observador:
el principio de separación nos garantiza (para sistemas LTI) que las matrices \(\mathbf{K}\) y \(\mathbf{L}\) no se afectan entre sí
\begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}} \\ \dot{\mathbf{e}} \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{e} \end{bmatrix}
dinámica completa:
estabilización + observación
Algunos detalles adicionales
2. Diseño independiente de controlador y observador:
el principio de separación nos garantiza (para sistemas LTI) que las matrices \(\mathbf{K}\) y \(\mathbf{L}\) no se afectan entre sí
\begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}} \\ \dot{\mathbf{e}} \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{K} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{A}-\mathbf{L}\mathbf{C} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{e} \end{bmatrix}
dinámica completa:
estabilización + observación
Algunos detalles adicionales
3. Primero observación y luego estabilización:
Algunos detalles adicionales
3. Primero observación y luego estabilización:
no se recomienda hacer control hasta que se tenga un buen estimado del estado, por lo que el observador debe ser más agresivo que el control
Algunos detalles adicionales
3. Primero observación y luego estabilización:
no hay problema con que el observador sea agresivo ya que es software, sólo debe evitarse emplear (puede "apagarse" el control al inicio) los primeros estimados porque pueden ser muy grandes
Algunos detalles adicionales
3. Primero observación y luego estabilización:
no hay problema con que el observador sea agresivo ya que es software, sólo debe evitarse emplear (puede "apagarse" el control al inicio) los primeros estimados porque pueden ser muy grandes
Algunos detalles adicionales
>> ie3041_clase8_luenberger.m
4. Observación en sistemas no lineales:
Algunos detalles adicionales
4. Observación en sistemas no lineales:
Algunos detalles adicionales
para sistemas no lineales se suele emplear extensiones del filtro de Kalman
4. Observación en sistemas no lineales:
Algunos detalles adicionales
para sistemas no lineales se suele emplear extensiones del filtro de Kalman
por lo tanto primero debemos hablar del filtro de Kalman antes de llegar a esto
4. Observación en sistemas no lineales:
Algunos detalles adicionales
para sistemas no lineales se suele emplear extensiones del filtro de Kalman
por lo tanto primero debemos hablar del filtro de Kalman antes de llegar a esto
...próxima clase
IE3041 - Lecture 8 (2025)
By Miguel Enrique Zea Arenales
