Opetus.tv PRO
Opetus.tv
MAA5: Analyyttinen geometria 4/5
YMPYRÄ
Ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö
Ympyrän yhtälön yleinen muoto
Ympyrä ja suora
Johdantoesimerkki
a) Määritä pisteen (6, 8) etäisyys pisteestä (3, 4).
b) Minkä yhtälön pisteen P = (x, y) koordinaatit x ja y toteuttavat, jos pisteen P etäisyys pisteestä (3, 4) on 5?
c) Päättele, millainen käyrä vastaa b-kohdan yhtälöä. Tarkista piirtämällä sopivalla ohjelmalla.
Ratkaisu
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
a) Lasketaan pisteiden välinen etäisyys pisteiden etäisyyden kaavalla:
\sqrt{(6-3)^2+(8-4)^2}
=\sqrt{3^2+4^2}
=\sqrt{9+16}
=\sqrt{25}
=5
Vastaus: Pisteiden (6, 8) ja (3, 4) välinen etäisyys on 5
b) Muodostetaan pisteiden (x, y) ja (3, 4) välinen etäisyys:
\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2}
Pisteiden välinen etäisyys on 5, joten
\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2}=5\qquad ||()^2
(x-3)^2+(y-4)^2=5^2
(x-3)^2+(y-4)^2=25
Vastaus: Pisteen P koordinaatit toteuttavat yhtälön
(x-3)^2+(y-4)^2=25
c) Koska jokaisen pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (3, 4) on 5, ovat pisteet kaikki pisteet (x, y) yhtä kaukana pisteestä (3, 4). Voidaan siis ajatella, että b-kohdan yhtälö kuvaa ympyrää, jonka keskipiste on (3, 4) ja säde 5.
Ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö
Lause
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2
Ympyrän, jonka keskipiste on
(x_0,y_0)
ja säde r, yhtälö on
Millaista pistejoukkoa yhtälö kuvaa?
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=a
a>0
ympyrä
a=0
piste
a<0
tyhjäjoukko
Ympyrän yhtälön yleinen muoto
Esimerkki
Kuvaako käyrän yhtälö ympyrää?
Ratkaisu
x^2+y^2-4x+4y-1=0
Yritetään muokata käyrän yhtälö ympyrän keskipistemuotoiseksi yhtälöksi:
x^2+y^2-4x+4y-1=0
x^2-4x+y^2+4y-1=0
x^2-4x+4+y^2+4y+4=1+4+4
x^2-4x+y^2+4y=1
(x-2)^2+(y+2)^2=9
(x-2)^2+(y+2)^2=3^2
Vastaus: Yhtälö kuvaa ympyrää, jonka keskipiste on (2, -2) ja säde 3.
Ympyrän yhtälön yleinen muoto
Ympyrän yhtälö voidaan aina kirjoittaa yleiseen muotoon
x^2+y^2+ax+by+c=0
Esimerkki
(x-3)^2+(y-4)^2=25
Olkoon ympyrän keskipiste (3, 4) ja säde 5. Muodosta ympyrän yhtälö yleisessä muodossa.
Ratkaisu
Muodostetaan ensin ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö:
(x-3)^2+(y-4)^2=5^2
Poistetaan nyt lausekkeesta sulkeet ja sievennetään lauseke:
x^2-6x+9+y^2-8y+16=25
x^2+y^2-6x-8y+25-25=0
x^2+y^2-6x-8y=0
Vastaus: Ympyrän yhtälön yleinen muoto on
x^2+y^2-6x-8y=0
Lause
Ympyrä ja suora
Lause
Suora on ympyrän tangentti, jos ja vain jos sen etäisyys ympyrän keskipisteestä on sama kuin ympyrän säde.
*Pisteen ja suoran välinen etäisyys
\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
Ympyrällä ja suoralla voi olla
nolla leikkauspistettä
1 leikkauspiste
2 leikkauspistettä
Jos leikkauspisteitä on yksi, kutsutaan suoraa ympyrän tangentiksi.
- tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan
sekantti
MAA5 Analyyttinen geometria 4/5
By Opetus.tv
