MAA5: Analyyttinen geometria 4/5

YMPYRÄ

Ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö

Ympyrän yhtälön yleinen muoto

Ympyrä ja suora

Johdantoesimerkki

a) Määritä pisteen (6, 8) etäisyys pisteestä (3, 4).

b) Minkä yhtälön pisteen P = (x, y) koordinaatit x ja y toteuttavat, jos pisteen P etäisyys pisteestä (3, 4) on 5?

c) Päättele, millainen käyrä vastaa b-kohdan yhtälöä. Tarkista piirtämällä sopivalla ohjelmalla.

Ratkaisu

d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

a) Lasketaan pisteiden välinen etäisyys pisteiden etäisyyden kaavalla:

\sqrt{(6-3)^2+(8-4)^2}
=\sqrt{3^2+4^2}
=\sqrt{9+16}
=\sqrt{25}
=5

Vastaus: Pisteiden (6, 8) ja (3, 4) välinen etäisyys on 5

b) Muodostetaan pisteiden (x, y) ja (3, 4) välinen etäisyys:

\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2}

Pisteiden välinen etäisyys on 5, joten

\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2}=5\qquad ||()^2
(x-3)^2+(y-4)^2=5^2
(x-3)^2+(y-4)^2=25

Vastaus: Pisteen P koordinaatit toteuttavat yhtälön

(x-3)^2+(y-4)^2=25

c) Koska jokaisen pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (3, 4) on 5, ovat pisteet kaikki pisteet (x, y) yhtä kaukana pisteestä (3, 4). Voidaan siis ajatella, että b-kohdan yhtälö kuvaa ympyrää, jonka keskipiste on (3, 4) ja säde 5.

Ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö

Lause

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2

Ympyrän, jonka keskipiste on

(x_0,y_0)

ja säde r, yhtälö on

Millaista pistejoukkoa yhtälö kuvaa?

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=a
a>0

ympyrä

a=0

piste

a<0

tyhjäjoukko

Ympyrän yhtälön yleinen muoto

Esimerkki

Kuvaako käyrän yhtälö ympyrää?

Ratkaisu

x^2+y^2-4x+4y-1=0

Yritetään muokata käyrän yhtälö ympyrän keskipistemuotoiseksi yhtälöksi:

x^2+y^2-4x+4y-1=0
x^2-4x+y^2+4y-1=0
x^2-4x+4+y^2+4y+4=1+4+4
x^2-4x+y^2+4y=1
(x-2)^2+(y+2)^2=9
(x-2)^2+(y+2)^2=3^2

Vastaus: Yhtälö kuvaa ympyrää, jonka keskipiste on (2, -2) ja säde 3.

Ympyrän yhtälön yleinen muoto

Ympyrän yhtälö voidaan aina kirjoittaa yleiseen muotoon

x^2+y^2+ax+by+c=0

Esimerkki

(x-3)^2+(y-4)^2=25

Olkoon ympyrän keskipiste (3, 4) ja säde 5. Muodosta ympyrän yhtälö yleisessä muodossa.

Ratkaisu

Muodostetaan ensin ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö:

(x-3)^2+(y-4)^2=5^2

Poistetaan nyt lausekkeesta sulkeet ja sievennetään lauseke:

x^2-6x+9+y^2-8y+16=25
x^2+y^2-6x-8y+25-25=0
x^2+y^2-6x-8y=0

Vastaus: Ympyrän yhtälön yleinen muoto on

x^2+y^2-6x-8y=0

Lause

Ympyrä ja suora

Lause

Suora on ympyrän tangentti, jos ja vain jos sen etäisyys ympyrän keskipisteestä on sama kuin ympyrän säde.

*Pisteen ja suoran välinen etäisyys

\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Ympyrällä ja suoralla voi olla

nolla leikkauspistettä

1 leikkauspiste

2 leikkauspistettä

Jos leikkauspisteitä on yksi, kutsutaan suoraa ympyrän tangentiksi.

  • tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan

sekantti

MAA5 Analyyttinen geometria 4/5

By Opetus.tv

MAA5 Analyyttinen geometria 4/5

  • 2,530
Loading comments...

More from Opetus.tv