MAA13

Geometrisen lukujonon suppeneminen

Tutki graafisesti lukujonon an raja-arvoa.

a_n=q^n

Muuta liu'usta q:n arvoa ja tutki, millä q:n arvoilla lukujonolla

 

  1. on raja-arvo
  2. on epäoleellinen raja-arvo
  3. ei ole epäoleellista raja-arvoa.

Milloin lukujono

a) suppenee

b) hajaantuu?

Esimerkki 1

Ratkaisu 1

\displaystyle\lim_{n\ \rightarrow \infty} a_n=\infty
q>1
q<1
0<
q=1
\displaystyle\lim_{n\ \rightarrow \infty} a_n=1
\displaystyle\lim_{n\ \rightarrow \infty} a_n=0
q=0
\displaystyle\lim_{n\ \rightarrow \infty} a_n=0
-1 <
q<0
\displaystyle\lim_{n\ \rightarrow \infty} a_n=0
q<-1
q=-1

ei

raja-arvoa

ei

raja-arvoa

1) Lukujonolla on raja-arvo, kun

-1< q\leq 1.

2) Lukujonolla on epäoleellinen raja-arvo, kun q>1.

3) Lukujonolla ei ole raja-arvoa, kun

q\leq-1.

suppenee

hajaantuu

hajaantuu

hajaantuu

Geometrinen lukujono

a_1,a_1q,a_1q^2,a_1q^3,...
q=\frac{a_{n+1}}{a_n},q\neq0

Edellä huomattiin, että lukujono

a_n=q^n

suppenee, kun -1<q≤1.

a_n=a_1\cdot q^{n-1}
\begin{aligned}a_n&=a_1\cdot q^{n-1}\\&=a_1\cdot \frac{q^n}{q}\\&=a_1\cdot \frac{1}{q}\cdot q^n\\&=\frac{a_1}{q}\cdot q^n\end{aligned}

Koska a1 ja q ovat reaalilukuja, on niiden osamäärä myös reaaliluku. Lukujono voidaan siis kirjoittaa muodossa

a_n=b\cdot q^n.

Nyt tulon 

b\cdot q^n

raja-arvo on sama kuin termin

q^n

raja-arvo.

Esimerkki 2

Suppeneeko vai hajaantuuko lukujono

a_n=\frac{7\cdot2^{n+1}}{3^n}?
\displaystyle\lim_{n\ \rightarrow \infty} \frac{7\cdot2^{n+1}}{3^n}
a^n\cdot a^m=a^{n+m}
=\displaystyle\lim_{n\ \rightarrow \infty} \frac{7\cdot2\cdot 2^n}{3^n}
=\displaystyle\lim_{n\ \rightarrow \infty} 14\cdot\frac{ 2^n}{3^n}
\frac{a^n} {b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n
=\displaystyle\lim_{n\ \rightarrow \infty} 14\cdot\left(\frac{ 2}{3}\right)^n

0

=14\cdot0=0

Vastaus: Lukujono suppenee.

Lause

Geometrinen lukujono (an) suppenee täsmälleen silloin, kun peräkkäisten jäsenten suhteelle

\frac{a_{n+1}}{a_n}=q(\neq0)

pätee

-1< q\leq 1.

Geometrisen lukujonon suppenemista voidaan siis tutkia tutkimalla q:ta, eli laskemalla peräkkäisten jäsenten osamäärä ja tarkastelemalla sitten, onko se välillä -1<q≤1, tai laskemalla raja-arvo, kuten esimerkissä 2.

Esimerkki 3

Esimerkin 2 lukujonon suppeneminen olisi voitu osoittaa myös tutkimalla q:ta.

Suppeneeko vai hajaantuuko lukujono

a_n=\frac{7\cdot2^{n+1}}{3^n}?
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{7\cdot2^{n+1+1}}{3^{n+1}}:\frac{7\cdot2^{n+1}}{3^n}
=\frac{7\cdot2^{n+2}}{3^{n+1}}\cdot\frac{3^n}{7\cdot 2^{n+1}}
=\frac{7\cdot2^{n+2}}{7\cdot 2^{n+1}}\cdot\frac{3^n}{3^{n+1}}
=2^{n+2-n-1}\cdot3^{n-n-1}
=2\cdot3^{-1}
=\frac{2}{3}

Nyt 0<q<1, joten lukujono suppenee.

deck

By Opetus.tv

deck

  • 274
Loading comments...

More from Opetus.tv