Opetus.tv PRO
Opetus.tv
MAA13
Geometrisen lukujonon suppeneminen
Tutki graafisesti lukujonon an raja-arvoa.
a_n=q^n
Muuta liu'usta q:n arvoa ja tutki, millä q:n arvoilla lukujonolla
- on raja-arvo
- on epäoleellinen raja-arvo
- ei ole epäoleellista raja-arvoa.
Milloin lukujono
a) suppenee
b) hajaantuu?
Esimerkki 1
Ratkaisu 1
\displaystyle\lim_{n\ \rightarrow \infty} a_n=\infty
q>1
q<1
0<
q=1
\displaystyle\lim_{n\ \rightarrow \infty} a_n=1
\displaystyle\lim_{n\ \rightarrow \infty} a_n=0
q=0
\displaystyle\lim_{n\ \rightarrow \infty} a_n=0
-1 <
q<0
\displaystyle\lim_{n\ \rightarrow \infty} a_n=0
q<-1
q=-1
ei
raja-arvoa
ei
raja-arvoa
1) Lukujonolla on raja-arvo, kun
-1< q\leq 1.
2) Lukujonolla on epäoleellinen raja-arvo, kun q>1.
3) Lukujonolla ei ole raja-arvoa, kun
q\leq-1.
suppenee
hajaantuu
hajaantuu
hajaantuu
Geometrinen lukujono
a_1,a_1q,a_1q^2,a_1q^3,...
q=\frac{a_{n+1}}{a_n},q\neq0
Edellä huomattiin, että lukujono
a_n=q^n
suppenee, kun -1<q≤1.
a_n=a_1\cdot q^{n-1}
\begin{aligned}a_n&=a_1\cdot q^{n-1}\\&=a_1\cdot \frac{q^n}{q}\\&=a_1\cdot \frac{1}{q}\cdot q^n\\&=\frac{a_1}{q}\cdot q^n\end{aligned}
Koska a1 ja q ovat reaalilukuja, on niiden osamäärä myös reaaliluku. Lukujono voidaan siis kirjoittaa muodossa
a_n=b\cdot q^n.
Nyt tulon
b\cdot q^n
raja-arvo on sama kuin termin
q^n
raja-arvo.
Esimerkki 2
Suppeneeko vai hajaantuuko lukujono
a_n=\frac{7\cdot2^{n+1}}{3^n}?
\displaystyle\lim_{n\ \rightarrow \infty} \frac{7\cdot2^{n+1}}{3^n}
a^n\cdot a^m=a^{n+m}
=\displaystyle\lim_{n\ \rightarrow \infty} \frac{7\cdot2\cdot 2^n}{3^n}
=\displaystyle\lim_{n\ \rightarrow \infty} 14\cdot\frac{ 2^n}{3^n}
\frac{a^n} {b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n
=\displaystyle\lim_{n\ \rightarrow \infty} 14\cdot\left(\frac{ 2}{3}\right)^n
0
=14\cdot0=0
Vastaus: Lukujono suppenee.
Lause
Geometrinen lukujono (an) suppenee täsmälleen silloin, kun peräkkäisten jäsenten suhteelle
\frac{a_{n+1}}{a_n}=q(\neq0)
pätee
-1< q\leq 1.
Geometrisen lukujonon suppenemista voidaan siis tutkia tutkimalla q:ta, eli laskemalla peräkkäisten jäsenten osamäärä ja tarkastelemalla sitten, onko se välillä -1<q≤1, tai laskemalla raja-arvo, kuten esimerkissä 2.
Esimerkki 3
Esimerkin 2 lukujonon suppeneminen olisi voitu osoittaa myös tutkimalla q:ta.
Suppeneeko vai hajaantuuko lukujono
a_n=\frac{7\cdot2^{n+1}}{3^n}?
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{7\cdot2^{n+1+1}}{3^{n+1}}:\frac{7\cdot2^{n+1}}{3^n}
=\frac{7\cdot2^{n+2}}{3^{n+1}}\cdot\frac{3^n}{7\cdot 2^{n+1}}
=\frac{7\cdot2^{n+2}}{7\cdot 2^{n+1}}\cdot\frac{3^n}{3^{n+1}}
=2^{n+2-n-1}\cdot3^{n-n-1}
=2\cdot3^{-1}
=\frac{2}{3}
Nyt 0<q<1, joten lukujono suppenee.
deck
By Opetus.tv
