MAA3 - Geometria

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

  • harjaantuu hahmottamaan ja kuvaamaan tilaa sekä muotoa koskevaa tietoa sekä kaksiettä kolmiulotteisissa tilanteissa
  • harjaantuu muotoilemaan, perustelemaan ja käyttämään geometrista tietoa käsitteleviä lauseita
  • ratkaisee geometrisia ongelmia käyttäen hyväksi kuvioiden ja kappaleiden ominaisuuksia, yhdenmuotoisuutta, Pythagoraan lausetta sekä suora- ja vinokulmaisen kolmion trigonometriaa.

KESKEISET SISÄLLÖT

  • kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus
  • sini- ja kosinilause
  • ympyrän, sen osien ja siihen liittyvien suorien geometria
  • kuvioihin ja kappaleisiin liittyvien pituuksien, kulmien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen

MAB2 - Geometria

 

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

  • harjaantuu tekemään havaintoja ja päätelmiä kuvioiden ja kappaleiden geometrisista ominaisuuksista
  • vahvistaa tasokuvioiden ja kolmiulotteisten kappaleiden kuvien piirtämisen taitojaan
  • osaa ratkaista käytännön ongelmia geometriaa hyväksi käyttäen.

 

KESKEISET SISÄLLÖT

  • kuvioiden yhdenmuotoisuus
  • suorakulmaisen kolmion trigonometria
  • Pythagoraan lause
  • kuvioiden ja kappaleiden pinta-alan ja tilavuuden määrittäminen
  • geometrian menetelmien käyttö koordinaatistossa

MAB2 - Geometria

KESKEISET SISÄLLÖT

  • kuvioiden yhdenmuotoisuus
  • suorakulmaisen kolmion trigonometria
  • Pythagoraan lause
  • kuvioiden ja kappaleiden pinta-alan ja tilavuuden määrittäminen
  • geometrian menetelmien käyttö koordinaatistossa

 

MAA3 - Geometria

KESKEISET SISÄLLÖT

  • kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus
  • sini- ja kosinilause
  • ympyrän, sen osien ja siihen liittyvien suorien geometria
  • kuvioihin ja kappaleisiin liittyvien pituuksien, kulmien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen

Pitkä matematiikka 3, Sanoma Pro

  • Kulma
  • Suunnikkaan ja kolmion kulmat
  • Yhdenmuotoisuus
  • Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde
  • Suorakulmaisen kolmion trigonometria
  • Pythagoraan lause
  • Tylpän kulman kosini ja sini
  • Pinta-aloja
  • Sinilause
  • Kosinilause
  • Ympyrä
  • Ympyrän tangentti
  • Kehäkulma
  • Suorakulmainen särmiö
  • Kulma avaruudesa
  • Pallo
  • Lieriö
  • Kartio

Summa 2, Edita

  • Geometrian käsitteitä
  • Suorat ja kulmat
  • Yksikönmuunnokset ja pyöristäminen
  • Yhdenmuotoisuus
  • Kolmiot
  • Tasokuviot
  • Pythagoraan lause
  • Trigonometriaa
  • Monikulmiot
  • Ympyrä
  • Sektori
  • Ympyrän sovelluksia
  • Avaruusgeometria
  • Lieriö
  • Kartio
  • Pallo

 

Kolmion kulmien summa tasossa

Kolmion kulmien summa tasossa

Pythagoraan lause

Millaisen todistuksen esittäisit lukiolaisille?

Voisiko todistamisen antaa opiskelijoiden tehtäväksi?

Millainen on todistamisen rooli geometriassa?

Pythagoraan lause

Pythagoraan lause

Pythagoraan lause

Pythagoraan lause

ABCD
ABCD

Neliö

Pythagoraan lause

Yksikköympyrä

\sin \alpha = \dfrac{\color{Salmon}y}{\color{Green}1}=\color{Salmon}y
sinα=​1​​y​​=y
\cos \alpha = \dfrac{\color{CornflowerBlue}x}{\color{Green}1}=\color{CornflowerBlue}x
cosα=​1​​x​​=x
P(\color{CornflowerBlue}x, \ \color{Salmon}y)=P(\cos \alpha, \ \sin \alpha)
P(x, y)=P(cosα, sinα)

Sinin symmetria

\sin \alpha = \sin (180^{\circ}-\alpha)
sinα=sin(180​∘​​−α)

Kolmion pinta-alan trigonometrinen kaava

\color{CornflowerBlue}{A}=\dfrac{1}{2}bh_1
A=​2​​1​​bh​1​​
\color{CornflowerBlue}{A}=\dfrac{1}{2}ab\sin \gamma
A=​2​​1​​absinγ
\color{CornflowerBlue}{A}=\dfrac{1}{2}ah_2
A=​2​​1​​ah​2​​
||\sin \gamma = \frac{h_1}{a}
∣∣sinγ=​a​​h​1​​​​
||\sin \beta = \frac{h_2}{c}
∣∣sinβ=​c​​h​2​​​​
\color{CornflowerBlue}{A}=\dfrac{1}{2}ac \sin \beta
A=​2​​1​​acsinβ
\color{CornflowerBlue}{A}=\dfrac{1}{2}ch_3
A=​2​​1​​ch​3​​
||\sin (180^{\circ}-\alpha) = \frac{h_3}{b}
∣∣sin(180​∘​​−α)=​b​​h​3​​​​
\color{CornflowerBlue}{A}=\dfrac{1}{2} bc \sin(180^{\circ}- \alpha)
A=​2​​1​​bcsin(180​∘​​−α)
||\sin (180^{\circ}-\alpha) = \sin \alpha
∣∣sin(180​∘​​−α)=sinα
\dfrac{1}{2} bc \sin \alpha=\dfrac{1}{2}ab\sin \gamma =\dfrac{1}{2}ac \sin \beta
​2​​1​​bcsinα=​2​​1​​absinγ=​2​​1​​acsinβ
\dfrac{\sin \alpha}{a}=\dfrac{\sin \gamma}{c}=\dfrac{\sin\beta}{b}
​a​​sinα​​=​c​​sinγ​​=​b​​sinβ​​
\dfrac{a}{\sin \alpha}=\dfrac{c}{\sin \gamma}=\dfrac{b}{\sin\beta}
​sinα​​a​​=​sinγ​​c​​=​sinβ​​b​​
\dfrac{a}{\sin \alpha}=\dfrac{c}{\sin \gamma}=\dfrac{b}{\sin\beta}
​sinα​​a​​=​sinγ​​c​​=​sinβ​​b​​

Sinilause

Ympyrä

Ympyrä muodostuu niistä tason pisteistä, jotka ovat samalla etäisyydellä (säde) kiinteästä pisteestä (keskipiste).

Ympyrän piiri ja pinta-ala

Ympyrän piiri ja pinta-ala

Ympyrän piiri ja pinta-ala

Ympyrän pinta-ala

Ympyrän pinta-ala

Keskuskulma ja kehäkulma

Kehäkulmalause

OB=OC=r
OB=OC=r
\angle OBC=\theta.
∠OBC=θ.
\angle COB=180^{\circ}-2\theta.
∠COB=180​∘​​−2θ.
\gamma = 180^{\circ}-\angle COB
γ=180​∘​​−∠COB
\gamma = 180^{\circ}-(180^{\circ}-2\theta)
γ=180​∘​​−(180​∘​​−2θ)
\gamma =2 \theta
γ=2θ

Kolmio OBC on tasakylkinen, joten

Huomataan, että

Kolmion kulmien summa on 180 astetta.

Tästä saadaan

\gamma \text{ ja } \angle COB
γ ja ∠COB

muodostavat oikokulman, joten

keskipiste, säde, jänne, halkaisija, sektori, ympyräkaari, keskuskulma, kehäkulma, tangentti, segmentti, keskuskolmio, sekantti

Miten kertaisit ympyrään liittyviä käsitteitä?

Tutkimustehtävät

  • Vertailkaa pienissä ryhmissä keksimiänne MAA3/MAB2 -kurssin tutkimustehtäviä.
  • Valitkaa tutkimustehtävistä yksi, jonka esittelette muulle ryhmälle.

 

Tangentin ominaisuuksia

Avaruusgeometria

MAB2 - Geometria

KESKEISET SISÄLLÖT

  • kuvioiden yhdenmuotoisuus
  • suorakulmaisen kolmion trigonometria
  • Pythagoraan lause
  • kuvioiden ja kappaleiden pinta-alan ja tilavuuden määrittäminen
  • geometrian menetelmien käyttö koordinaatistossa

 

MAA3 - Geometria

KESKEISET SISÄLLÖT

  • kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus
  • sini- ja kosinilause
  • ympyrän, sen osien ja siihen liittyvien suorien geometria
  • kuvioihin ja kappaleisiin liittyvien pituuksien, kulmien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen
  • Kulma avaruudessa (MAA3)
  • Lieriö
    • Erikoistapaukset
    • Pinta-ala, tilavuus
  • Kartio
    • Erikoistapaukset
    • Pinta-ala, tilavuus
  • Pallo
    • Pinta-ala, tilavuus
    • Pallosegmentti (MAB2?)
    • Kalotti (MAB2?)

Johdanto (MAB2 - Kertoma)

Kulma avaruudessa

Kartion tilavuus

Taso- ja avaruusgeometria ylioppilaskirjoituksissa

Millasia tehtäviä löysit

  • pitkän matematiikan ylioppilaskirjoituksista?
  • lyhyen matematiikan ylioppilaskirjoituksista?

TAVOITTEET Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

  • ymmärtää kuinka analyyttinen geometria luo yhteyksiä geometristen ja algebrallisten käsitteiden välille
  • ymmärtää pistejoukon yhtälön käsitteen ja oppii tutkimaan yhtälöiden avulla pisteitä, suoria, ympyröitä ja paraabeleja
  • syventää itseisarvokäsitteen ymmärtämystään ja oppii ratkaisemaan sellaisia itseisarvoyhtälöitä ja vastaavia epäyhtälöitä, jotka ovat tyyppiä | f(x) | = a tai | f(x) | = | g(x) |
  • vahvistaa yhtälöryhmän ratkaisemisen taitojaan.

 

KESKEISET SISÄLLÖT

• pistejoukon yhtälö

• suoran, ympyrän ja paraabelin yhtälöt

• itseisarvoyhtälön ja epäyhtälön ratkaiseminen

• yhtälöryhmän ratkaiseminen

• pisteen etäisyys suorasta

MAA4 - Analyyttinen geometria

Kartioleikkaukset

Pistejoukon yhtälö

Piste (x,y) kuuluu pistejoukkoon, jos ja vain jos pisteen koordinaatit toteuttavat yhtälön.

Pistejoukon yhtälö on muuttujien x ja y yhtälö, jolla on ominaisuus:

http://polku.opetus.tv/node/463

Ympyrän yhtälö

Paraabelin konstruktio

Paraabelin yhtälö

Pisteen P(x, y) etäisyys pisteestä (0,3)

d_1=\sqrt{(x-0)^2+(y-3)^2}
d​1​​=√​(x−0)​2​​+(y−3)​2​​​​​

Pisteen P(x, y) etäisyys suorasta y = -1

d_2=|y-(-1)|
d​2​​=∣y−(−1)∣
d_2=|y+1|
d​2​​=∣y+1∣
d_1 = d_2
d​1​​=d​2​​

jos ja vain jos

\sqrt{(x-0)^2+(y-3)^2}=|y+1|
√​(x−0)​2​​+(y−3)​2​​​​​=∣y+1∣

Paraabelin yhtälö

\vdots
⋮
y=\dfrac{1}{8}x^2+1
y=​8​​1​​x​2​​+1
\sqrt{(x-0)^2+(y-3)^2}=|y+1|
√​(x−0)​2​​+(y−3)​2​​​​​=∣y+1∣
x^2+(y-3)^2=(y+1)^2
x​2​​+(y−3)​2​​=(y+1)​2​​

Suoran yhtälö

http://polku.opetus.tv/node/467

Lukiomatematiikkaa/Geometria

By Opetus.tv

Lukiomatematiikkaa/Geometria

  • 2,185

More from Opetus.tv