Automatización y control

Unidad 1: Automatización y Control Industrial

Ing. Oscar Alonso Rosete Beas

Semana 7 Septiembre Rev:2 ciclo 2020-2

Sesiones Previas

Unidad 1: Automatización y Control Industrial

1.1. Definiciones y conceptos relacionados a los sistemas de control
1.2. Aplicaciones industriales de los sistemas de control
1.3. Sistemas de control de lazo abierto y Sistemas de Control de Lazo Cerrado
1.4. Modelado de sistemas dinámicos
 

Agenda

1.1. Definiciones y conceptos relacionados a los sistemas de control
1.2. Aplicaciones industriales de los sistemas de control
1.3. Sistemas de control de lazo abierto y Sistemas de Control de Lazo Cerrado
1.4. Modelado de sistemas dinámicos

1.5. Características de la respuesta en el tiempo
1.6. Estabilidad y error en estado estable
1.7. Controladores: Tipos, características y aplicaciones
1.8 Fundamentos de Labview y Matlab

Unidad 1: Automatización y Control Industrial

Unidad 1

Pasos recomendados para el diseño de un sistema de control

1. Determinar el sistema físico y sus especificaciones.
2. Dibujar diagrama de bloques.
3. Convertir el sistema físico en un esquemático.
4. Desarrollar un modelo matemático y obtener un diagrama de bloques del sistema.
5. Reducir el diagrama de bloques.
6. Análisis, Diseño y Pruebas.

Representación general lazo cerrado

Lazo cerrado

1.4. Modelado de sistemas dinámicos

• Un modelo es una abstracción del mundo físico
• Se utilizan para analizar y diseñar, posiblemente antes de que el sistema físico exista.
• Pueden ser obtenidos de principios físicos o con experimentación.
• El propósito determina el nivel de detalle, suficientemente complejo pero no más de lo necesario.

Un primer principio es un principio básico, una proposición fundamental que como tal no admite demostración a partir de principios más básicos, o no necesita demostración por ser auto-evidente.

• Se utilizan leyes de la física generalmente para derivar modelos.
• Proveen entendimiento.
• Pueden utilizar datos empíricos para determinar parámetros o validar el modelo.

Modelado sistemas dinámicos

Altenativa: Datos Empíricos

• Alimentar el sistema con una entrada conocida y observar la salida, adecuar un modelo a la información recopilada.
• Buenos para sistemas complicados (batería electrolítica, motor de combustión interna)
• Bueno para sistemas "caja-negra" (Reacción conductor)
• No proveen intuición, no pueden ser aplicados en cualquier situación.

Modelado sistemas dinámicos

Modelo para diseño/análisis: simple

La complejidad depende del propósito

Modelo más preciso simulación

Sistemas estáticos

La salida es determinada únicamente por la entrada actual, reacciona al instante.

La relación I/O no cambia (estática)

Relación representada por ecuación algebraica.

Sistemas estáticos vs dinámicos

Sistemas dinámicos

La salida tiene retardo en su reacción.

La relación I/O cambia con el tiempo y depende de entradas pasadas y condiciones iniciales(dinámico)

Su relación se representa con una ecuación diferencial.

Motor perspectiva estática

Perspectiva dinámica

Sistemas estáticos vs dinámicos

2 enfoques para obtener el modelo de un sistema o proceso

• Primer principio
• Datos empíricos

El nivel de precisión del modelo (model fidelity)

• El detalle y la forma depende del propósito
• Existen desventajas al ser mas complejo
• Estático vs Dinámico

Resumen

La dinámica de un sistema se representa en primer lugar mediante un modelo matemático compuesto por ecuaciones diferenciales. 

Un sistema LTI (Linear Time-Invariant) es sistema lineal e invariante en el tiempo.

Solución ecuaciones diferenciales LTI

Se caracterizan por cumplir las propiedades siguientes:

• Linealidad: Un sistema es lineal si y solo si podemos aplicar el principio de superposicion.

Solución LTI Differential equations

Se caracterizan por cumplir las propiedades siguientes:

• Invarianza temporal:

si la respuesta del sistema solo depende de T y de la entrada, pero no del instante de tiempo en que se aplica la entrada, se dice que es invariante en el tiempo, o t-invariante.

Solución LTI Differential equations

Los sistemas LTI son muy comunes, incluyen circuitos electricos compuestos por resistencias, inductores y capacitores. Asi como sistemas mecánicos compuestos de masas, resortes y amortiguadores (dashpots).

Solución LTI Differential equations

2 enfoques para la resolución de ecuaciones diferenciales

1. Resolver en el dominio del tiempo.
2. Resolver en el dominio s (frecuencia) utilizando la transformada de Laplace, la cual convierte ecuaciones diferenciales LTI a ecuaciones algebraicas.

Solución LTI Differential equations

Consideremos el siguiente sistema mecánico del tipo dinámico compuesto por una masa, resorte y un amortiguador.

Obtengamos su modelo a partir de "primeros principios".

Resolución dominio tiempo

Obtención modelo

La mayoria de los sistemas de control contiene componentes tanto mecanicos como electricos, auuque algunos tambien tienen elementos neumaticos e hidraulicos. Desde punto de vista matematico los elementos mecanicos y electricos son analogos.

Ejemplo analogía

El siguiente sistema de masa resorte con un grado de libertad se puede visualizar como el circuito eléctrico mostrado en la figura derecha.

Obtención modelo

El movimiento de traslación esta definido como un movimiento que toma lugar a lo largo de una línea recta. Las variables que se utilizan para describir el movimiento de traslación son la aceleración, velocidad y desplazamiento.

La ley del movimiento de Newotn establece que la suma algebraica de las fuerzas que actuan sobre un cuerpo rigido en una direccion es igual al producto de la masa del cuerpo por su aceleración en la misma dirección.

Obtención modelo

En este tipo de sistemas, los siguientes elementos están involucrados:

1. Masa (elemento inercial): propiedad de almacenar energía cinética del movimiento de traslaciónl. Análoga a la inductancia.

La ecuación de la fuerza se escribe como:

Obtención modelo

En este tipo de sistemas, los siguientes elementos están involucrados:

2. Resorte lineal: Un modelo de un resorte real o la compliancia de un cable o una banda. En general, un resorte esta considerado como un elemento que almacena energía potencial. Análogo a un capacitor.

En la vida real son no lineales, pero si la deformación es pequeña se puede aproximar su coportamiento a la siguiente relación. K es la constante del resorte, o simplemente rigidez. Ley de Hooke

Si esta precargado con una tensión T

Obtención modelo

Resorte lineal

Obtención modelo

En este tipo de sistemas, los siguientes elementos están involucrados:

3. Fricción para el movimiento de traslacion

Cuando exista movimiento o tendencia de movimiento entre dos sistemas físicos, se presentarán fuerzas de friccion. Las fuerzas de friccion son de naturaleza no lineal y dependen de la composición de superficies, presion entre las mismas, velocidad relativa entre otras:

Existen tres tipos de fricción:

Fricción viscosa, estática y de coulomb

Figura inferior (izq a derecha)

Obtención modelo

Fricción viscosa/amortiguador

Obtención modelo

Fricción viscosa

3. Fricción para el movimiento de traslacion

La fricción viscosa representa una fuerza que es una relación lineal entre la fuerza aplicada y la velocidad. A menudo, el esquema del elemento de fricción viscosa se representa como un amortiguador.

La expresión matemática de la fricción viscosa es:

donde b es el coeficiente de friccion viscosa

Obtención modelo

Ecuaciones de sistemas mecánicos

Las ecuaciones de un sistema mecánico lineal se escriben, primero construyendo un modelo del sistema que contenga los elementos lineales conectados y luego se aplica la ley del movimiento de Newton al diagrama de cuerpo libre.

Para el movimiento de traslación se emplea:

Pasos obtención modelo

1. Seleccionar coordenadas y orientación
2. Dibujar diagrama de cuerpo libre para cada elemento inercial.
3. Generar ecuaciones de movimiento utilizando la segunda ley de Newton y la segunda ley de Euler.

Obtención modelo

Considere el sistema de masa-resorte-fricción (amortiguador) que se muestra en la figura. El movimiento lineal de interés es el de dirección horizontal (traslación)

Obtención modelo

Realizando un diagrama de cuerpo libre donde se aplica una fuerza f(t) las fuerzas involucradas se verían como se muestra en el siguiente diagrama de cuerpo libre:

Representación en notación de newton

Ecuaciones diferenciales

La ecuacion diferencial de un sistema de n-ésimo orden se escribe como:

Se le llama ecuacion diferencial ordinaria lineal.

Se puede descomponer en n ecuaciones diferenciales de primer orden.

2 enfoques para la resolución de ecuaciones diferenciales

1. Resolver en el dominio del tiempo.
2. Resolver en el dominio s (frecuencia) utilizando la transformada de Laplace, la cual convierte ecuaciones diferenciales LTI a ecuaciones algebraicas.

Solución LTI Differential equations

Respuesta del sistema

Respuesta natural

Si las raices son completamente reales, la solución es del tipo exponencial

• Si son negativas el sistema es estable
• si son positivas el sistema es inestable

Respuesta natural

Si las raices son complejas, se puede reescribir en terminos de senos y cosenos utilizando la identidad de euler.

parte real=tasa de decaimiento

parte imaginaria= frecuencia de oscilación.

si exponencial =0?

Respuesta del sistema

Respuesta elementos mecánicos

Ejercicio real alumnos

Considere el sistema de masa-resorte-fricción (amortiguador) que se muestra en la figura. El movimiento lineal de interés es el de dirección horizontal (traslación)

B=4Ns/m m=2kg k=2N/m xo=1m vo=0m/s

B=coeficiente de amortiguamiento viscoso

Ejercicio real alumnos

Considere el sistema de masa-resorte-fricción (amortiguador) que se muestra en la figura. El movimiento lineal de interés es el de dirección horizontal (traslación)

B=5Ns/m m=2kg k=2N/m xo=1m vo=0m/s

B=coeficiente de amortiguamiento viscoso

Ejercicio real alumnos

Considere el sistema de masa-resorte-fricción (amortiguador) que se muestra en la figura. El movimiento lineal de interés es el de dirección horizontal (traslación)

B=0.3Ns/m

m=1kg

k=9/4 N/m

xo=1m vo=0m/s

Ejercicio real alumnos

Considere el sistema de masa-resorte-fricción (amortiguador) que se muestra en la figura. El movimiento lineal de interés es el de dirección horizontal (traslación)

B=0Ns/m

m=1kg

k=9/4 N/m

xo=1m vo=0m/s

Comportamiento posible respuesta transitoria de un sistema de segundo orden

Sesiones Previas

Unidad 1: Automatización y Control Industrial

1.1. Definiciones y conceptos relacionados a los sistemas de control
1.2. Aplicaciones industriales de los sistemas de control
1.3. Sistemas de control de lazo abierto y Sistemas de Control de Lazo Cerrado
1.4. Modelado de sistemas dinámicos
1.5. Características de la respuesta en el tiempo
1.6. Estabilidad y error en estado estable
1.7. Controladores: Tipos, características y aplicaciones
1.8 Fundamentos de Labview y Matlab

07/09

1. Determinar el sistema físico y sus especificaciones.
2. Dibujar diagrama de bloques.
3. Convertir el sistema físico en un esquemático.
4. Desarrollar un modelo matemático y obtener un diagrama de bloques del sistema.
5. Reducir el diagrama de bloques.
6. Análisis, Diseño y Pruebas.

Pasos recomendados para el diseño de un sistema de control

07/09

2 enfoques para la resolución de ecuaciones diferenciales

1. Resolver en el dominio del tiempo.
2. Resolver en el dominio s (frecuencia) utilizando la transformada de Laplace, la cual convierte ecuaciones diferenciales LTI a ecuaciones algebraicas.

Transformada de Laplace

07/09

Proceso completo

07/09

Comportamiento posible respuesta transitoria de un sistema de segundo orden

07/09

1. Análisis, Diseño y Pruebas

En esta etapa el ingeniero analiza el sistema para identificar si las especificaciones de la respuesta y requerimientos de desempeño son cumplidos y se realizan ajustes de los parametros del sistema.

Si no pueden ser cumplidos se diseña hardware adicional para obtener la respuesta.

Es necesario comparar el comportamiento de diferentes sistemas de control. Para compararlos se utilizan señales de prueba (impulso, escalon, rampa) , analiticamente y durante las pruebas para verificar el diseño.

1.5. Características de la respuesta en el tiempo

07/09

Al realizar la modelación del sistema en forma analítica, el sistema que puede representarse de las siguientes maneras:

1) Modelo matemático en forma de ecuaciones diferenciales-integro-diferenciales-algebraicas.

2) Función de transferencia que transforme el modelo matemático vía Laplace.

3) Espacio de estado, a través de la ecuación de estado y la ecuación de salida.

1.5. Características de la respuesta en el tiempo

07/09

Función de transferencia

La función de transferencia caracteriza la relación entrada-salida de componentes o sistemas que pueden ser descritos por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo.

07/09

Función de transferencia

Encontrar la función de transferencia para el siguiente sistema masa resorte amortiguador:

07/09

Ejercicios alumnos

Encuentre la función de transferencia, G(s)=C(s)/R(s), correspondiente a la siguiente ecuación diferencial:

07/09

Previamente, se discutio como encontrar un modelo matemático de un sistema, la función de transferencia para sistemas mecánicos LTI. 

Se define como G(s) = C(s)/R(s) o la razon de la transformada de laplace de la salida sobre la transformada de laplace de la entrada.

El modelado a través de funciones de trasnferencia se puede aplicar a sistemas eléctricos, hidráulicos, pneumáticos, económicos o de transferencia de calor, para lo cual deben ser aproximados como lineales.

Teniendo una funcion de transferencia podemos evaluar su respuesta a determinada entrada.

07/09

Función de transferencia

La respuesta de un sistema

La respuesta de un sistema es la suma de dos tipos de respuestas: la respuesta forzada y la respuesta natural.

Se utilizan diversas tecnicas tales como encontrar la transformada de laplace o resolver las ecuaciones diferenciales, tecnicas que pueden ser laboriosas.

La utilización del análisis de los polos y ceros y su relación con la respuesta en el tiempo nos beneficia para poder encontrar el resultado por inspección.

07/09

Polos de la función de transferencia

Los polos de una función de transferencia son los valores de la variable s de la transformada de laplace que hacen que nuestra función de transferencia se vuelva infinita.

Las raíces de un polinomio característico en el denominador hacen la función de transferencia infinta, por ende, son polos.

Teniendo como consideración especial el mantener como polo aunque pueda ser cancelado por un termino en el numerador.

07/09

Ceros de una función de transferencia

Los ceros de una función de transferencia son los valores de la variable s en la transformada de laplace que causan la función de transsferencia obtenga el valor de 0.

Las raíces del numerador en una función de transferencia son denominados ceros.

07/09

Utilización de la técnica

Los polos determinan la naturaleza de la respuesta en el tiempo.

Los polos de la función de entrada determinan la respuesta forzada, los polos de la función de transferencia la respuesta natural.

Los polos y ceros contribuyen a las amplitudes de la respuesta total.

Polos en el eje real dan respuestas exponenciales.

07/09

Sistemas de segundo orden 

Analicemos el caso general de un sistema de segundo orden, que cuenta con dos polos y ningun cero.

El termino en el numerodar es un factor que multiplica nuestra respuesta pero no afecta la forma.

Asignando valores a los parametros a y b, podemos obtener todas las respuestas transitorias sde un sistema de segundo orden. Analicemos la respuesta al escalón unitario. Considerando C(s) = R(s)G(s), where R(s) = 1/s, utilizando expansión por fracciones parciales y transformada inversa de laplace.

07/09

07/09

Sistemas de segundo orden 

07/09

Sistemas de segundo orden 

07/09

Sistemas de segundo orden

Polos Complejos

Sistemas de segundo orden

Resumen

07/09

Sobreamortiguada

Dos polos reales en

Respuesta natural: Dos exponenciales con constantes del tiempo iguales al reciproco de la ubicación de los polos.

Subamortiguada

Polos complejos en:

Respuesta natural: senoide amortiguada con frecuencia angular equivalente a la parte imaginaria de los polos.

Sistemas de segundo orden

Resumen

07/09

No amortiguada

Dos polos imaginarios

Respuesta natural: Senoides no amortiguadas con frecuencia angular equivalente al componente imaginario.

Criticamente amortiguada

Polos reales en :

Respuesta natural: Un termino es exponencial y el otro es el producto del tiempo y un exponencial.

Ejercicio alumnos

07/09

Para cada una de las siguientes funciones de transferencia, escribe a través de inspeccion, la forma general de su respuesta al escalón y clasifiquela.

Compruebe por lo menos 2 de ellas con la resolución a través de fracciones parciales.

Sistema de 2do orden general

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Tipos de respuestas

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Ejercicio profesor

09/09

Ejercicio profesor

09/09

Other parameters associated with the underdamped response are rise time, peak time, percent overshoot, and settling time. These specifications are defined as follows:

1. Rise time, Tr. The time required for the waveform to go from 0.1 of the final value to 0.9 of the final value.

2. Peak time, TP. The time required to reach the first, or maximum, peak.  

Ejercicio profesor

09/09

 3. Percent overshoot, %OS. The amount that the waveform overshoots the steadystate, or final, value at the peak time, expressed as a percentage of the steady-state value.

4. Settling time, Ts. The time required for the transient’s damped oscillations to reach and stay within 2% of the steady-state value

Matlab y parametros adicionales respuesta subamortiguada

09/09

Tiempo de subida

09/09

Ejercicio alumnos

07/09

1. Para cada una de las siguientes funciones de transferencia, determine la frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento y partir de ello clasifique la respuesta esperada.
2. Para la respuesta subamortiguada calcular tiempo de establecimiento, tiempo pico, sobreimpulso, tiempo de subida.
3. Compruebe las 2 restantes con la resolución a través de fracciones parciales.