Sistema decimal

9240

Todos sabemos leer este número.

Pero:

¿por qué significa eso y no otra cosa?

Sabemos que:

Representamos números usando:

• símbolos
• posiciones

Cada dígito vale algo distinto según el lugar en el que aparece.

Sistema decimal

• Usa 10 símbolos: 0 a 9
• Su base es 10
• Es un sistema posicional

Valor posicional

Cada posición representa una potencia de 10.

... 10^3 10^2 10^1 10^0

Ejemplo en decimal

9240 =

9 x 10^3

+ 2 x 10^2

+ 4 x 10^1

+ 0 x 10^0

¿Y si hay decimales?

480.52 =

4 x 10^2

+ 8 x 10^1

+ 0 x 10^0

+ 5 x 10^-1

+ 2 x 10^-2

Idea clave

Un número es:

suma de (dígito x potencia de la base)

Generalización

Todo sistema de numeración tiene:

• una base B
• dígitos desde 0 hasta B-1
• pesos posicionales que son potencias de B

Sistema binario

La misma idea, con otra base

En binario:

• la base es 2
• los dígitos posibles son 0 y 1

La misma idea, con otra base

En binario:

• la base es 2
• los dígitos posibles son 0 y 1

Todo sistema de numeración tiene:

• una base B
• dígitos desde 0 hasta B-1
• pesos posicionales que son potencias de B

Pesos en binario

Cada posición representa una potencia de 2.

... 2^3 2^2 2^1 2^0

Ejemplo en binario

101₂ =

1 x 2^2

+ 0 x 2^1

+ 1 x 2^0

= 5

Algunas equivalencias

2 = 10₂

5 = 101₂

9 = 1001₂

¿Por qué binario?

Porque muchos sistemas electrónicos trabajan naturalmente con dos estados:

• apagado / encendido
• falso / verdadero
• voltaje ausente / voltaje presente

Resumiendo...

El binario no es un sistema raro.

Es el mismo concepto que decimal, pero en base 2.

Conversión entre sistemas

De decimal a binario

Para convertir un entero a binario:

1. dividir por 2
2. guardar el resto
3. repetir con el cociente
4. detenerse cuando el cociente sea 0

Tomar los restos del último al primero

Ejemplo

12 / 2 = 6 resto 0

6 / 2 = 3 resto 0

3 / 2 = 1 resto 1

1 / 2 = 0 resto 1

Resultado: 1100₂

Regla importante

Los restos se toman del último al primero

o de abajo hacia arriba

De binario a decimal

Para pasar de binario a decimal:

• multiplicamos cada dígito por su potencia de 2
• luego sumamos

Ejemplo

1101₂ =

1 x 2^3

+ 1 x 2^2

+ 0 x 2^1

+ 1 x 2^0

= 13

2. Representación de información en computadoras

Nuevo problema

El binario funciona bien.

Pero tiene una dificultad:

los números se vuelven largos

Ejemplo: 110010101011

Sistema hexadecimal

• Base: 16
• Símbolos: 0 a 9 y A a F

Equivalencias:

A=10 B=11 C=12 D=13 E=14 F=15

Todo sistema de numeración tiene:

• una base B
• dígitos desde 0 hasta B-1
• pesos posicionales que son potencias de B

Relación con binario

2^4 = 16

Entonces:

1 dígito hexadecimal = 4 bits

Ejemplo

Binario:

1100 1010

Hexadecimal:

C A

Conversión binario -> hexadecimal

Proceso:

1. agrupar en bloques de 4 bits
2. convertir cada bloque

Ejemplo:

10101111₂ -> 1010 1111 -> AF₁₆

Conversión hexadecimal -> binario

Cada dígito hexadecimal se transforma en 4 bits.

Ejemplo:

2 = 0010

5 = 0101

9 = 1001

A = 1010

F = 1111

¿Por qué usar hexadecimal?

• es más compacto que binario
• es fácil de convertir
• es ampliamente usado en informática

Ejemplos:

• direcciones de memoria
• colores web como #FF00AA

Idea clave

Hexadecimal no reemplaza al binario.

Lo simplifica para humanos.

Nueva pregunta

Hasta ahora representamos números.

¿Cómo representa una computadora texto?

Código ASCII

Código ASCII

ASCII asigna un número a cada carácter.

Ejemplos:

• 'A' = 65
• '@' = 64
• 'd' = 100

Un mismo carácter, varias representaciones

'A' =

• 65 en decimal
• 41 en hexadecimal
• 1000001 en binario

Idea clave

Todo texto en una computadora es:

una secuencia de números representados en binario

Bit

Unidad mínima de información.

Un bit puede valer:

• 0
• 1

Byte

1 byte = 8 bits

En este contexto:

un byte permite representar un carácter simple

Ejemplo simple

"Hola"

Tiene 4 caracteres.

Entonces:

"Hola" -> 4 bytes

Unidades de almacenamiento

• 1 KB = 1024 bytes
• 1 MB = 1024 KB
• 1 GB = 1024 MB

3. Operaciones
en sistema binario

Nueva pregunta

Si una computadora representa números en binario:

¿también puede operar con ellos?

Idea básica

El sistema binario también permite operar.

La lógica es la misma que en decimal,

pero en base 2.

Suma binaria

Reglas básicas:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10

Con acarreo ("me llevo...")

• 1 + 1 = 10
• 1 + 1 + 1 = 11

En ambos casos hay acarreo.

Ejemplo de suma

Otras operaciones

• la resta sigue la misma lógica posicional
• la multiplicación usa productos parciales
• la división puede verse como restas sucesivas

Existe una limitación importante:

Las computadoras usan una cantidad fija de bits.

Ejemplo:

8 bits = 1 byte

Overflow

¿Qué pasa si el resultado es demasiado grande para la cantidad de bits disponible?

Ocurre un desbordamiento:

overflow

Así es un overflow:

Si solo tenemos 4 bits:

1111 + 1 -> 0000

Hay overflow.

Entonces, cuándo hay overflow...

La computadora no "se da cuenta" del error.

Simplemente pierde información que no entra en la cantidad de bits disponible.

Nuevo problema:

¿Cómo representamos números negativos?

En binario no existe un símbolo especial - dentro del dato.

Opción: bit

Signo-magnitud:

• un bit para el signo
• el resto para el valor

Problema:

complica las operaciones

Opcion: Complemento a 1

Consiste en invertir todos los bits.

Ejemplo:

0001 -> 1110

Problema del complemento a 1

• aparecen dos ceros:
  • +0 y -0
  • 0000 y 1111
• operar sigue siendo incómodo

Opcion: Complemento a 2

Proceso:

1. invertir los bits
2. sumar 1

Ejemplo: Complemento a 2

0001 -> 1110 -> 1111

Primero se invierten los bits.

Luego se suma 1.

Ventaja: Complemento a 2 (suma)

El complemento a 2 permite:

usar la misma suma para positivos y negativos

Resta en computadoras

Para restar:

se suma el complemento a 2

la computadora no resta directamente; transforma la resta en una suma del negativo, y ese negativo se construye con complemento a 2

Resta en computadoras

la computadora no resta directamente; transforma la resta en una suma del negativo, y ese negativo se construye con complemento a 2

7 - 3   ->   7 + (-3) 

7 = 0111

3 = 0011

-3 = 1100 + 1 = 1101

0111 + 1101 = 10100 -> 0100 = 4