賽局
227 卓育安
大綱
定義
組合賽局
-
兩位玩家遊戲，輪流進行操作
-
資訊完全公開：雙方都了解遊戲規則且能知道當前的完整盤面
-
雙方的行動是決定性的：雙方當前的行動只有唯一可能的結果，無隨機成分。
-
結局分為先手獲勝、後手獲勝（、平手）
分類
| 雙方合法操作異同 | 無偏(Impartial) | 有偏(Partial) |
| 有限步內結束與否 | 無環(Loopfree) | 有環(Loopy) |
| 玩法 | 標準(Normal) | 匱乏(Misère) |
※組合賽局的玩法不只有以上兩種
Zermelo's theorem
對於一個無環的組合賽局，以下敘述必恰有一條成立
- 先手有必勝策略
- 後手有必勝策略
- 雙方皆有必不敗策略（如果結局可能為平手）
Game Graph
以下我們先討論
標準無偏無環賽局
標準無偏無環賽局
型別
對於每個可能出現的盤面，定義
N表示先手必勝點
P表示後手必勝點
型別
將所有盤面劃分成兩個集合\(A_N\)和\(A_P\)
則\(A_N\)／\(A_P\)分別包含所有先手／後手必勝點若且唯若
- \(A_P\)包含所有結局的盤面
- \(A_N\)中的點皆可轉移至\(A_P\)中的點
- \(A_P\)中的點皆不能轉移至\(A_P\)中的點
可以DP判斷盤面的型別
Subtraction Game
有\(n\)顆石頭
雙方在自己的回合必須拿\(1\sim k\)顆
拿走最後一顆石頭的人贏
試問誰有必勝策略？
Nim
規則
有若干堆石頭，每堆數量不一
雙方在自己的回合可以選擇其中一個非空的石堆
並拿取若干顆石頭（至少一顆）
拿走最後一顆石頭的人贏
賦值
若盤面上的非空石堆分別有
\(a_1, a_2, \cdots, a_n\)
則將此盤面賦值為
\(a_1\oplus a_2\oplus\cdots \oplus a_n\)
其中\(\oplus\)為bitwise xor
必勝點
一個Nim的盤面為P-position若且唯若其賦值為0
必勝策略？
賽局和&等價賽局
賽局和
設有兩個賽局\(G_1, G_2\)
定義\(G_1+G_2\)為一個新賽局
玩法：雙方每一回合可以挑選恰一個賽局
（\(G_1\) or \(G_2\)）並進行該賽局的合法操作
若兩賽局皆進入結局則由動最後一步的玩家獲勝
賽局和
賽局和滿足交換律和結合律
多個賽局的和？
等價賽局
設有賽局\(G_1\)和\(G_2\)
若對於任意賽局\(H\)，都有\(G_1+H\)和\(G_2+H\)型別相同
則稱兩賽局等價，記作\(G_1\simeq G_2\)
以下將賽局型別相同記為\(G_1\approx G_2\)
（我不知道要用什麼符號）
性質
\(P+P\approx P\)
\(N+P\approx N\)
\(G+G\approx P\)
因此，若\(G_P\)的型別為\(P\)
則\(G+G_P\simeq G\)
（後手跟著先手玩）
\((G+G_P)+H=(G+H)+G_P\approx G+H\)
（後手執行先手的對稱操作）
性質
所有P-position的賽局皆等價
有哪些等價類？
若\(G_1\approx G_2\approx P\)，則
\(G_1+H\approx H\approx G_2+H\)
\(G_1\simeq G_2\iff G_1+G_2\)的型別是P
(\Rightarrow) G_1+G_2\approx G_1+G_1\approx P\\
(\Leftarrow) G_1+H\approx (G_1+H)+(G_1+G_2)\\
=(G_2+H)+(G_1+G_1)\approx G_2+H
SG Value
mex
對於一個有限集\(A\subseteq \mathbb{Z}_{\geq 0}\)
定義\(\operatorname{mex}A=\min\{n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}\mid n\notin A\}\)
(minimum excluded value)
SG value
對於一賽局\(G\)之所有可能會出現的盤面
遞迴定義其SG value為
該盤面可轉移到的所有點之SG value取mex
ex. \(\operatorname{mex}\{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8\}=4\)
Bouton's Theorem
\(G\approx P\iff SG(G)=0\)
與賽局和的關聯
\displaystyle
\sum_i G_i\approx P\iff \bigoplus_i SG(G_i)=0
我們可以推論出……
與賽局和的關聯
\displaystyle
\sum_i G_i\approx P\iff \bigoplus_i SG(G_i)=0
1.\ G_1\simeq G_2\iff G_1+G_2\approx P\\
\iff SG(G_1)\oplus SG(G_2)=0\iff SG(G_1)=SG(G_2)
\displaystyle
2.\ SG\left(\sum_{i}G_i\right)=\bigoplus_i SG(G_i)
與賽局和的關聯
\displaystyle
2.\ SG\left(\sum_{i}G_i\right)=\bigoplus_i SG(G_i)
\displaystyle
設G=\sum_i G_i，SG(H)=\bigoplus_i SG(G_i)\\
則SG(H)\oplus\bigoplus_i SG(G_i)=0\\
\iff G+H\approx P\\
\iff SG(G)=SG(H)
Sprague-Grundy theorem
對於任意標準無偏無環賽局\(G\)，都存在一個僅有一堆的Nim賽局H滿足\(G\simeq H\)
特別的，上述\(H\)中的那個石堆中恰有\(SG(G)\)顆石頭
ex. Grundy's game
遊戲一開始有一個\(n\)顆石頭的石堆
雙方在自己的回合必須選擇盤面上的其中一堆石堆
並將其分成兩堆大小不同的非空石堆
不能操作的輸
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| SG | 0 | 0 | 1 | 0 | 2 | 1 | 0 | 2 | 1 |
| 型別 | P | P | N | P | N | N | P | N | N |
猜想
- Grundy's Game 的 P-position 僅有這些(?
- Grundy's Game 的 SG value 最終會有週期(?
標準無偏有環賽局
型別
P：結局，或只能轉移到N的盤面（後手必勝點）\\
N：可以轉移到P的盤面（先手必勝點）\\
D：未定義（有限步內不會結束，平手）
從確定的點逆推
Game Graph
P
N
Game Graph
P
N
Game Graph
D
D
D
N
P
N
P
匱乏賽局：Misère Nim
規則
同Nim的玩法
只是拿到最後一顆石頭的人輸
策略
- 若各堆石頭數都只剩0 or 1顆，則只剩奇數／偶數顆時後手／先手必勝
- 若只剩一堆有超過1顆石頭，則應將盤面轉移成剩下奇數個每堆1顆的石頭
- 否則應將各堆顆數的xor sum變成0
2.的盤面必會發生在某個各堆顆數xor sum非0的時候
題單
不一定跟SG value有關
參考資料
Game
By prairie2022
