repkironca
千錘百鍊，浴火重生。
運算思維之雜七雜八
你沒看錯，第一堂課就直接想不到命名
Lecturer：Repkironca、Rainple
- 學校不教的酷東西
可能的收穫
些許副作用
- 教你數學的人數學很爛
- 對高一數學有點印象
- 讓 Aaw 的課變比較好懂
- 不被 108 課綱搞到
- 講師可能很小丑
- 要用到時已經忘記了
| 常見數學符號 | 進位制 | 位元運算 |
| 邏輯敘述 | 集合 | 數據分析 |
| 三角函數 | 排列組合 | 向量與矩陣 |
| 基礎數論 | 基礎微積分 | 怪怪的技巧 |
- 有點程式又不太程式
IG 推坑時間
- ㄟ你知道要怎麼假文青ㄇ
追蹤一些看起來很厲害的專頁！
（看不懂就算了，反正做做效果）
沒什麼特別的，就是沒營養的東西
枯嶺街學測戰士@peng.hc
枯嶺街學測戰士\\@ peng.hc
JEE 導向，針對理科的一些公式、定理等
偶而摻雜甚至是迷因之類的，比較符合高中程度
IIT−JEEGAMING@iitjeegaming
IIT-JEE\;GAMING\\@iitjeegaming
JEE 導向，每天掉落一個進階題目，隔天附上解答，然後字體很美
Mathematics@moiitjee
Mathematics\\@moiitjee
一大堆酷公式、定理，外加證明
CuriousMind@curious_math
Curious Mind\\@curious\_math
把數學原理、公式等東西，用圖像化表達
很多都是高中程度的東東，相對基礎不少
ChandanKumar@winnermaths_
Chandan\;Kumar\\@winnermaths\_
一點點希臘字母
A/α
\Alpha/ \alpha
alpha
－與A相對的符號通常用在△中
－與 A 相對的符號\\通常用在\triangle中
－會搞混，沒什麼鳥用
B/β
\Beta / \beta
beta
－與B相對的符號通常用在△中
－與 B 相對的符號\\通常用在\triangle中
－你目前不會用到大寫
Γ/γ
\Gamma / \gamma
gamma
－與C相對的符號通常用在△中
－與 C 相對的符號\\通常用在\triangle中
－函數名，表階乘
M/μ
\Mu / \mu
Mu
－物理上的質量因次
－平均值、莫比烏斯函數
Θ/θ
\Theta / \theta
theta
－物理上的溫度因次
－角度，超級常被使用
Δ/δ
\Delta / \delta
delta
－變數的變化量
－COVID - 19 的變種
Π/π
\Pi / \pi
pi
－連乘符號
－圓周率
Σ/σ
\Sigma / \sigma
sigma
－連加符號
－母體標準差
Ω/ω
\Omega / \omega
omega
－電阻單位、時間複雜度函數
－角速度
108 課綱就不能
把數系教完整嗎
＂理論上＂你們已經學會的
仙貝姿勢
＂外加＂被 108 課綱黑掉的東西
數系 Number System
虛數 Imaginary Numbers
－對，你們聽過的虛數符號
i
i
定義\;i\,^2\;=\;-1
Howabouti=−1？
How\;about\;i\;=\;\sqrt{-1}？
合理，但盡量不要使用
a×b=ab，∀a、b>0
\sqrt{a}\;×\sqrt{b}\;=\;\sqrt{ab}，\forall\;a、b > 0
(X)i×i=−1×−1=1
(X) i\;×\;i\;=\;\sqrt{-1}×\sqrt{-1}\;=\;\sqrt{1}
a×b=−ab，∀a、b<0
\sqrt{a}\;×\sqrt{b}\;=\;-\sqrt{ab}，\forall\;a、b\;<\;0
計算太複雜了，而且一堆例外，好煩
i\,^0\; = \;1，單純按照\;0\;次方的定義
虛數 Imaginary Numbers
i\,^1\; = \;i，嗯，廢話：）
i\,^2\; = \;-1，虛數\;i\;的基本定義
i\,^3\; = \;i^2\;×\;i \;= \;(-1)×\;i \;= \;-\,i
i\,^4\; = \;i^2\;×\;i^2 \;= \;(-1)×\;(-1) \;= \;1
刷成就感的水題：求\;i\,^0\;+\;i\,^1\;+\;i\,^2\;+\;...\;+i\,^{997} \;之值
Ans：1+i
Ans：1 + i
複數 Complex Numbers
−Ans：1+i，實數加虛數？
-\;Ans：1 + i，實數加虛數？
定義：a+bi
定義\;：\;a\;+\;b\,i
實部
虛部
−共軛複數：實部相等，b互為相反數
-\;共軛複數：實部相等，b 互為相反數
5+7i
5\;+\;7\,i
5−7i
5\;-\;7\,i
13+17i
13\;+\;17\,i
13−17i
13\;-\;17\,i
x=a+bi
x\;=\;a\;+\;b\,i
x=a−bi
\overline{x}\;=\;a\;-\;b\,i
ifb=0∧a∈R，then(a+bi)∈R
if\;b\;=\;0\;\wedge\;a\;\in\;R，then\;(\,a\;+\;b\,i\,)\;\in\;R
ifb=0∧a、b∈R，then(a+bi)∈I
if\;b\;\neq\;0\;\wedge\;a、b\;\in\;R，then\;(\,a\;+\;b\,i\,)\;\in\;I
複數 Complex Numbers
加法：x+y=x+y
加法：\overline{x}\;+\;\overline{y}\;=\;\overline{x\;+\;y}
1+2i+2−3i
\overline{1\;+\;2\,i}\;+\;\overline{2\;-\;3\,i}
=1−2i+2+3i
=\;1\;-\;2\,i\;+\;2\;+\;3\,i
=3+i=3−i
=\;3\;+\;i\;=\;\overline{3\;-\;i}
乘法：x×y=xy
乘法：\overline{x}\;×\;\overline{y}\;=\;\overline{x\,y}
1+2i×2−3i
\overline{1\;+\;2\,i}\;×\;\overline{2\;-\;3\,i}
=(1−2i)(2+3i)
=(\,1\;-\;2\,i\,)\;(\,2\;+\;3\,i\,)
=2+3i−4i−6i2
=\;2\;+\;3\,i\;-\;4\,i\;-\;6\,i^2
=8−i=8+i
=\;8\;-\;i\;=\;\overline{8\;+\;i}
試求\,x\,^2\;-4\,x\;+\;5\;之解？
＂蛤可是它的判別式小於 0 耶＂
x=24±−4
x = \frac{4\;\pm\;\sqrt{-4}}{2}
=24±4i
\;= \frac{4\;\pm\;\sqrt{4}\,i}{2}
=2±i
\;= 2\;\pm\;i
Ans∈I，且兩根互為共軛複數
Ans\;\in\;I，且兩根互為共軛複數
SOURCE，有興趣可以慢慢點
因為我懶所以沒 APA，不良示範請勿模仿
常見的數學符號
用中文寫數學真的很慢.jpg
而且外國人看不懂
很多東西想用更正式的方法表達
卻不知道怎麼下手ㄇ
你需要的是 Google
我是說，你需要的是等等的課程！
!
階乘 Factorial
－白話定義：一直往下乘下去，直到 1 為止
－數學定義：n!=n×(n−1)!
－數學定義：n\,!\;=n\;×\;(\,n\;-\;1\,)\,!
4!=4×3×2×1=24
4\,!\;=\;4\;×\;3\;×\;2\;×\;1\;=\;24
∵1!=1×0!=1
\because 1\,!\;=\;1\;×\;0\,!\;=\;1
∴define0!=1
\therefore define\;0\,!\;=\;1
21!=2π
\frac{1}{2}\,!\;=\;\frac{\sqrt{\pi}}{2}
∀n∈N
\forall\;n\;\in\;N
n=0
n= 0
∀n∈R∧n≥0
\forall\,n\in R\wedge n \geq0
∀n∈R
\forall\,n\in R
屬於 Belongs To
∈
\in
不屬於 Not Belongs To
∈/
\notin
－字面上的意思，後面常接一個數系
π∈R
\pi\;\in\;R
−7122∈/R
\sqrt{-7122}\;\notin\;R
對於所有 For All
∀
\forall
－後面也可以接一個集合，等等會講到
－拜託不要講中文，沒人聽得懂
－同樣字面上的意思，代表 每個 case 都符合此條件
n≤100，∀n∈Z
n\;\leq\;100，\forall\;n\;\in\;Z
求和符號 Summation
Σ
\Sigma
－那個符號正是大寫 Sigma，我們也會這樣叫它
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Σi=110i
\Sigma_{i = 1}^{10}\;i
1+2+3+...+10=55
1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55
Σi=110i=55
\Sigma_{i = 1}^{10}\;i\;=\;55
－一個計數器，每次遞增 1，再把結果加起來
i=1：計數器命名為i，從＂1＂開始往上遞增1
i\;=\;1：計數器命名為\;i，從＂1＂開始往上遞增\;1
10：當計數器數完＂10＂後就會結束
10：當計數器數完＂10＂後就會結束
i（右邊的）：把每個時刻的＂i＂都加起來
i（右邊的）：把每個時刻的＂i＂都加起來
求和符號 Summation
Σ
\Sigma
一點點小變化？
2nΣi=1n(xi＋yi)
\frac{\Sigma_{i = 1}^{n}\;(x_i＋y_i)}{2n}
每次各加一個 x 與 y 進來
最終總共有 2n 項！！
Σi=515i
\Sigma_{i = 5}^{15}\;i
5＋6＋7＋...＋15
5＋6＋7＋...＋15
Σi=1102i
\Sigma_{i = 1}^{10}\;2\,i
(2×1)＋(2×2)＋...＋(2×10)
(2×1)＋(2×2)＋...＋(2×10)
Σi=110(2i+3)
\Sigma_{i = 1}^{10}\;(2\,i + 3)
(2×1+3)＋(2×2+3)＋...＋(2×10+3)
(2×1+3)＋(2×2+3)＋...＋(2×10+3)
Σi=1104
\Sigma_{i = 1}^{10}\;4
4+4+4+4+4+4+4+4+4+4
4+4+4+4+4+4+4+4+4+4
Σi=1nxi
\Sigma_{i = 1}^{n}\;x_i
x1＋x2＋x3＋...＋xn
x_1＋x_2＋x_3＋...＋x_n
x1＋x2＋x3＋...＋xn
x_1＋x_2＋x_3＋...＋x_n
y1＋y2＋y3＋...＋yn
y_1＋y_2＋y_3＋...＋y_n
求兩數列之平均？
求積符號 Product
Π
\Pi
－跟求和符號一模一樣，只是 "加" 改成 "乘"
－那個就是大寫 Pi，但我不會這樣叫他
Πi=110i
\Pi_{i = 1}^{10}\;i
1×2×3×...×10
1×2×3×...×10
Πi=1n(2xi)
\Pi_{i = 1}^{n}\;(2\,x_i)
2x1×2x2×2x3×...2xn
2\,x_1×2\,x_2×2\,x_3×...2\,x_n
Πi=220(i(i－1))
\Pi_{i = 2}^{20}\;(i(i－1))
(2×1)×(3×2)×...×(20×19)
(2×1)×(3×2)×...×(20×19)
Πi=15((xi＋yi)×(x2i－y2i))
\Pi_{i = 1}^{5}\;((x_i＋y_i)×(x_{2i}－y_{2i}))
[(x1＋y1)(x2－y2)]×[(x2＋y2)(x4－y4)]×...×[(x5＋y5)(x10－y10)]
[(x_1＋y_1)(x_2－y_2)]×[(x_2＋y_2)(x_4－y_4)]×...×[(x_5＋y_5)(x_{10}－y_{10})]
換講師時間 :partying_face:
等等你會看到巨大的
簡報風格差距 XDD
然後請記住 無論他等等說了什麼
全都不代表本人立場
不要聽他唬爛==
邏輯
那是是非非都似是而非建立ㄉ基礎
會有一坨東西 但蠻少真的用到ㄉ
| 英文 | 中文 | 邏輯符號 | C++ 邏輯運算子 | 意義 |
|---|---|---|---|---|
| not | 非 | ¬ A / ~A | ! A | A的反相(布林反轉) |
| and | 且 | A ∧ B | A && B | AB皆T→T |
| or | 或 | A ∨ B | A || B | AB任一為T→T |
| xor | 異或 | A ⊕ B | A ^ B | AB僅一為T→T |
基本邏輯符號&意義
．布林值：0/1 ( Ture / False )
．布林式：一坨布林值的運算式，結果是布林值
| A | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
| A | B | A ∨ B |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
| A | B | A ⊕ B |
|---|---|---|
| T | T | F |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
and（且）
or（或）
xor（異或）
真亦假假亦真真值表
Pop Quiz！
( ~ ( 0 ∨ ( ( 1 ⊕ 1 ) ∧ 1 ) ) ⊕ 0 ) ∧ 1 =True/False?
( ~ ( ( 0 ∨ ( ( 1 ⊕ 1 ) ∧ 1 ) ) ⊕ 0 ) ) ∧ 1
⇒( ~ ( ( 0 ∨ ( 0 ∧ 1 ) ) ⊕ 0 ) ) ∧ 1
⇒( ~ ( ( 0 ∨ 0 ) ⊕ 0 ) ) ∧ 1
⇒( ~ ( 0 ⊕ 0 ) ) ∧ 1
⇒( ~ 0 ) ∧ 1
⇒1 ∧ 1
⇒1
¬ / ~ / not / 否定
「否定敘述即用最低代價使原敘述不成立之敘述」
(p.s. 否定敘述是相對ㄉ)(p.p.s.只在原敘述的範圍內更動)
So how to把肯定改成否定？
．直接把是改不是？
跟白癡一樣，白癡得要命。
1. 改成概念相反的述語（使不成立）
「是、會、有」改「非、不、無」
「大／小於」改「小／大於等於」
單純「v.、n.、adj.」加「非、不」
2. 偏稱全稱互換（用最小代價）
「都、皆、全」與「有」互換
「和、並、且」與「或」互換
黑
↓
白
全班都及格
↓
全班不及格
是故，「至多10人數學及格」的否定敘述是
「超過10人數學及格」或「至少11人數學及格」
(2.只有特定情況要用)
(自然數範圍內的推理)
非黑
全班不及格
↓
有人不是及格
What is 「只在原敘述的範圍內更動」？
Ans：不要講太多，根本沒人在乎
e.g. ~ ( 蘇昱亙是白癡 ) ≡ 蘇昱亙不是白痴
或蘇昱亙是熱鯊
或蘇昱亙是
菸鹼醯胺腺嘌呤二核苷酸磷酸
或蘇昱亙是位能
或蘇昱亙是八元數
不用特別講，沒人在乎
超出我們討論的範圍
其他例子：~ ( x > 2 ) ≡ ( x ≤ 2 ) ∨ ( x ∉ ℝ)
超過10人及格 ≡ 至少11人及格或人數不是自然數
⎩⎨⎧
\begin{cases}
\\
\\
\\
\\
\end{cases}
．充分必要條件 if
若P則Q：P → Q（Ｐ成立時Ｑ必成立）
P是Q的充分(條件)
Q是P的必要(條件)
※否定後件
P → Q（Ｐ則Ｑ）
~Q→~P（非Ｑ則非Ｐ）
Ｑ ≥ Ｐ
跟蘇昱亙溝通 會 腦霧（P→Q）
不跟蘇昱亙溝通
（~P→♢Q）
不一定會 腦霧
腦霧
不一定 跟蘇昱亙溝通過
（Q→♢P）
不腦霧
一定 沒跟蘇昱亙溝通
（~Q→~P）
Ｐ發生
Ｑ亦發生
Ｑ發生
Ｐ不一定發生
．若且唯若 if and only if / iff
若Ｐ則Ｑ(Q if P)：Ｐ→Ｑ
唯若Ｐ則Ｑ(Q only if P)：¬Ｐ→¬Ｑ⇔Ｑ→Ｐ
若且唯若Ｐ則Ｑ(Q iff P)：
(Ｑ→Ｐ) ∧ (Ｐ→Ｑ) ⇔ (Ｐ⇔Ｑ)
Ｐ與Ｑ互為充分必要條件（充要條件）
即ＰＱ等價
＋
‖
=
Ｑ ≥ Ｐ
Ｐ ≥ Ｑ
Ｐ＝Ｑ
集合
Set
What is 集合？
Ans：由一坨元素構成的群體，通常用Ｓ(set)表示單個集合
e.g.一鍋火鍋是一個集合，蟹肉棒、烏龍麵、五花豬、昆布湯都是一種元素
怎麼表示有的元素？
S1S2={1,2,4,8,125}⇒S1裡面有(1),(2),(4),(8),(125)這五個元素={3.14,{1,2,3},i,π}⇒S2裡面有(3.14),(有(1),(2),(3)的集合),(i),(π)這四個元素
\begin{aligned}
S_1&=\{1,2,4,8,125\}\\
&\Rightarrow S_1裡面有(1),(2),(4),(8),(125)這五個元素\\
S_2&=\{3.14,\{1,2,3\},i,\pi\}\\
&\Rightarrow S_2裡面有(3.14),(有(1),(2),(3)的集合),(i),(\pi)這四個元素
\end{aligned}
列舉法
S={...}
描述法
S={...|...的描述}
S3S4={x∣x∈R∧x2−7x+6≥0}⇒S3內的每個元素x皆屬於實數並符合x2−7x+6≥0={(x,y)∣y=sinx∧x∈R}⇒S4內的每個元素數對(x,y)皆在方程式y=sinx上
\begin{aligned}
S_3&=\{x|x\in\mathbb{R}\wedge x^2-7x+6\geq0\}\\
&\Rightarrow S_3內的每個元素x皆屬於實數並符合x^2-7x+6\geq0\\
S_4&=\{(x,y)|y=\sin x\wedge x\in\mathbb{R}\}\\
&\Rightarrow S_4內的每個元素數對(x,y)皆在方程式y=\sin x上
\end{aligned}
元素型式統一，具有某個特徵
元素量可能無限
不計次序，不計重複，不計屬性
元素性質不一，量通常少
．名詞符號解釋
舉個例子：S={1,2,3,4,5}
舉個例子：
S=\{1,2,3,4,5\}
1,2,3,4,5皆是元素，而屬於S
∈屬於 Belongsto，[元素]∈[集合]e.g. 1∈S
\begin{aligned}
&\in 屬於\ Belongs\;to，[元素]\in[集合]\\
&e.g.\ 1\in S
\end{aligned}
如果有一個集合T的元素皆屬於S，
此時稱T為S的子集，而T包含於S
⊂/⊆包含於 Containedin，[子集]⊂[集合]e.g. T={1,2,3},T⊂S
\begin{aligned}
&\subset/\subseteq 包含於\ Contained\;in，[子集]\subset[集合]\\
&e.g.\ T=\{1,2,3\},T\subset S
\end{aligned}
有個集合啥都沒，則稱之為空集合，
記作 {} 或 ∅ ，且∅為任一集合之子集
∅ 空集合 EmptySet，e.g. ∅⊂S
\begin{aligned}
&\varnothing\ 空集合\ Empty\;Set，\\
&e.g.\ \varnothing\subset S
\end{aligned}
有個集合包含所有 S 的研究對象，
稱之為宇集或基集，記為 U
U 宇集/基集 UniversalSet，e.g. S⊂U
\begin{aligned}
&\mathrm{U}\ 宇集/基集\ Universal\;Set，\\
&e.g.\ S\subset \mathrm{U}
\end{aligned}
如果Ｓ是有限集合（元素量可數），
此時用 n(S) 或 |S| 表示Ｓ的元素量
n(S) / ∣S∣ S的元素個數 Thenumber of S，e.g. n(S)=∣n∣=5
\begin{aligned}
&n(S)\ /\ |S|\ S的元素個數\ The\;number\ of\ S，\\
&e.g.\ n(S)=|n|=5
\end{aligned}
Pop Quiz！
S={∅,1,2,{3,4},{5}}
S=\{\varnothing,1,2,\{3,4\},\{5\}\}
( ) 1.( ) 2.( ) 3.( ) 4.( ) 5. 1∈S {1,2}∈S {3,4}∈S {3}⊂S 4∈S
\begin{aligned}
( )\ 1.&\ 1\in S\\
( )\ 2.&\ \{1,2\}\in S\\
( )\ 3.&\ \{3,4\}\in S\\
( )\ 4.&\ \{3\}\subset S\\
( )\ 5.&\ 4\in S\\
\end{aligned}
Ｏ
Ｏ
Ｏ
Ｏ
╳
╳
╳
( )( )( )( )( ) 6. ∅∈S 7. ∅⊂S 8. {{5}}⊂S 9. 5∈S 10. n(S)=6
\begin{aligned}
( )&\ 6.\ \varnothing \in S\\
( )&\ 7.\ \varnothing \subset S\\
( )&\ 8.\ \{\{5\}\}\subset S\\
( )&\ 9.\ 5\in S\\
( )&\ 10.\ n(S)=6
\end{aligned}
╳
╳
Ｏ
Pop Quiz！
今有一個有限集合Ｓ，Ｓ共有多少不同子集？
令∀A⊂S
令\forall A\subset S
⇒A的總數量=2n(S)
\Rightarrow A的總數量=2^{n(S)}
每個子集，
對其中每個元素皆有拿(使屬於A)或不拿(使不屬於A)兩種選擇
每遇到一個元素就×2
每遇到一個元素就\times 2
Ans:2n(S)
Ans: 2^{n(S)}
．集合ㄉ計算
U
A
B
2.交集∩:A∩B={x∣x∈A∧x∈B}
2.交集\cap :A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}
1.聯集∪:A∪B={x∣x∈A∨x∈B}
1.聯集\cup :A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}
3.差集−:A−B={x∣x∈A∧x∈/B}
3.差集- :A - B=\{x|x\in A\wedge x\notin B\}
4.補集′/ : B′= B={x∣x∈/B∧x∈U}
\begin{aligned}
&4.補集'/\overline{ }:\\
& B^{'}=\ \overline{B}=\{x|x\notin B \wedge x\in U\}
\end{aligned}
．狄摩根定律
(A∪B)′=A′∩B′
(A\cup B)^{'}=A^{'}\cap B^{'}
(A∩B)′=A′∪B′
(A\cap B)^{'}=A^{'}\cup B^{'}
Pop Quiz！
若一班有40人，32人喜歡玩傳說對決，
24人喜歡玩神魔之塔，28人喜歡玩弓箭傳說。
請問同時喜歡三個遊戲的人(1)最多_____人(2)最少_____人
-建國中學 110學年度 下學期 第二次段考 數學科 第六題 我被隔離QAQ
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24
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4
．補充：積集
{A={x∣x≡1(mod 2)}B={y∣y≡1(mod 3)}
\begin{cases}
{\color{red}A=\{x|x\equiv 1 (mod\ 2)\}}\\
{\color{blue}B=\{y|y\equiv 1 (mod\ 3)\}}
\end{cases}
０
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9
8
7
6
5
4
3
2
1
(1,1)
(1,4)
(1,7)
(3,7)
(5,7)
(7,7)
(7,4)
(7,1)
(5,1)
(5,4)
(3,4)
(3,1)
A×B={(x,y)∣x∈A∧y∈B},n(A×B)=n(A)×n(B)
A\times B=\{(x,y)|x\in A\wedge y\in B\}, n(A\times B)=n(A)\times n(B)
好大概就先這樣就好
集合最廣泛運用到會在排列組合
我們到時候再回來面對它ㄅ
運算思維之雜七雜八 你沒看錯，第一堂課就直接想不到命名 Lecturer：Repkironca、Rainple
建北小社_運算思維 01 雜七雜八
By repkironca
建北小社_運算思維 01 雜七雜八
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