• El universo es complejo: ¿cómo entenderlo?


• Reducir las estructuras complejas del universo a sus bloques más simples puede ayudarnos


• Reducción irrestricta puede generar inconsistencias

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El camino a la sabiduría...

"If you can't explain it simply, you don't understand it well enough"

Albert Einstein

Reduccionismo: el todo es la suma de sus partes

• Entender y explicar los sistemas complejos usando propiedades e interacciones de los sistemas simples.

Antecedentes del Atomismo de Demócrito

• Filosofía presocrática: comprensión de la esencia de la realidad física


• Escuela jónica (Tales, Anaximandro, Anaxímenes): sustrato material como elemento básico y unitario (agua, apeirón, aire)


• Pitagóricos: el número es la esencia


• Demócrito es considerado Presocrático

El cambio y la permanencia

•  Parménides: Metafísico de la permanencia. Los sentidos no pueden darnos conocimiento cierto, la razón es la vía.


• Heráclito: Metafísico del cambio. "Todo cambia, nada permanece". Los sentidos nos revelan lo existente.

¿Cómo conciliamos la permanencia de la razón con lo cambiante de los sentidos?

Distinguimos en la realidad dos planos:

La realidad de lo simple

La realidad de lo compuesto

La realidad de lo simple cumple las exigencias de la razón, de lo que permanece

La realidad de lo compuesto cumple las de los sentidos, de lo que cambia

Se postula entonces una pluralidad de principios y elementos

Se abandona el monismo material

Atomismo de Demócrito:

Teoría atómica del universo

• Reduce el universo en átomos y vacío

• Los átomos se mueven en el vacío

• El vacío es el fundamento de la división y el movimiento

• Los átomos son eternos, indivisibles, homogéneos, incompresibles e invisibles.

• Se diferencian sólo en forma y tamaño, pero no por cualidades internas.

• Reconoce la experiencia sensible
• Lo que vemos son átomos ensamblados que se mueven en el vacío
• Las propiedades de la materia varían según el agrupamiento de los átomos.

Atomismo de Demócrito:

Teoría atómica del universo

Atomismo de Demócrito

"El conocimiento verdadero y profundo es el de los átomos y el vacío, pues son ellos los que generan las apariencias, lo que percibimos, lo superficial."

• Explicación total de la realidad a través de la materia: Teoría del todo


• Todo el esquema del universo se reduce a un enfoque materialista y mecanicista.

 

Atomismo de Demócrito: consecuencias

Entonces:

El átomo material, sus propiedades cuantitativas y el movimiento regulado por leyes mecánicas son una verdad universal que permiten explicar la totalidad de los fenómenos.

Atomismo de Demócrito: consecuencias

• Siglo XX: esos átomos están compuestos de entidades más pequeñas: electrones, neutrones y protones


• Después: ¡¡los protones y neutrones están hechos de quarks!!


• Lo veremos en breve (Modelo Estándar de partículas)

Tiempo después: ¡los átomos son divisibles!

• de Demócrito: primer modelo atómico


• de Dalton que surgió en el contexto de la química, el primero con bases científicas (1803)


• de Thomson modelo del budín, donde los electrones son como las "frutas" dentro de una "masa" positiva.


• del átomo cúbico de Lewis, donde los electrones están dispuestos según los vértices de un cubo

Varios modelos atómicos a lo largo de la historia

• de Rutherford el primero que distingue entre el núcleo central y una nube de electrones a su alrededor.


• de Bohr un modelo cuantizado del átomo, con electrones girando en órbitas circulares


• de Sommerfeld una versión relativista del modelo de Rutherford-Bohr.


• de Schodinger un modelo cuántico no relativista donde los electrones se consideran ondas de materia existente (1924)

Varios modelos atómicos a lo largo de la historia

Varios modelos atómicos a lo largo de la historia

• Existencia de 3 partículas: protón, electrón y neutrón.


• Las partículas interactúan con base en 3 fuerzas primarias: la fuerza nuclear que se encarga de mantener unidos al protón y al neutrón, la  fuerza electromagnética que atrae al electrón al núcleo del átomo y la gravedad.

Modelo atómico de 1935

El concepto de reduccionismo y atomismo entendido como "reducir la realidad a constructos simples" continuó hasta la era moderna

Pero el legado siguió...

Por su teoría atómica del universo Demócrito es considerado el primer Físico de Partículas

Pero el legado siguió...

Pero con un modelo atómico, aún estamos muy lejos de una "Teoría del Todo"

Ya vimos el atomismo físico, ¿qué hay de lo no material?

Atomismo lógico

• Corriente filosófica sostenida por  Bertrand Russell y Ludwig Wittgenstein


• El principal error de la filosofía ha sido caer en las trampas del lenguaje


• El lenguaje permite errores de vocabulario, sintaxis y gramática

Atomismo lógico

“Quienes no hayan sucumbido a la lógica de sujeto-predicado no tienen sino que dar un paso más y admitir relaciones entre dos términos, tales como antes y después, mayor y menor, izquierda y derecha. El lenguaje mismo contribuye a llevarnos más allá de la lógica sujeto-predicado.”

Bertrand Russell

La tarea de la Filosofía ahora es buscar un lenguaje perfecto

La filosofía debe centrar sus esfuerzos en un análisis del lenguaje:

• Detectar errores en el mismo
• Establecer un lenguaje lógicamente perfecto
• Debe estar construido al servicio de la ciencia
• No debe permitir ningún tipo de equivocación

Proposición central del Atomismo lógico

La verdad de una proposición consiste en la descomposición de la misma en elementos más simples (átomos lógicos) y la confirmación de estos.

1. Sus elementos constituyentes más simples (átomos lógicos) son verdaderos, i.e. pueden confirmarse por conocimiento directo o por conocimiento por referencia.


2. La relación lógica que se expresa en la proposición entre estos elementos es también contrastable por la realidad.

¿Cuándo una proposición es considerada verdadera?

Más adelante veremos ejemplos de cómo surgen poblemas derivados del afán de construir teorías generalistas del lenguaje, de la lógica y las matemáticas: paradojas

Las paradojas ha puesto en duda las bases en las que construimos nuestros razonamientos: la lógica y las matemáticas

Todo esto suena muy bien, ¿cuál es el problema?

CERN: The standard model of Particle Physics

Modelo Estándar de Partículas

 Explica interacciones de 3 fuerzas con las partículas anteriores (¿cómo?)

Modelo Estándar de Partículas

Modelo Estándar de Partículas:

Fermiones

• Son las partículas de las que está hecha la materia


• Siguen el Principio de Exclusión de Pauli: Principio de la Mecánica Cuántica que dice que dos fermiones no pueden ocupar el mismo estado cuántico al mismo tiempo


• Tienen masa (¿cómo adquieren masa?), carga y spin (esto último las diferencía de los bosones)

Modelo Estándar de Partículas

Modelo Estándar de Partículas:

Quarks

• Tienen carga de color: roja, verde o azul que es usada para describir como interactúan mediante interacción fuerte


• Confinamiento: es el fenómeno que hace que los quarks no se puedan aislar


• Se encuentran en grupos llamados hadrones


• Los hadrones pueden ser mesones (1 quark + 1 antiquark) o bariones (3 quarks)

Modelo Estándar de Partículas:

Quarks

• Los protones y neutrones se forman con quarks
• Tienen carga eléctrica e isospín débil
• Entonces interactúan con otros fermiones vía fuerza electromagnética y nuclear débil

Modelo Estándar de Partículas:

Quarks

Modelo Estándar de Partículas

Modelo Estándar de Partículas:

Leptones

• Tienen carga de color: roja, verde o azul que es usada para describir como interactúan mediante interacción fuerte


• Confinamiento: es el fenómeno que hace que los quarks no se puedan aislar


• Se encuentran en grupos llamados hadrones


• Los hadrones pueden ser mesones (1 quark + 1 antiquark) o bariones (3 quarks)

Modelo Estándar de Partículas

Modelo Estándar de Partículas:

Bosones

• Son las partículas que permiten que las fuerzas fundamentales interactúen con la materia


• "Force carriers", como "mensajeros"


• NO Siguen el Principio de Exclusión de Pauli: i.e. dos bosones sí pueden ocupar el mismo estado cuántico

 

¿De qué fuerza son mensajeros los bosones?

Modelo Estándar de Partículas:

Bosón de Higgs

Bosón de Higgs

El Bosón de Higgs es la excitación de un campo, el de Higgs, así como el fotón es la excitación del campo electromagnético y el electrón del campo eléctrico.

El campo de Higgs se cree que se encuentra en todo el universo, y el Bosón de Higgs sería la partícula encargada de transmitirlo a las partículas subatómicas con masa.

Bosón de Higgs

Bosón de Higgs

No había sido posible encontrar empíricamente el Bosón de Higgs.

Se tenían sus características físicas pero a que necesita una gran cantidad de energía para que pueda ser observable resulta particularmente difícil encontrarlo, pues .

Bosón de Higgs

Lo que ocurrió en el 2012 es que el acelerador de partículas CERN encontró una partícula que parecía ser el Bosón de Higgs. Tenía todas las características postuladas por el modelo Estándar de Partículas.

En sentido estricto, no es que se haya aún encontrado el Bosón de Higgs, pero la probabilidad es muy alta. Los físicos continúan haciendo investigación que permita aumentar la certeza de que la partícula que se encontró es el Bosón de Higgs.

Importancia del Bosón de Higgs

Sin masa, el Universo sería un lugar totalmente diferente.

A grandes escalas, sin atracción gravitatoria no existirían planetas y estrellas, por lo que no podrían soportar vida. Incluso si olvidáramos esto, a nivel microscópico la masa juega un papel importante en la existencia de átomos y por tanto en la materia como la conocemos: no habría química, ni biología ni existiríamos nosotros mismos...

Importancia del Bosón de Higgs

Sin ir a casos tan extremos, la masa es importante en efectos tan cotidianos como el esfuerzo que hay que hacer para poner un objeto en movimiento, lo complicado que puede ser frenarlo o lo intenso que es el impacto de este objeto cuando choca contra otro.

Importancia del Bosón de Higgs

Matemáticamente el campo de Higgs es un campo cuántico que se extiende por todo el espacio y se acopla con distinta intensidad a las distintas partículas (si lo hace con más intensidad la partícula tendrá una mayor masa). El acoplamiento, la masa, viene dado por algo parecido a una fricción con el campo de Higgs, por lo que las partículas más ligeras se moverían por este campo fácilmente mientras que las más pesadas lo harán con mayor dificultad.

Importancia del Bosón de Higgs

Una forma de visualizarlo es imaginar el campo de Higgs como un mar y las partículas como barcos navegando por él. Barcos más grandes sufren una mayor fricción, tendrán mayor masa. El mismo campo se puede manifestar como una partícula, el bosón de Higgs, que se mueva por él de manera parecida a la de un iceberg desplazándose por el mar.

Qué no es el Bosón de Higgs

• No es la partícula de Dios.

• No explica el universo.

• No explica porqué hay algo en vez de nada.

• No estamos seguros de haber encontrado el Bosón de Higgs.

• Si la partícula que se encontró no fuera el Bosón de Higgs, no significa que la Física se desmorone,  “simplemente” hay que replantear el Modelo Estándar de Partículas)

Qué no es el Bosón de Higgs

• Si la partícula que se encontró no fuera el Bosón de Higgs, esto no significa que el Bosón de Higgs no exista, mucho menos que el campo de Higgs no exista.

• No es lo mismo el Bosón de Higgs, el campo de Higgs, ni el mecanismo de Higgs.

• El Modelo Estándar de partículas “no explica todo lo que hay en el universo”, por lo que no puede ser considerada una “Teoría del todo”.

La paradoja del Barbero

Consideremos un barbero que vive en un pueblo y afeita únicamente a todos los que no se afeitan a mismos. La pregunta es: ¿Quién afeita al barbero? No sabemos quién, pero de entrada parece que podemos decir que “o se afeita a sí mismo o no se afeita a sí mismo”.

Entonces, ¿Tal barbero se afeita a sí mismo?

La paradoja del Barbero: sí se afeita

Si la respuesta es “no se afeita a sí mismo”, entonces se debe afeitar a sí mismo, pues quedamos que si un individuo de dicho pueblo no se afeitaba a sí mismo, entonces tenía que ser afeitado por el barbero. De modo que “si no se afeita a sí mismo entonces se afeita a sí mismo”.

La paradoja del Barbero: sí se afeita

Si la respuesta es “se afeita a sí mismo”, entonces no es un individuo que vaya a ser afeitado por el barbero, pues dijimos que el barbero afeitaba únicamente a los que no se afeitaban a sí mismos. Entonces, “si se afeita a sí mismo entonces no se afeita a sí mismo”.

La paradoja del Barbero

Conjuntando ambas proposiciones tenemos que: “si no se afeita a sí mismo entonces se afeita a sí mismo” & “si se afeita a sí mismo entonces se afeita a sí mismo”.

La paradoja del Barbero

Luego, ¡¡¡se afeita a sí mismo si y sólo si no se afeita a sí mismo!!!

La paradoja del Barbero: ¿qué pasó?

¿En dónde estuvo el problema?

Parece que toda nuestra cadena de razonamientos fue correcta.

Conjuntos de conjuntos

Consideremos el conjunto de todos los perros.

¿Es ese conjunto está contenido en sí mismo? Solo podría estar contenido si fuera un perro. ¿Lo es? Parece ser que no.

Conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos

Al parecer nos queda claro que un conjunto está contenido dentro de sí mismo o no lo está, y no ambos, pero pensemos si esto es cierto:

Conjuntos de todos los conjuntos

Consideremos a M := el conjunto de todos los conjuntos que NO se contienen a sí mismos. ¿M está contenido en sí mismo? Si M está contenido en sí mismo, entonces es un conjunto que NO se contiene a sí mismo, pues dijimos que para estar en M, un elemento (en este caso un conjunto) no podía contenerse a sí mismo.

Conjuntos de todos los conjuntos

Luego, M está contenido en sí mismo sii M no está contenido en sí mismo. Se aplica el mismo razonamiento para el otro lado (¡ejercicio para el lector!) y llegamos a que M no está contenido en sí mismo sii M está contenido en sí mismo. Esto nos lleva a una paradoja, pues M está contenido en sí mismo sii no está contenido en sí mismo. Luego M no puede ser un conjunto que no se pertenezca a sí mismo, ni que se pertenezca a sí mismo.

Conjuntos de todos los conjuntos

¿Pero entonces qué es M?

¿Qué tipo de conjunto (en lógica clásica) admite tener una propiedad y no tenerla al mismo tiempo? Nuestra intuición nos dice que esto está mal, que no es posible.

¿Cómo desarrollar una teoría formal que incluya nuestras intuiciones más básicas en un sistema formal de razonamiento que no nos lleve a paradojas?

Paradoja de Grelling-Nelson: adjetivos en vez de conjuntos

Decimos que un adjetivo es autológico si y sólo si se describe a sí mismo y heterológico si no se describe a sí mismo.

Entonces, podemos dividir a los adjetivos en dos clases disjuntas: los que son autológicos y los que son heterológicos.

Paradoja de Grelling-Nelson: adjetivos en vez de conjuntos

La palabra “sustantivo” es autológico porque es un sustantivo, pero la palabra “monosilábico” es heterológico porque no tiene una sola sílaba, sino 6.

Ahora preguntémonos lo siguiente: ¿dado que podemos considerar a “heterológico” como un adjetivo en sí mismo, en cuál de las dos clases está? ¿Es “heterológico” heterológico?

Paradoja de Grelling-Nelson: adjetivos en vez de conjuntos

Si la respuesta es “no”, entonces "heterológico" es autológico. Luego,  "heterológico” se describe a sí mismo. Pero "heterológico" es heterológico. Entonces “heterológico” no se describe a sí mismo. ¡Contradicción!

Si la respuesta es “sí”, entonces "heterológico" no se describe a sí mismo. Pero "heterológico" no es heterológico. ¡Contradicción!

Russell: el culpable es la autoreferencia

Es decir, preguntarse primero si el conjunto de todos los conjuntos era un conjunto y después si “heterológico” era heterológico.

Entonces, ¿por qué no tratar de eliminar la autoreferencia y cualquier cosa que le permita surgir?

Russell y Whitehead: Teoría de Tipos

Un conjunto del tipo más bajo no puede tener conjuntos como miembros, sólo objetos.

Un conjunto del siguiente tipo podría contener objetos y conjuntos como miembros pero sólo si los últimos pertenecían al tipo de abajo.

En general, un conjunto de un tipo dado sólo puede tener objetos o conjuntos de un tipo más bajo.

Entonces...

Dado un conjunto, sólo es posible que contenga conjuntos de tipos más bajos, u objetos y cada conjunto pertenece a uno y un solo tipo.

Claramente un conjunto no podrá contenerse a sí mismo porque para esto tendría que pertenecer a un tipo más alto que su propio tipo, pero sólo puede pertenecer a un tipo, en el que de hecho está actualmente.

¿Qué pasó con M?

¡Ya no puede existir!

¿Ahora cuál es el problema?

• Introduce una jerarquía de conjuntos aparentemente artificial
• No permite la formulación de conjuntos como el conjunto M.
• No resuelve la paradoja de Grelling-Nelson

Paradoja de Grelling-Nelson: jerarquizar lenguajes

Lenguaje objeto en la base de la jerarquía

La referencia podría hacerse sólo a un dominio específico, no a características del lenguaje objeto (como sus reglas gramaticales o sentencias específicas).

Asimismo, habría un meta-metalenguaje para discutir el metalenguaje, y asi sucesivamente. Como antes, cada sentencia debería pertenecer a uno y sólo un nivel de la jerarquía y si no es posible encontrar una jerarquía para una sentencia, entonces la sentencia no puede existir y se descarta.

Problemas

Los lenguajes no son entidades tan abstractas como los conjuntos

Esta estratificación en el lenguaje parece absurda y parece inverosímil pensar que estaremos brincando de jerarquía en jerarquía cuando usamos el lenguaje.

Por ejemplo, “en este párrafo estoy criticando a la teoría de tipos” estaría prohibida

Problemas

Reducir fenómenos caóticos a estructuras en apariencia simples han sido estudiados por numerosos filósofos y matemáticos.

Se han preguntado si incluso teorías muy concretas como la teoría de numeros estaban construidas sobre fundamentos sólidos.

Si podían fácilmente surgir paradojas con la unidad básica de la teoría de conjuntos, el conjunto, ¿entonces porqué no sospechar que lo mismo pasaba en otras áreas de las matemáticas? Entonces han surgido disciplinas como la metamatemática y la metalógica que se encargan de estudiar este tipo de cuestiones y otras como: ¿qué es el razonamiento matemático?, ¿qué es un número?, ¿que son la lógica y las matemáticas? todas estas son preguntas que seguirán ocupando la mente de filósofos y matemáticos.

Problemas

Si podían fácilmente surgir paradojas con la unidad básica de la teoría de conjuntos, el conjunto, ¿entonces porqué no sospechar que lo mismo pasaba en otras áreas de las matemáticas?

Entonces han surgido disciplinas como la metamatemática y la metalógica que se encargan de estudiar este tipo de cuestiones y otras como: ¿qué es el razonamiento matemático?, ¿qué es un número?, ¿que son la lógica y las matemáticas? todas estas son preguntas que seguirán ocupando la mente de filósofos y matemáticos.

Conjuntos de conjuntos

Si pensamos en el conjunto que sólo contiene a Napoléon Bonaparte es claro que ese conjunto no puede estar contenido en sí mismo porque un conjunto no es una persona (¿o sí?). Así podemos darnos cuenta que la mayoría de los conjuntos que podemos pensar no están contenidos en sí mismos.