Funktion ääriarvot
Kohtaa, jossa funktio muuttaa kulkusuuntaansa kutsutaan ääriarvokohdaksi. Funktion arvo tässä kohdassa on ääriarvo.
Kohtaa, jossa funktio saa ympäristössään suurimman arvon, kutsutaan (paikalliseksi) maksimikohdaksi ja arvoa (paikalliseksi) maksimi(arvo)ksi
Maksimikohta: \(x=2\)
Maksimiarvo: \(f(2)=3\)
Kohtaa, jossa funktio saa ympäristössään pienimmän arvon, kutsutaan (paikalliseksi) minimikohdaksi ja arvoa (paikalliseksi) minimi(arvo)ksi
Minimikohta: \(x=0\)
Minimiarvo: \(f(0)=-1\)
Kaikki polynomifunktion ääriarvokohdat ovat myös derivaatan nollakohtia, eli näihin piirretyn tangentin kulmakerroin on 0
Kaikki derivaatan nollakohdat eivät kuitenkaan välttämättä ole ääriarvokohtia!
Derivaatta voi olla 0 myös ns. terassikohdissa, joissa kulkusuunta ei muutu.
\(y=f'(x)\)
\(y=f(x)\)
Kulkukaaviosta voidaan päätellä, onko nollakohta maksimikohta, minimikohta vai terassikohta
\(f'(x)\)
\(-3\)
\(2\)
\(-\)
\(-\)
\(+\)
terassi
\(f(x)\)
\(\searrow\)
\(\nearrow\)
\(\searrow\)
min
\(f'(x)\)
\(-4\)
\(2\)
\(-\)
\(-\)
\(+\)
\(f(x)\)
\(\searrow\)
\(\nearrow\)
\(\searrow\)
min
\(\searrow\)
\(-\)
max
Kulkukaavioon usein merkitään vain minimi- ja maksimikohdat, terassikohdat voidaan jättää merkitsemättä
\(5\)
- Minimikohta (min) on kohdassa, jossa funktio vaihtaa kulkusuuntaansa vähenevestä kasvavaksi ("kuopanpohja", \(\searrow\)\(\nearrow\))
- Maksimikohta (max) on kohdassa, jossa funktio vaihtaa kulkusuuntaansa kasvavasta väheneväksi ("vuorenhuippu", \(\nearrow\)\(\searrow\))
-
Terassikohta on kohdassa, jossa funktio ei muuta suuntaansa
(\(\nearrow\)\(\nearrow\) tai \(\searrow\)\(\searrow\))
Määritä funktion \(f(x)=x^3+4x^2+5x+2\) ääriarvokohdat ja ääriarvot.
Derivoidaan funktio:
\(f'(x)=3x^2+4\cdot2x+5\)
\(=3x^2+8x+5\)
Ratkaistaan derivaatan nollakohdat:
\(f'(x)=0\)
\(3x^2+8x+5=0\)
\(x=\dfrac{-8\pm\sqrt{8^2-4\cdot 3\cdot 5}}{2\cdot 3}\)
\(x=\dfrac{-8\pm 2}{6}\)
\(x=\dfrac{-8- 2}{6}=\dfrac{-10}{6}=-\dfrac{5}{3}(=-1{,}6\ldots)\) tai
\(x=\dfrac{-8+ 2}{6}=\dfrac{-6}{6}=-1\)
Määritä funktion \(f(x)=x^3+4x^2+5x+2\) ääriarvokohdat ja ääriarvot.
Derivoidaan funktio:
\(f'(x)=3x^2+8x+5\)
Ratkaistaan derivaatan nollakohdat:
\(x=\dfrac{-8- 2}{6}=\dfrac{-10}{6}=-\dfrac{5}{3}(=-1{,}6\ldots)\) tai
\(x=\dfrac{-8+ 2}{6}=\dfrac{-6}{6}=-1\)
\(f'(x)\)
\(-\dfrac{5}{3}\)
\(-1\)
\(+\)
\(-\)
\(+\)
\(f(x)\)
\(\nearrow\)
Lasketaan derivaatan arvot testikohdissa:
\(f'(-2)=1>0\)
\(f'(-1{,}3)=-0{,}33<0\)
\(f'(0)=5>0\)
\(\searrow\)
\(\nearrow\)
Määritä funktion \(f(x)=x^3+4x^2+5x+2\) ääriarvokohdat ja ääriarvot.
\(f'(x)\)
\(-\dfrac{5}{3}\)
\(-1\)
\(+\)
\(-\)
\(+\)
\(f(x)\)
\(\nearrow\)
\(\searrow\)
\(\nearrow\)
max
min
Ääriarvokohdat ovat siis \(x=-\dfrac{5}{3}\) ja \(-1\). Lasketaan vielä ääriarvot.
Maksimi: \(f\left(-\dfrac{5}{3}\right)\)
\(=-\dfrac{125}{27}+\dfrac{100}{9}-\dfrac{25}{3}+2\)
\(=-\dfrac{125}{27}+\dfrac{300}{27}-\dfrac{225}{27}+\dfrac{54}{27}\)
\(=\dfrac{4}{27}\)
\(=\left(-\dfrac{5}{3}\right)^3+4\cdot\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2+5\cdot\left(-\dfrac{5}{3}\right)+2\)
Määritä funktion \(f(x)=x^3+4x^2+5x+2\) ääriarvokohdat ja ääriarvot.
\(f'(x)\)
\(-\dfrac{5}{3}\)
\(-1\)
\(+\)
\(-\)
\(+\)
\(f(x)\)
\(\nearrow\)
\(\searrow\)
\(\nearrow\)
max
min
Ääriarvokohdat ovat siis \(x=-\dfrac{5}{3}\) ja \(-1\). Lasketaan vielä ääriarvot.
Maksimi: \(f\left(-\dfrac{5}{3}\right)\)
\(=\dfrac{4}{27}\)
Minimi: \(f(-1)\)
\(=(-1)^3+4\cdot(-1)^2+5\cdot(-1)+2\)
\(=-1+4-5+2\)
\(=0\)
\(f'(x)\)
\(-\dfrac{5}{3}\)
\(-1\)
\(+\)
\(-\)
\(+\)
\(f(x)\)
\(\nearrow\)
\(\searrow\)
\(\nearrow\)
max
min
Vrt. kirjan tapa:
Yhteenveto:
Funktion ääriarvokohtien ja ääriarvojen määrittäminen laskemalla
- Luo kulkukaavio (kertauksena seuraavalla slidellä)
- Merkitse kulkukaavioon maksimi- ja minimikohdat
- Minimikohta (min) on kohdassa, jossa funktio vaihtaa kulkusuuntaansa vähenevestä kasvavaksi
("kuopanpohja", \(\searrow\)\(\nearrow\)) - Maksimikohta (max) on kohdassa, jossa funktio vaihtaa kulkusuuntaansa kasvavasta väheneväksi
("vuorenhuippu", \(\nearrow\)\(\searrow\))
- Minimikohta (min) on kohdassa, jossa funktio vaihtaa kulkusuuntaansa vähenevestä kasvavaksi
- Laske funktion arvot ääriarvokohdissa
Kertauksena:
Funktion kulkukaavion luonnin vaiheet
- Derivoi funktio
- Ratkaise derivaatan nollakohdat
- Luonnostele kulkukaavio, jossa pystyviivojen päällä on derivaatan nollakohdat
\(-3\) \(5\)
\(f'(x)\)
\(f(x)\) - Laske derivaatan arvot testikohdissa, eli nollakohtien välissä ja pienimmän nollakohdan vasemmalla ja suurimman oikealla puolella. Kirjoita lokeroihin + tai - testikohdassa lasketun arvon etumerkin mukaan.
- Kun derivaatta on positiivinen (+), funktio kasvaa (\(\nearrow\)), kun derivaatta on negatiivinen (-), funktio vähenee (\(\searrow\))
\(+\)
\(-\)
\(+\)
\(\nearrow\)
\(\searrow\)
\(\nearrow\)
07 Funktion ääriarvot
By Timo Pelkola
