Funktion kulku

Piirretään funktion \[f(x)=\frac{x^4}{2}-x^3+x\] kuvaajalle tangentti johonkin pisteeseen, ja liikutellaan pistettä. Mitä tangentin kulmakertoimelle, eli funktion derivaatalle näyttää tapahtuvan eri kohdissa?

Funktio \(f(x)\) on kasvava (jollakin välillä), jos muuttujan \(x\) arvon kasvaessa myös funktion arvot kasvavat tai pysyvät samana. Tällöin funktion derivaatta on vähintään 0.

Funktio \(f(x)\) on vähenevä (jollakin välillä), jos muuttujan \(x\) arvon kasvaessa funktion arvot vähenevät tai pysyvät samana. Tällöin funktion derivaatta on enintään 0.

Ts. jos \(f'(x)\geq 0\) ja \(a>b\), niin \(f(a)\geq f(b)\).

Ts. jos \(f'(x)\leq 0\) ja \(a>b\), niin \(f(a)\leq f(b)\).

Kun \(x\leq -0{,}5\), \(f'(x)\leq 0\) ja funktio \(f\) on vähenevä

Kun \(x\geq -0.5\), \(f'(x)\geq 0\) ja funktio \(f\) on kasvava

\[f(x)=\frac{x^4}{2}-x^3+x\]

Saman näkee myös derivaattafunktion \(f'(x)=2x^3-3x^2+1\) kuvaajasta

Kun \(x\leq -0{,}5\), \(f'(x)\leq 0\) ja funktio \(f\) on vähenevä

Kun \(x\geq -0.5\), \(f'(x)\geq 0\) ja funktio \(f\) on kasvava

-

+

+

\(y=f'(x)\)

\(y=f(x)\)

-

+

+

\(y=f'(x)\)

\(y=f(x)\)

Derivaatan nollakohdat ovat \(x=0{,}5\) ja \(x=1\).

Tieto funktion kasvavuudesta ja vähenevyydestä eli funktion kulusta tiivistetään usein funktion kulkukaavioksi

\(f'(x)\)

\(-0{,}5\)

\(1\)

\(-\)

\(+\)

\(+\)

Vähenevyyttä merkitään nuolella alaspäin \((\searrow\)),
kasvavuutta nuolella ylöspäin (\(\nearrow\))

-

+

+

\(y=f'(x)\)

\(y=f(x)\)

Abitissa kulkukaavion kirjoittaminen on hieman kömpelöä.
Siksi kirja suosii tapaa, jossa funktion nollakohdat eivät ole viivojen päällä vaan omissa sarakkeissa. Välilyöntejä käyttämällä "perinteisenkin" kulkukaavion saa kuitenkin tehtyä.

Taulukon saa
kaavaruutuun
tästä napista:

Nuolet löytyvät vetolaatikosta:

Sarakkeita saa
lisää painamalla tabia (⇥),

rivejä painamalla enteriä

Kokeessa ei jaeta kauneuspisteitä. Kulkukaavion voi tehdä yhtä hyvin myös käyttämällä pystyviivoja | ja käyttämättä kaavaruutuja.

Luo funktion \(f(x)=x^3+4x^2+5x+2\) kulkukaavio.
Milloin funktio on a) kasvava, b) vähenevä?

Luo funktion \(f(x)=x^3+4x^2+5x+2\) kulkukaavio.
Milloin funktio on a) kasvava, b) vähenevä?

Derivoidaan funktio:

\(f'(x)=3x^2+8x+5\)

Ratkaistaan derivaatan nollakohdat:

\(x=\dfrac{-8- 2}{6}=\dfrac{-10}{6}=-\dfrac{5}{3}(=-1{,}6\ldots)\) tai 

\(x=\dfrac{-8+ 2}{6}=\dfrac{-6}{6}=-1\)

\(f'(x)\)

\(-\dfrac{5}{3}\)

\(-1\)

\(f(x)\)

Luo funktion \(f(x)=x^3+4x^2+5x+2\) kulkukaavio.
Milloin funktio on a) kasvava, b) vähenevä?

\(f'(x)\)

\(-\dfrac{5}{3}\)

\(-1\)

\(+\)

\(-\)

\(+\)

\(f(x)\)

\(\nearrow\)

\(\searrow\)

\(\nearrow\)

V: a) kun \(x\leq -\dfrac{5}{3}\) tai \(x\geq -1\)
b) kun \(-\dfrac{5}{3}\leq x \leq -1\)

Luo funktion \(f(x)=x^3+4x^2+5x+2\) kulkukaavio.
Milloin funktio on a) kasvava, b) vähenevä?

\(f'(x)\)

\(-\dfrac{5}{3}\)

\(-1\)

\(f(x)\)

Tapa 2: Testipisteiden sijaan derivaattafunktion merkit voisi päätellä derivaattafunktion kuvaajahahmotelmasta

\(f'(x)=3x^2+8x+5\)

\(-\dfrac{5}{3}\)

+                            +

-

\(-1\)

Yhteenveto:

Funktion kulkukaavion luonnin vaiheet

1. Derivoi funktio
2. Ratkaise derivaatan nollakohdat
3. Luonnostele kulkukaavio, jossa pystyviivojen päällä on derivaatan nollakohdat
                     \(-3\)           \(5\)  
   \(f'(x)\)
   \(f(x)\)
4. Laske derivaatan arvot testikohdissa, eli nollakohtien välissä ja pienimmän nollakohdan vasemmalla ja suurimman oikealla puolella. Kirjoita lokeroihin + tai - testikohdassa lasketun arvon etumerkin mukaan.
   (TAI piirrä derivaattafunktion kuvaajahahmotelma.)
5. Kun derivaatta on positiivinen (+), funktio kasvaa (\(\nearrow\)), kun derivaatta on negatiivinen (-), funktio vähenee (\(\searrow\))

Huom! Jos kysytään, milloin funktio \(f\) on kasvava, periaatteessa riittää ratkaista epäyhtälö \(f'(x)\geq 0\).

Vastaavasti: jos kysytään, milloin funktio on vähenevä, riittää ratkaista epäyhtälö \(f'(x) \leq 0\).

Kulkukaaviolle tulee kuitenkin käyttöä myöhemmin.