Невероятные приключения теории вероятностей

Антон Антонов

@tonytonov

Вопрос на миллион:

зачем нужна математика?

Чтобы развивать абстрактное мышление
Чтобы иметь предсказательную силу
Чтобы сформировать научную картину мира
Чтобы хоть что-то работало, как задумано

Детерминированность

Случайность

Квантовая механика (1905)

Теория вероятностей (1933)

10^{-35} \text{m}

10^{-35} \text{m}

10^{-22} \text{m}

10^{-22} \text{m}

10^{-14} \text{m}

10^{-14} \text{m}

Как выглядит поверхность стола?

Что такое случайность?

Это отсутствие паттерна,

непредсказуемость

Двухминутка истории

Азартные игры

(игральные кости)

Минимизация риска

в торговле (страхование)

~2400 д.н.э.

Знакомый пасьянс?

Теоретический шанс выигрыша: ≈79%

Шанс выигрыша игроком: ≈43%

Теория вероятностей

Где используется теория вероятностей?

А.Н. Колмогоров (1903-1987)

Математическая статистика

Подбор моделей, описывающих наблюдаемые данные
Прогнозирование

Симуляция процессов

Метод Монте-Карло
Марковские цепи

Криптография

Генерация ключей, цифровых сертификатов
Устойчивость ко взлому

Финансовые модели

Определение равновесной цены финансового инструмента
Управление рисками

Генераторы случайных чисел

Как получить реализации случайной величины на компьютере?

Ответ: использовать детерминированный алгоритм!

PRNG

PseudoRandom Number Generator

Линейный конгруэнтный генератор

X_{n+1} = (a X_n + b) \text{ mod } m

X_{n+1} = (a X_n + b) \text{ mod } m

\frac{X_{n+1}}{m} \in [0,1]

\frac{X_{n+1}}{m} \in [0,1]

C++11, minstd_rand:

b = 0

b = 0

a = 48271

a = 48271

m = 2^{31} - 1

m = 2^{31} - 1

X_0 = 2016

X_0 = 2016

0.04531552
0.42541747
0.32685232
0.48833458
0.39869517
0.41458000
0.19126152
0.38491058
0.01882955
0.92110228

X_0 = 12344321

X_0 = 12344321

0.47485753
0.84764339
0.59422451
0.81143749
0.89889238
0.43383980
0.88076287
0.30447058
0.09919764
0.36917432

X_0

X_0

seed генератора

set.seed(1111)
runif(5)
#[1] 0.4655026 0.4129249 0.9070032 0.1371054 0.7388168
runif(5)
#[1] 0.9763270 0.8799599 0.1167843 0.5462888 0.1401160
set.seed(1111)
runif(5)
#[1] 0.4655026 0.4129249 0.9070032 0.1371054 0.7388168
set.seed(1112)
runif(5)
#[1] 0.7845598 0.5253633 0.3365035 0.5135698 0.5226884

Пример для языка программирования R

https://www.r-project.org/