奧林匹亞資訊班
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講師：吳崇維(wayne)
Pre-reading
https://medium.com/appworks-school/初學者學演算法-談什麼是演算法和時間複雜度-b1f6908e4b80
二分搜尋
binary search
二分搜尋法
概念
當有一些排列過的資料，想要找到其中一個元素的時候，我們可以使用二分搜尋提升速度！
二分搜尋法
舉例 1
終極密碼！
關主會挑選一個1～100的數字
猜的人要說一個數字，關主會說數字比他大或小
誰先猜到就 贏 / 輸了～
如果要最快的猜到密碼，有沒有什麼方法呢？
二分搜尋法
舉例 1
方法 1 ： 從1一個一個猜到100
這樣的期望值 (平均下來猜到) 需要 50 次
這個算法的複雜度是線性時間 也就是O(N)
也就是說，要是今天數字範圍是1～1000，猜到就需要平均500次
猜到的次數與數字範圍成正比
二分搜尋法
舉例 1
方法 2 ： 剖西瓜法
先猜50，接著看答案比50大或小，往那半邊去詢問
假設答案是30，猜測過程就會是
50 => 25 => 37 => 31 => 28 => 30
顯然他可以很快的就逼近正確答案！
二分搜尋法
對數概念
(指數對數是高中數學的概念，這邊大概帶過)
log是一個運算符號，其中以2為底的log
log2 = 1
log4 = 2
log8 = 3
log1024 = 10
我們可以發現把很大的數字丟進log，出來的數字會大幅減少
二分搜尋法
對數概念
而剖西瓜法就是運用了二分搜尋的概念
需要的時間是資料量的 log 級
（現階段知道時間會大幅縮小就可以了）
我們記作 O(logN)
二分搜尋法
1. 從1猜到100 時間 O(N) 慢！
2. 剖西瓜法 時間 O(logN) 非常快！
二分搜尋法
舉例 2
陣列 ： [1 3 4 5 6 8 9 10 20]
現在往程式的撰寫方面下手，我們假定已經有一個排序好的陣列
我們想要從這個陣列中找到一個特定的數字 比如說 6
那麼上面的例子，先找7，再找4，再找6
二分搜尋法
演算法寫法
二分搜的寫法有很多種，這邊介紹我個人習慣的一閉一開
什麼是閉開呢？
簡單來說，二分搜會有兩個變數，分別代表現在搜尋的範圍左右界
閉區間就是現在所指的地方有可能是答案
開區間就是現在所指的地方不可能是答案
二分搜尋法
演算法寫法
白板演示
馬上練習
先給你陣列長度N (從cin讀入)
再給你一個陣列 (從cin讀入) 保證降序排列
接著給你1個數字，輸出他在陣列的哪個位置！
範例輸入：
5
9 8 8 8 7 7 7 7 7 6 6 6 6 5
7
輸出：
2
基礎延伸
https://codeforces.com/problemset/problem/474/B
挑戰題！
https://codeforces.com/problemset/problem/706/B
快速冪
快速冪
通常我們需要某個數的某個次方
Ex : 2 的 10次方 = 1024
可以這樣寫
int x = 1;
for (int i = 0; i < 10; i++) {
x *= 2;
}
cout << x;快速冪
但是要是我們需要一個數字的超級大次方
例如 2 的 100000000 次方 ，這樣子寫 for 就太慢了
int x = 1;
for (int i = 0; i < 1000000000; i++) {
x *= 2;
}
cout << x;快速冪
問題：想要求取 2 的 10000000000 次方的後三位數
如果用for的話會需要跑一段時間
int x = 1;
for (int i = 0; i < 10000000000; i++) {
x = x * 2;
x = x % 1000;
}快速冪
問題：想要求取 2 的 10000000000 次方的後三位數
使用快速冪的技巧可以加速成log級 先看code
int k = 10000000000;
int a = 2;
int x = 1;
while (k != 0) {
if (k % 2 == 1) {
x = x * a;
x = x % 1000;
}
a = a * a % 1000;
k = k/2;
} 快速冪
白板講解
int k = 10000000000;
int a = 2;
int x = 1;
while (k != 0) {
if (k % 2 == 1) {
x = x * a;
x = x % 1000;
}
a = a * a % 1000;
k = k/2;
} STL 容器
STL
STL 是 Standard Template Library 的縮寫，他提供了許多好用的標準模板函式庫，只要引入標頭檔就可以作使用。
STL們：
stack
queue
vector
set
map
priority_queue
...
STL
使用方法
先前提到過stack 這個資料結構
也自己用陣列實作過
以下先稍微複習，再看如何用STL引出stack !
STL們：
stack
queue
vector
set
map
priority_queue
...
Stack
盤子, 就是 stack 的最佳形容
stack 的特性是：先進後出
也就是可以想像成
你先疊進去的盤子（越下面）
一個一個拿出來的時候，就越晚拿出來
Stack
stack 有兩種基本操作
1. push
將一個元素(通常是數字)
放進stack裡面
（將一個盤子疊上去）
2. pop
將一個元素從 stack 裡面拿出來
並且只能拿最上面的元素
（將一個盤子輕輕拿走）
Stack 操作模擬：
push(4);
push(3);
push(2);
push(1);
pop();
pop();
push(5);
pop();
pop();
pop();
[] 前方代表堆疊下方，尾端是上方
[4]
[4,3]
[4,3,2]
[4,3,2,1]
[4,3,2]
[4,3]
[4,3,5]
[4,3]
[4]
[]
更多的操作！
stack還可以衍生出一些操作
- top(); 將最上面的元素找出來，但不pop掉
- getSize(); 返回整個stack目前的大小。
- isEmpty(); 確認stack是否為空，如果空的話，return 1;
如何用STL引出stack?
STL stack 的幾個操作
- top()
- pop()
- push()
- size()
STL使用
首先如果需要用stack
需要引入 #include <stack>
再來如同宣告變數一樣，要宣告容器：stack<int> a;
意思就是有一個stack，裡面裝int，stack的名字叫做a
再來用到stack的功能則可以這樣用
a.top() // 回傳stack最上面的元素
a.push(10) // 把一個元素放進stack裡面，沒有回傳值
a.pop() // 把一個元素從stack拿出來
a.size() // 回傳現在stack中有幾個元素
STL使用
練習寫一個程式！
一開始有一個空的stack，接著程式會讀取指令 (從cin讀入)
如果指令是 1 ， 那麼接下來就會再讀取一個數字，並push進去stack
如果指令是 2 ， 那麼就會從stack pop出一個元素
如果指令是 3 ， 那麼接下來就會印出stack最上方的元素
如果指令是 4 ， 那麼接下來就會印出stack現在的大小
P.S. 上面這些指令都是剛剛提過的STL功能
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一起努力快樂寫程式吧！
7/26 暑期課程 - 一些算法
By Wayne Wu
