Disjoint Set

Wu-Jun Pei

Problem

有Ｎ個人在不同的平行時空中，接下來有Ｍ對人，表示Ａ、Ｂ存在在同一個時空，接下來有Ｋ對查詢Ａ、Ｂ是否存在在同一個時空

Problem

​嘗試１

把每條邊視為圖，ＤＦＳ圖，把同樣的連通元件的節點都用相同的編號，之後每Ｋ次查詢就查詢兩個點是否擁有相同的編號。

複雜度：O( N + M ) + O( K )

Problem

​嘗試１

時間複雜度：O( N + M ) + O( K )

空間複雜度：O( N + M )

看起來很好寫，其實真的很好寫 OuO

Problem

​嘗試２

並查集（Disjoint Set / Union Find Tree)：

是一個支援合併（併）以及查詢（查）的資料結構！

Disjoint Set

每節點有一個指標，指到他的父節點，可以用陣列來實作！

struct dsu{
    int par[ maxn ];
};

Disjoint Set

初始化：每一個節點原本都只到自己，意即每個節點都是一個獨立的集合。

複雜度：O( N )

struct dsu{
    int par[ maxn ];

    void init( int N ){
        for( int i = 0; i < N; i++ ){
            par[ i ] = i;
        }
    }
};

Disjoint Set

查詢：遞迴地查詢父節點，直到找到根節點。

複雜度：O( N )

struct dsu{
    int par[ maxn ];
    ...
    int find( int x ){
        return x == par[ x ] ? x : find( par[ x ] );
    }
};

Disjoint Set

合併：將兩個集合合併在一起，只要將Ｂ的根節點的父指標指到Ａ即可。

複雜度：O( N ) 因為查詢要花很久的時間...

struct dsu{
    int par[ maxn ];
    ...
    void merge( int A, int B ){
        par[ find( A ) ] = B;
    }
};

Disjoint Set

查詢是否在同一個時空：查詢是否有相同的父節點

複雜度：O( N )

struct dsu{
    int par[ maxn ];
    ...
    int same( int X, int Y ){
        return find( X ) == find( Y );
    }
};

Disjoint Set

時間複雜度：

查詢：O( N )

合併：O( N )

空間複雜度：

O( N )

總複雜度是 O( MN ) + O( KN )

但其實，萬惡的根源就是在於查詢太久了啊ＱＱ

Disjoint Set

小小的優化......路徑壓縮！

查詢：遞迴地查詢父節點，直到找到根節點，並更新。

均攤複雜度：O( logN )

struct dsu{
    int par[ maxn ];
    ...
    int find( int x ){
        return par[ x ] = ( x == par[ x ] ? x : find( par[ x ] ) );
    }
};

Disjoint Set

此時的時間複雜度：

查詢：O( logN )

合併：O( logN )

總複雜度是 O( MlogN ) + O( KlogN )

這個時間點我們已經有足夠的能力完成這題了 > <

Disjoint Set, Even Faster!

每節點有一個指標和一個整數，指標指到他的父節點，整數表示集合的大小，也可以用陣列來實作！

struct dsu{
    int par[ maxn ];
    int siz[ maxn ];
};

Disjoint Set, Even Faster!

合併：將兩個集合合併在一起，只要將Ｂ的根節點的父指標指到Ａ即可。

使用啟發適合併，將小的合併到大的！

Disjoint Set, Even Faster!

此時的時間複雜度是

O( ɑ(N+M, N) )

而 ɑ 可視為一個很小的常數

總複雜度是 O( ɑN )

我們更快了xD

Problem

有Ｎ個人在不同的平行時空中，接下來有Ｋ筆操作，表示：

• 一對人Ａ、Ｂ在同一個時空                                
• 查詢Ａ、Ｂ是否有機會認識

​

Problem

​嘗試１

查詢：查詢兩個點是否擁有相同的編號。

合併：使用啟發式合併，將小的圖跟大的圖合併，每次改變小的圖的每個點的編號。

總複雜度 O( K( 1 + logN ) )

但是...感覺還蠻難實作的

Problem

​嘗試２

使用 Disjoint Set 可以不用改 code 再 ＡＣ 一題！