Занятие №11:

Задачи физики сводящиеся к системам диф. уравнений

Второй закон Ньютона

Постановка задачи

\vec{F}_p

Некоторая среда, оказывающая сопротивление движению

Двигающееся тело

Сила, "разгоняющая" тело

Сила, како-го нибудь внешнего поля (гравитации, электричества, ...)

\vec{F}_{\text{тяжести}}

\vec{F}_{\text{тяги}}

\vec{F}_{\text{сопротивления}}

\vec{F}_p

m\vec{a}

...

Ускорение

\vec{a}

\dfrac{d\vec{v}}{dt}

\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}

\vec{r} = \{x, y\}

\vec{a} = \{a_x, a_y\}

\begin{cases} a_x = \dfrac{d^2x}{dt^2}\\ \\ a_y = \dfrac{d^2y}{dt^2} \end{cases}

\vec{a}

Конечный вид

\begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = v_x\\ \\ \dfrac{dv_x}{dt} = a_x \end{cases}

\dfrac{d^2x}{dt^2}:

\begin{cases} \dfrac{dy}{dt} = v_y\\ \\ \dfrac{dv_y}{dt} = a_y \end{cases}

\dfrac{d^2y}{dt^2}:

\cdot m

F_{px}

\cdot m

F_{py}

F_{1x}

F_{2x}

...

F_{1y}

F_{2y}

...

Пример - задача

Тело брошено под углом в 80 градусов к горизонту со скоростью 15 м/с. Определите закон изменения положения тела и смоделируйте его динамику.

\vec{F}_p

m\vec{g}

m\vec{a}

m\vec{g}

\vec{a}

\vec{g}

\{0, -g\}

\dfrac{dx}{dt} = v_x

\dfrac{dv_x}{dt}

\dfrac{dy}{dt} = v_y

\dfrac{dv_y}{dt} = -g

\vec{a}

Решение и анимация

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation

# Определяем переменную величину и количество кадров
frames = 200
t = np.linspace(0, 5, frames)

# Определяем функцию для системы диф. уравнений
def move_func(z, t):
    x, v_x, y, v_y = z
    dxdt = v_x
    dv_xdt = 0
    dydt = v_y
    dv_ydt = - g
    return dxdt, dv_xdt, dydt, dv_ydt

# Определяем начальные значения и параметры
g = 9.8
v = 15
alpha = 80 * np.pi / 180

x0 = 0
v_x0 = v * np.cos(alpha)
y0 = 0
v_y0 = v * np.sin(alpha)

z0 = x0, v_x0, y0, v_y0

# Решаем систему диф. уравнений
def solve_func(i, key):
    sol = odeint(move_func, z0, t)
    if key == 'point':
        x = sol[i, 0]
        y = sol[i, 2]
    else:
        x = sol[:i, 0]
        y = sol[:i, 2]
    return x, y
  
  # Строим решение в виде графика и анимируем
fig, ax = plt.subplots()

ball, = plt.plot([], [], 'o', color='r')
ball_line, = plt.plot([], [], '-', color='r')

def animate(i):
    ball.set_data(solve_func(i, 'point'))
    ball_line.set_data(solve_func(i, 'line'))

ani = FuncAnimation(fig,
                    animate,
                    frames=frames,
                    interval=30)

edge = 15
ax.set_xlim(0, edge)
ax.set_ylim(0, edge)

plt.show()